初三522正方形知识点经典例题及练习题带答案Word文件下载.docx
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2、矩形的性质:
(1)边:
对边平行且相等;
(2)角:
对角相等、邻角互补;
(3)对角线:
对角线互相平分且相等;
(4)对称性:
既是轴对称图形又是中心对称图形.(5)面积:
设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b,则S矩形=ab.
特别提示:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;
矩形具有平行四边形的一切性质。
3、矩形的判定方法
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;
(2)对角线相等的平行四边形是矩形(3)有三个角是直角的四边形是矩形;
(4)四个角都相等
4、识别矩形的常用方法
(1)先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角.
(2)先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明平行四边形ABCD的对角线相等.(3)说明四边形ABCD的三个角是直角.
二、正方形
一组邻边相等的矩形叫做正方形,它是最特殊的平行四边形,它既是平行四边形,还是菱形,也是矩形,它兼有这三者的特征,是一种非常完美的图形.
2、正方形性质:
四条边都相等;
四角相等;
对角线互相垂直平分且相等,对角线与边的夹角为450;
既是轴对称图形又是中心对称图形.(5)设正方形ABCD的一边长为a,则S正方形=a2;
若正方形的对角线的长为a,则S正方形=
a2.
3、正方形判定方法:
(1)有一个角是直角的菱形;
(2)有一组邻边相等的矩形;
(3)对角线相等的菱形;
(4)对角线互相垂直的矩形.
4、识别正方形的常用方法
(1)先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等;
(2)先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明对角线互相垂直且相等;
(3)先说明四边形ABCD为矩形,再说明矩形的一组邻边相等;
(4)先说明四边形ABCD为菱形,再说明菱形ABCD的一个角为直角.
【经典例题】
【例1】
(2013东营中考)如图,E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点,且CE=DF,AE、BF相交于点O,下列结论:
(1)AE=BF;
(2)AE⊥BF;
(3)AO=OE;
(4)
中正确的有()
A.4个B.3个C.2个D.1个
【例2】
(2013凉山州)如图,菱形ABCD中,∠B=60°
,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )
A.14B.15C.16D.17
【例3】
(2013•资阳)如图,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°
,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是( )
A.
48
B.
60
C.
76
D.
80
【例4】
(2013•雅安)如图,正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,△AEF是等边三角形,连接AC交EF于G,下列结论:
①BE=DF,②∠DAF=15°
,③AC垂直平分EF,④BE+DF=EF,⑤S△CEF=2S△ABE.其中正确结论有( )个.
2
3
4
5
【例5】
(2013•嘉兴)如图,正方形ABCD的边长为3,点E,F分别在边AB,BC上,AE=BF=1,小球P从点E出发沿直线向点F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当小球P第一次碰到点E时,小球P与正方形的边碰撞的次数为 ,小球P所经过的路程为 .
【例6】
(2013•钦州)如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点,则PB+PE的最小值是 .
【例7】
(2013•包头)如图,点E是正方形ABCD内的一点,连接AE、BE、CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°
到△CBE′的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,则∠BE′C= 度.
【例8】
(2013•鄂州)如图正方形ABCD的边长为4,E、F分别为DC、BC中点.
(1)求证:
△ADE≌△ABF.
(2)求△AEF的面积.
【例9】
(2013鞍山)如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.
CE=CF;
(2)若点G在AD上,且∠GCE=45°
,则GE=BE+GD成立吗?
为什么?
【例10】
(2013•铁岭)如图,△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,点O为AB的中点,连接DO并延长到点E,使OE=OD,连接AE,BE.
四边形AEBD是矩形;
(2)当△ABC满足什么条件时,矩形AEBD是正方形,并说明理由.
【课堂练习】
1、(2013菏泽)如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为( )
A.16B.17C.18D.19
2、(2013台湾、30)如图,四边形ABCD、AEFG均为正方形,其中E在BC上,且B、E两点不重合,并连接BG.根据图中标示的角判断下列∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系何者正确?
( )
A.∠1<∠2B.∠1>∠2C.∠3<∠4D.∠3>∠4
3、(2013年南京)已知如图所示的图形的面积为24,根据图中的条件,可列出方程:
。
4、(2013•德州)如图,在正方形ABCD中,边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上,下列结论:
①CE=CF;
②∠AEB=75°
;
③BE+DF=EF;
④S正方形ABCD=2+
.
其中正确的序号是 (把你认为正确的都填上).
5、(2013•黔东南州)如图,在正方形ABCD中,点M是对角线BD上的一点,过点M作ME∥CD交BC于点E,作MF∥BC交CD于点F.求证:
AM=EF.
【课后作业】
1、(2013台湾、23)附图为正三角形ABC与正方形DEFG的重迭情形,其中D、E两点分别在AB、BC上,且BD=BE.若AC=18,GF=6,则F点到AC的距离为何?
A.2B.3C.12﹣4
D.6
﹣6
第1题图第2题图第3题图第4题图
2、(2013•咸宁)如图,正方形ABCD是一块绿化带,其中阴影部分EOFB,GHMN都是正方形的花圃.已知自由飞翔的小鸟,将随机落在这块绿化带上,则小鸟在花圃上的概率为( )
3、(2013•苏州)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是边长为2的正方形,顶点A、C分别在x,y轴的正半轴上.点Q在对角线OB上,且QO=OC,连接CQ并延长CQ交边AB于点P.则点P的坐标为 .
