第十三章 132 第1课时 绝对值不等式Word格式文档下载.docx
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0)和|ax+b|≥c(c>
0)型不等式的解法
①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;
②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.
(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>
0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>
①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;
②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;
③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.
2.含有绝对值的不等式的性质
(1)如果a,b是实数,则||a|-|b||≤|a±
b|≤|a|+|b|.
(2)如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.
概念方法微思考
1.绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么?
提示 当a,b不共线时,|a|+|b|>
|a+b|,它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边.
2.用“零点分段法”解含有n个绝对值的不等式时,需把数轴分成几段?
提示 一般地,n个绝对值对应n个零点,n个零点应把数轴分成(n+1)段.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)若|x|>
c的解集为R,则c≤0.( ×
)
(2)不等式|x-1|+|x+2|<
2的解集为∅.( √ )
(3)对|a+b|≥|a|-|b|当且仅当a>
b>
0时等号成立.( ×
(4)对|a|-|b|≤|a-b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.( ×
(5)对|a-b|≤|a|+|b|当且仅当ab≤0时等号成立.( √ )
题组二 教材改编
2.[P20T7]不等式3≤|5-2x|<
9的解集为( )
A.[-2,1)∪[4,7)B.(-2,1]∪(4,7]
C.(-2,-1]∪[4,7)D.(-2,1]∪[4,7)
答案 D
解析 由题意得
即
解得不等式的解集为(-2,1]∪[4,7).
3.[P20T8]求不等式|x-1|-|x-5|<
2的解集.
解 ①当x≤1时,原不等式可化为1-x-(5-x)<
2,
∴-4<
2,不等式恒成立,∴x≤1;
②当1<
x<
5时,原不等式可化为x-1-(5-x)<
∴x<
4,∴1<
4;
③当x≥5时,原不等式可化为x-1-(x-5)<
2,该不等式不成立.
综上,原不等式的解集为(-∞,4).
题组三 易错自纠
4.若不等式|kx-4|≤2的解集为{x|1≤x≤3},则实数k=__________.
答案 2
解析 ∵|kx-4|≤2,∴-2≤kx-4≤2,∴2≤kx≤6.
∵不等式的解集为{x|1≤x≤3},∴k=2.
5.已知a,b,c是正实数,且a+b+c=1,则++的最小值为________.
答案 9
解析 把a+b+c=1代入到++中,
得++
=3+++
≥3+2+2+2=9,
当且仅当a=b=c=时,等号成立.
题型一 绝对值不等式的解法
例1
(1)解不等式x+|2x+3|≥2.
解 原不等式可化为或
解得x≤-5或x≥-.
综上,原不等式的解集是.
(2)(2017·
全国Ⅰ)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.
①当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
②若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.
解 ①当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于
x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.(*)
当x<
-1时,(*)式化为x2-3x-4≤0,无解;
当-1≤x≤1时,(*)式化为x2-x-2≤0,
从而-1≤x≤1;
当x>
1时,(*)式化为x2+x-4≤0,
从而1<
x≤.
所以f(x)≥g(x)的解集为.
②当x∈[-1,1]时,g(x)=2,
所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]等价于
当x∈[-1,1]时,f(x)≥2.
又f(x)在[-1,1]上的最小值必为f(-1)与f
(1)之一,
所以f(-1)≥2且f
(1)≥2,得-1≤a≤1.
所以a的取值范围为[-1,1].
思维升华解绝对值不等式的基本方法
(1)利用绝对值的定义,通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式.
(2)当不等式两端均为正号时,可通过两边平方的方法,转化为解不含绝对值符号的普通不等式.
(3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解.
跟踪训练1已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>
0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>
1的解集;
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形的面积大于6,求a的取值范围.
解
(1)当a=1时,
f(x)>
1化为|x+1|-2|x-1|-1>
当x≤-1时,不等式化为x-4>
0,无解;
当-1<
1时,不等式化为3x-2>
0,解得<
1;
当x≥1时,不等式化为-x+2>
0,解得1≤x<
2.
所以f(x)>
1的解集为.
(2)由题设可得,f(x)=
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),
△ABC的面积为(a+1)2.
