挑战中考数学压轴题图形的平移翻折与旋转.docx
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挑战中考数学压轴题图形的平移翻折与旋转
第四部分图形的平移翻折与旋转
4.1图形的平移
例12015年泰安市中考第15题
如图1,在平面直角坐标系中,正三角形OAB的顶点B的坐标为(2,0),点A在第一象限内,将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′B′A′的位置,此时点A′的横坐标为3,则点B′的坐标为().
A.(4,)B.(3,)C.(4,)D.(3,)
图1图2
动感体验
请打开几何画板文件名“15泰安15”,拖动点A'运动的过程中,可以体验到,△A′OC保持等边三角形的形状.
答案A.思路如下:
如图2,当点B的坐标为(2,0),点A的横坐标为1.
当点A'的横坐标为3时,等边三角形A′OC的边长为6.
在Rt△B′CD中,B′C=4,所以DC=2,B′D=.此时B′.
例22014年江西省中考第11题
如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,将△ABC沿射线BC方向平移2个单位后,得到△A′B′C′,联结A′C,则△A′B′C的周长为_______.
动感体验
请打开几何画板文件名“14江西11”,拖动点B′运动,可以体验到,△A′B′C′向右移动2个单位后,△A′B′C是等边三角形.
答案12.
4.2图形的翻折
例12015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第18题
如图1,在矩形ABCD中,AD=15,点E在边DC上,联结AE,△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F,过点F作FG⊥AD,垂足为G.如果AD=3GD,那么DE=_____.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“15宝山嘉定18”,拖动点E在DC上运动,可以体验到,
△ADE与△AFE保持全等,△AMF与△FNE保持相似(如图2所示).
答案.思路如下:
如图2,过点F作AD的平行线交AB于M,交DC于N.
因为AD=15,当AD=3GD时,MF=AG=10,FN=GD=5.
在Rt△AMF中,AF=AD=15,MF=10,所以AM=.
设DE=m,那么NE=.
由△AMF∽△FNE,得,即.解得m=.
图2
例22014年上海市中考第18题
如图,已知在矩形ABCD中,点E在边BC上,BE=2CE,将矩形沿着过点E的直线翻折后,点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处,且点C′、D′、B在同一条直线上,折痕与边AD交于点F,D′F与BE交于点G.设AB=t,那么△EFG的周长为______________(用含t的代数式表示).
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14福州10”,拖动点F在AD上运动,可以体验到,当点C′、D′、B在同一条直线上时,直角三角形BCE的斜边BE等于直角边C′E的2倍,△BCE是30°角的直角三角形,此时△EFG是等边三角形(如图2).
答案.思路如下:
如图2,等边三角形EFG的高=AB=t,计算得边长为.
图2
4.3图形的旋转
例12015年扬州市中考第17题
如图1,已知Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC=6,BC=4,将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC,若点F是DE的中点,连接AF,则AF=.
图1图2
动感体验
请打开几何画板文件名“15扬州17”,拖动点D绕着点C旋转,可以体验到,当旋转角为90°时,FH是△ECD的中位线,AF是直角三角形AHF的斜边.
答案5.思路如下:
如图2,作FH⊥AC于H.
由于F是ED的中点,所以HF是△ECD的中位线,所以HF=3.
由于AE=AC-EC=6-4=2,EH=2,所以AH=4.所以AF=5.
例22014年上海市黄浦区中考模拟第18题
如图1,在△ABC中,AB=AC=5,BC=4,D为边AC上一点,且AD=3,如果△ABD绕点A逆时针旋转,使点B与点C重合,点D旋转至D',那么线段DD'的长为.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14黄浦18”,拖动点B'绕点A逆时针旋转,可以体验到,两个等腰三角形ABB'与等腰三角形ADD'保持相似(如图2).
答案.思路如下:
如图3,由△ABC∽△ADD',可得.5∶4=3∶DD'.
图2图3
4.4三角形
例12015年上海市长宁区中考模拟第18题
如图1,△ABC≌△DEF(点A、B分别与点D、E对应),AB=AC=5,BC=6.△ABC固定不动,△DEF运动,并满足点E在BC边从B向C移动(点E不与B、C重合),DE始终经过点A,EF与AC边交于点M,当△AEM是等腰三角形时,BE=_________.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“15长宁18”,拖动点E在BC上运动,可以体验到,△AEM有三个时刻成为等腰三角形,其中一个时刻点E与点B重合.
答案或1.思路如下:
设BE=x.
由△ABE∽△ECM,得,即.
等腰三角形AEM分三种情况讨论:
①如图2,如果AE=AM,那么△AEM∽△ABC.
所以.解得x=0,此时E、B重合,舍去.
②如图3,当EA=EM时,.解得x=1.