4、(2013•烟台)如图,正方形ABCD的边长为4,点E在BC上,四边形EFGB也是正方形,以B为圆心,BA长为半径画
,连结AF,CF,则图中阴影部分面积为 .
5、(绵阳市2013年)对正方形ABCD进行分割,如图1,其中E、F分别是BC、CD的中点,M、N、G分别是OB、OD、EF的中点,沿分化线可以剪出一副“七巧板”,用这些部件可以拼出很多图案,图2就是用其中6块拼出的“飞机”。
若△GOM的面积为1,则“飞机”的面积为。
6、(2013年南京)如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分
ABC,P是BD上一点,过点P作PMAD,PNCD,垂
足分别为M、N。
(1)求证:
ADB=CDB;
(2)若ADC=90,求证:
四边形MPND是正方形。
7、(2013•毕节地区)四边形ABCD是正方形,E、F分别是DC和CB的延长线上的点,且DE=BF,连接AE、AF、EF.
△ADE≌△ABF;
(2)填空:
△ABF可以由△ADE绕旋转中心 点,按顺时针方向旋转 度得到;
(3)若BC=8,DE=6,求△AEF的面积.
8、(2013济宁)如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是边AD、DC上的点,且AF⊥BE.
AF=BE;
(2)如图2,在正方形ABCD中,M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点,且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等?
并说明理由.
【课后反馈】
本次______________同学课堂状态:
_________________________________________________________________
本次课后作业:
___________________________________________________________________________________
需要家长协助:
____________________________________________________________________________________
家长意见:
________________________________________________________________________________________
【参考答案】
1、B2、C3、C4、C5、6,6
6、107、135
8、
(1)证明:
∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD,∠=90°
,DC=CB,
∵E、F为DC、BC中点,∴DE=
DC,BF=
BC,∴DE=BF,
∵在△ADE和△ABF中,
,∴△ADE≌△ABF(SAS);
(2)解:
由题知△ABF、△ADE、△CEF均为直角三角形,
且AB=AD=4,DE=BF=
×
4=2,CE=CF=
4=2,∴S△AEF=S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF
=4×
4﹣
4×
2﹣
2×
2=6.
9、
(1)证明:
在正方形ABCD中,
∵BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,∴△CBE≌△CDF(SAS).∴CE=CF.
GE=BE+GD成立.
理由是:
∵由
(1)得:
△CBE≌△CDF,∴∠BCE=∠DCF,∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠ECF=∠BCD=90°
,
又∠GCE=45°
,∴∠GCF=∠GCE=45°
∵CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,∴△ECG≌△FCG(SAS).∴GE=GF.∴GE=DF+GD=BE+GD.
10、
(1)证明:
∵点O为AB的中点,连接DO并延长到点E,使OE=OD,
∴四边形AEBD是平行四边形,
∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°
,∴平行四边形AEBD是矩形;
(2)当∠BAC=90°
时,
理由:
∵∠BAC=90°
,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,∴AD=BD=CD,
∵由
(1)得四边形AEBD是矩形,∴矩形AEBD是正方形
1、B2、D3、本题答案不唯一,如(x1)2=25;
4、①②④
5、证明:
过M点作MQ⊥AD,垂足为Q,作MP垂足AB,垂足为P,
∵四边形ABCD是正方形,∴四边形MFDQ和四边形PBEM是正方形,四边形APMQ是矩形,∴AP=QM=DF=MF,PM=PB=ME,
∵在△APM和△FME中,
,∴△APM≌△FME(SAS),∴AM=EF.
1、D2、C3、(2,4﹣2
)4、4π5、14
6、证明:
(1)∵BD平分ABC,∴ABD=CBD。
又∵BA=BC,BD=BD,∴△ABD△CBD。
∴ADB=CDB。
(2)∵PMAD,PNCD,∴PMD=PND=90。
又∵ADC=90,∴四边形MPND是矩形。
∵ADB=CDB,PMAD,PNCD,∴PM=PN。
∴四边形MPND是正方形。
7、
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB,∠D=∠ABC=90°
而F是DCB的延长线上的点,∴∠ABF=90°
在△ADE和△ABF中
∵△ADE≌△ABF,∴∠BAF=∠DAE,
而∠DAE+∠EBF=90°
,∴∠BAF+∠EBF=90°
,即∠FAE=90°
∴△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点,按顺时针方向旋转90度得到;
(3)解:
∵BC=8,∴AD=8,
在Rt△ADE中,DE=6,AD=8,∴AE=
=10,
∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点,按顺时针方向旋转90度得到,
∴AE=AF,∠EAF=90°
,∴△AEF的面积=AE2=×
100=50(平方单位).
在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAE=∠D=90°
,∴∠DAF+∠BAF=90°
∵AF⊥BE,∴∠ABE+∠BAF=90°
,∴∠ABE=∠DAF,
∵在△ABE和△DAF中,
,∴△ABE≌△DAF(ASA),∴AF=BE;
MP与NQ相等.
理由如下:
如图,过点A作AF∥MP交CD于F,过点B作BE∥NQ交AD于E,则与
(1)的情况完全相同.
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