由题设得(a+1)2>
6,故a>
所以a的取值范围为(2,+∞).
题型二 利用绝对值不等式求最值
例2
(1)对任意x,y∈R,求|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值;
(2)对于实数x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,求|x-2y+1|的最大值.
解
(1)∵x,y∈R,
∴|x-1|+|x|≥|(x-1)-x|=1,
当且仅当0≤x≤1时等号成立,
∴|y-1|+|y+1|≥|(y-1)-(y+1)|=2,
当且仅当-1≤y≤1时等号成立,
∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|≥1+2=3,
当且仅当0≤x≤1,-1≤y≤1同时成立时等号成立.
∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3.
(2)|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|≤|x-1|+|2(y-2)+2|≤1+2|y-2|+2≤5,即|x-2y+1|的最大值为5.
思维升华求含绝对值的函数最值时,常用的方法有三种
(1)利用绝对值的几何意义.
(2)利用绝对值三角不等式,即|a|+|b|≥|a±
b|≥||a|-|b||.
(3)利用零点分区间法.
跟踪训练2已知a和b是任意非零实数.
(1)求的最小值;
(2)若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立,求实数x的取值范围.
解
(1)∵≥==4,
当且仅当(2a+b)(2a-b)≥0时等号成立,
∴的最小值为4.
(2)若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立,即|2+x|+|2-x|≤恒成立,
故|2+x|+|2-x|≤min.
由
(1)可知,的最小值为4,
∴x的取值范围即为不等式|2+x|+|2-x|≤4的解集.
解不等式得-2≤x≤2,
故实数x的取值范围为[-2,2].
题型三 绝对值不等式的综合应用
例3(2017·
全国Ⅲ)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.
解
(1)f(x)=
-1时,f(x)≥1无解;
当-1≤x≤2时,由f(x)≥1,得2x-1≥1,解得1≤x≤2;
2时,由f(x)≥1,解得x>
所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.
(2)由f(x)≥x2-x+m,得
m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.
而|x+1|-|x-2|-x2+x
≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|
=-2+≤,
当x=时,|x+1|-|x-2|-x2+x=.
故m的取值范围为.
思维升华
(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值,化为分段函数来解决.
(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法.
跟踪训练3设函数f(x)=x+|x-a|.
(1)当a=2019时,求函数f(x)的值域;
(2)若g(x)=|x+1|,求不等式g(x)-2>
x-f(x)恒成立时a的取值范围.
解
(1)由题意得,当a=2019时,
f(x)=
因为f(x)在[2019,+∞)上单调递增,
所以f(x)的值域为[2019,+∞).
(2)由g(x)=|x+1|,不等式g(x)-2>
x-f(x)恒成立,知|x+1|+|x-a|>
2恒成立,即(|x+1|+|x-a|)min>
而|x+1|+|x-a|≥|(x+1)-(x-a)|=|1+a|,
所以|1+a|>
2,解得a>
1或a<
-3.
即a的取值范围是(-∞,-3)∪(1,+∞).
1.对于任意实数a,b,已知|a-b|≤1,|2a-1|≤1,且恒有|4a-3b+2|≤m,求实数m的取值范围.
解 因为|a-b|≤1,|2a-1|≤1,
所以|3a-3b|≤3,≤,
所以|4a-3b+2|=
≤|3a-3b|++≤3++=6,
即|4a-3b+2|的最大值为6,
所以m≥|4a-3b+2|max=6.
即实数m的取值范围为[6,+∞).
2.(2018·
河北衡水中学模拟)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|,g(x)=x2-x-a.
(1)当a=5时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)解集包含[2,3],求a的取值范围.
解
(1)当a=5时,不等式f(x)≥g(x)等价于|x+1|-|x-2|≥x2-x-5,①
-1时,①式化为x2-x-2≤0,无解;
当-1≤x≤2时,①式化为x2-3x-4≤0,得-1≤x≤2;
2时,①式化为x2-x-8≤0,得2<
x≤,
(2)当x∈[2,3]时,f(x)=3,
所以f(x)≥g(x)的解集包含[2,3],等价于x∈[2,3]时g(x)≤3,
又g(x)=x2-x-a在[2,3]上的最大值为g(3)=6-a,
所以g(3)≤3,即6-a≤3,得a≥3,
所以a的取值范围为[3,+∞).