③如图4,当MA=ME时,△MEA∽△ABC.所以.解得x=.
图2图3图4
例22014年泰州市中考第16题
如图1,正方形ABCD的边长为3cm,E为CD边上一点,∠DAE=30°,M为AE的中点,过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q.若PQ=AE,则AP的长等于__________cm.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14泰州16”,拖动点P在AD上运动,观察度量值,可以体验到,存在两个时刻PQ=AE.
答案1或2.思路如下:
如图2,当PQ=AE时,可证PQ与AE互相垂直.
在Rt△ADE中,由∠DAE=30°,AD=3,可得AE=.
在Rt△APM中,由∠PAM=30°,AM=,可得AP=2.
在图3中,∠ADF=30°,当PQ=DF时,DP=2,所以AP=1.
图2图3
4.5四边形
例12015年安徽省中考第9题
如图1,矩形ABCD中,AB=8,BC=4.点E在边AB上,点F在边CD上,点G、H在对角线AC上.若四边形EGFH是菱形,则AE的长是().
A.B.C.5D.6
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“15安徽09”,拖动点E在AB上运动,可以体验到,当EF与AC垂直时,四边形EGFH是菱形(如图2).
答案C.思路如下:
如图3,在Rt△ABC中,AB=8,BC=4,所以AC=.
由cos∠BAC=,得.所以AE=5.
图2图3
例22014年广州市中考第8题
将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形ABCD,转动这个四边形,使它形状改变.当∠B=90°时,如图1,测得AC=2.当∠B=60°时,如图2,AC等于().
(A);(B)2;(C);(D)2.
图1图2
动感体验
请打开几何画板文件名“14广州08”,拖动点A绕着点B旋转,可以体验到,当∠B=90°时,△ABC是等腰直角三角形;当∠B=60°时,△ABC是等边三角形(如图3).
答案(A).思路如下:
4.6圆
例12015年兰州市中考第15题
如图1,⊙O的半径为2,AB,CD是互相垂直的两条直径,点P是⊙O上任意一点(P与A,B,C,D不重合),过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥CD于点N,点Q是MN的中点,当点P沿着圆周转过45°时,点Q走过的路径长为__________.
A.B.C.D.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“15兰州15”,拖动点P在圆周上运动一周,可以体验到,当点P沿着圆周转过45°时,点Q走过的路径是圆心角为45°半径为1的一段弧.
答案A.思路如下:
如图2,四边形PMON是矩形,对角线MN与OP互相平分且相等,因此点Q是OP的中点.
如图3,当∠DOP=45°时,的长为.
图2图3
例22014年温州市中考第16题
如图1,在矩形ABCD中,AD=8,E是AB边上一点,且AE=AB,⊙O经过点E,与边CD所在直线相切于点G(∠GEB为锐角),与边AB所在直线相交于另一点F,且EG∶EF=∶2.当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时,AB的长是________.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14温州16”,拖动点B运动,可以体验到,⊙O的大小是确定的,⊙O既可以与BC相切(如图3),也可以与AD相切(如图4).
答案12或4.思路如下:
如图2,在Rt△GEH中,由GH=8,EG∶EF=∶2,可以得到EH=4.
在Rt△OEH中,设⊙O的半径为r,由勾股定理,得r2=42+(8-r)2.解得r=5.
设AE=x,那么AB=4x.
如图3,当⊙O与BC相切时,HB=r=5.
由AB=AE+EH+HB,得4x=x+4+5.解得x=3.此时AB=12.
如图4,当⊙O与AD相切时,HA=r=5.
由AE=AH-EH,得x=5-4=1.此时AB=4.
图2图3图4
4.7函数图像的性质
例12015年青岛市中考第8题
如图1,正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于A、B两点,其中点A的横坐标为2,当y1>y2时,x的取值范围是().
A.x<-2或x>2B.x<-2或0<x<2
C.-2<x<0或0<x<2D.-2<x<0或x>2
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“15青岛08”,拖动点D在x轴上运动,观察线段EF的两个端点E、F的位置关系,可以体验到,当-2<x<0或x>2时,点E在点F的上方.
答案D.如图2所示.
图2
例22014年苏州市中考第18题
如图1,直线l与半径为4的⊙O相切于点A,P是⊙O上一个动点(不与点A重合),过点P作PB⊥l,垂足为B,联结PA.设PA=x,PB=y,则(x-y)的最大值是_____.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14苏州18”,拖动点P在圆上运动一周,可以体验到,AF的长可以表示x-y,点F的轨迹象两叶新树丫,当AF最大时,OF与AF垂直(如图2).
答案2.思路如下:
如图3,AC为⊙O的直径,联结PC.
由△ACP∽△PAB,得,即.所以.
因此.
所以当x=4时,x-y最大,最大值为2.
图2图3
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