3.(2018·
百校联盟TOP20联考)已知f(x)=|2x+a|-|x-2|.
(1)当a=-2时,求不等式f(x)≤4的解集;
(2)若关于x的不等式f(x)≥3a2-3|2-x|恒成立,求a的取值范围.
解
(1)当a=-2时,由f(x)≤4,
得2|x-1|-|x-2|≤4,
当x≤1时,由2(1-x)-(2-x)≤4,得-4≤x≤1;
当1<
2时,由2(x-1)-(2-x)≤4,得1<
2;
当x≥2时,由2(x-1)-(x-2)≤4,得2≤x≤4.
综上所述,f(x)≤4的解集为[-4,4].
(2)由不等式f(x)≥3a2-3|2-x|,
得|2x+a|-|x-2|+3|x-2|≥3a2,
即|2x+a|+|2x-4|≥3a2,
即关于x的不等式|2x+a|+|2x-4|≥3a2恒成立,
而|2x+a|+|2x-4|≥|(2x+a)-(2x-4)|=|a+4|,
当且仅当(2x+a)(2x-4)≤0时等号成立,
所以|a+4|≥3a2,
解得a+4≥3a2或a+4≤-3a2,
解得-1≤a≤或a∈∅.
所以a的取值范围是.
4.已知函数f(x)=|x-1|.
(1)解关于x的不等式f(x)≥1-x2;
(2)若关于x的不等式f(x)<
a-x2+|x+1|的解集非空,求实数a的取值范围.
解
(1)由题意f(x)≥1-x2可知,|x-1|≥1-x2,
即x-1≥1-x2或x-1≤x2-1,
所以x2+x-2≥0或x2-x≥0,
即x≤-2或x≥1或x≥1或x≤0,
故原不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}.
(2)f(x)<
a-x2+|x+1|等价于
x2+|x-1|-|x+1|,
由于x2+|x-1|-|x+1|=
所以当x=1时,x2+|x-1|-|x+1|的最小值为-1.
所以实数a的取值范围为(-1,+∞).
5.已知函数f(x)=|x-2|-|2x+1|.
(1)解不等式f(x)≤2;
(2)若∃b∈R,不等式|a+b|-|a-b|≥f(x)对∀x∈R恒成立,求a的取值范围.
原不等式等价于
或或
解得x≤-1或-≤x<
2或x≥2,
综上所述,不等式的解集是.
(2)∃b∈R,|a+b|-|a-b|≥f(x)对∀x∈R恒成立等价于
(|a+b|-|a-b|)max≥f(x)max.
因为|a+b|-|a-b|≤|(a+b)+(a-b)|=2|a|,
所以|a+b|-|a-b|的最大值为2|a|;
当x≤-时,f(x)≤;
当-<
2时,-5<
f(x)<
;
当x≥2时,f(x)≤-5,
所以f(x)max=,
所以由原不等式恒成立,得2|a|≥,
解得a≥或a≤-.
即a的取值范围是∪.
6.设f(x)=|x+1|-|2x-1|.
(1)求不等式f(x)≤x+2的解集;
(2)若不等式满足f(x)≤|x|(|a-2|+|a+1|)对任意实数(x≠0)恒成立,求实数a的取值范围.
解
(1)根据题意可知,原不等式为|x+1|-|2x-1|≤x+2,
等价于或或
解得x<
-1或-1≤x≤或x>
.
综上可得不等式f(x)≤x+2的解集为R.
(2)不等式f(x)≤|x|(|a-2|+|a+1|)等价于≤(|a-2|+|a+1|),
因为=≤=3,当且仅当≤0时取等号,
因为≤(|a-2|+|a+1|),
所以|a-2|+|a+1|≥6,
解得a≤-或a≥,
故实数a的取值范围为∪.
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- 第十三章 132 第1课时 绝对值不等式 第十三 课时 绝对值 不等式