二次函数很全1文档格式.docx

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x为自变量，y为因变量。

等号右边自变量的最高次数是2。

二次函数图像是轴对称图形。

对称轴为直线

顶点坐标

交点式为

（仅限于与x轴有交点和的抛物线），与x轴的交点坐标是

和

。

注意：

“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”。

“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在实数范围内任意取值。

在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。

从函数的定义也可看出二者的差别，如同函数不等于函数的关系。

1.二次函数是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。

开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。

抛物线是轴对称图形，不是中心对称图形。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。

2.抛物线有一个顶点P，坐标为P

当

时，P在y轴上；

当

时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>

0时，抛物线向上开口；

当a<

0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab>

0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab<

0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0,c）

6.抛物线与x轴交点个数：

时，抛物线与x轴有2个交点。

时，抛物线与x轴有1个交点。

时，抛物线与x轴没有交点。

时，函数在

处取得最小值

；

处取得最大值

时，抛物线的对称轴是y轴，解析式变形为y=ax²

+c（a≠0）。

3、解析式：

①一般式：

⑴a≠0

⑵若a>

0，则抛物线开口朝上；

若a<

0，则抛物线开口朝下；

⑶顶点：

⑷

若Δ>

0，则图象与x轴交于两点：

若Δ=0，则图象与x轴切于一点：

若Δ<

0，图象与x轴无公共点；

②顶点式：

此时，对应顶点为，其中,；

③交点式：

图象与x轴交于

两点。

3表达式编辑

y=a（x-h）²

+k（a≠0,a、h、k为常数）,顶点坐标为（h,k）对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数

的图像相同，当x=m时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

例：

已知二次函数y的顶点（1,2）和另一任意点（3,10），求y的解析式。

解：

设y=a（x-1）²

+2，把（3,10）代入上式，解得y=2（x-1）²

+2。

与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>

0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。

具体可分为下面几种情况：

当h>

0时，y=a（x-h）²

的图象可由抛物线y=ax²

向右平行移动h个单位得到；

当h<

向左平行移动|h|个单位得到；

0,k>

0时，将抛物线y=ax²

向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a（x-h）²

+k的图象；

0,k<

向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）²

向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a（x-h）²

向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）²

+k的图象。

y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）[仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0.

已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1,0）和B（x2,0）,我们可设y=a（x-x1）（x-x2）,然后把第三点代入x、y中便可求出a。

由一般式变为交点式的步骤：

（韦达定理）

重要概念：

a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。

a>

0时，开口方向向上；

a<

0时，开口方向向下。

a的绝对值可以决定开口大小。

a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。

y=a（x-x1）*（x-x2）

若ax²

+bx+c=0有两个实根x1,x2，则y=a（x-x1）（x-x2）此抛物线的对称轴为直线

方法1：

已知二次函数上三个点，（x1,y1）、（x2,y2）、（x3,y3）。

把三个点分别代入函数解析式，有：

得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

4函数图象编辑

在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax2+bx+c的图像，可以看出，在没有特定定义域的二次函数图像是一条永无止境的抛物线。

如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由

平移得到的。

二次函数图像

对称轴与二次函数图象唯一的交点为二次函数图象的顶点P。

特别地，当b=0时，二次函数图象的对称轴是y轴（即直线x=0）。

是顶点的横坐标（即x=？

）。

a,b同号，对称轴在y轴左侧

a,b异号，对称轴在y轴右侧

二次函数图象有一个顶点P，坐标为P（h,k）。

当h=0时，P在y轴上；

当k=0时，P在x轴上。

即可表示为顶点式y=a（x-h）2+k。

二次项系数a决定二次函数图象的开口方向和大小。

0时，二次函数图象向上开口；

|a|越大，则二次函数图象的开口越小。

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

0,与b同号时（即ab>

因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<

0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号

0,与b异号时（即ab<

因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>

0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab>

0），对称轴在y轴右。

事实上，b有其自身的几何意义：

二次函数图象与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。

可通过对二次函数求导得到。

常数项c决定二次函数图象与y轴交点。

二次函数图像与y轴交于（0,C）

顶点坐标为（h,k），与y轴交于（0,C）。

0;

k>

0或a>

k<

0时，二次函数图象与x轴有2个交点。

k=0时，二次函数图象与x轴只有1个交点。

质疑点：

0时，二次函数图象与x轴无交点。

0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在x<

h范围内是减函数，在x>

h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>

k

0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x<

h范围内是增函数，在x>

h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图象的开口向下，函数的值域是y<

当h=0时，抛物线的对称轴是y轴。

5函数图象编辑

对称关系

对于一般式：

①y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图象关于y轴对称

②y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图象关于x轴对称

③y=ax2+bx+c与

关于顶点对称

④y=ax2+bx+c与y=-ax2+bx-c关于原点中心对称。

（即绕原点旋转180度后得到的图形）

对于顶点式：

①y=a（x-h）2+k与y=a（x+h）2+k两图象关于y轴对称，即顶点（h,k）和（-h,k）关于y轴对称，横坐标相反、纵坐标相同。

②y=a（x-h）2+k与y=-a（x-h）2-k两图象关于x轴对称，即顶点（h,k）和（-h,k）关于x轴对称，横坐标相同、纵坐标相反。

③y=a（x-h）2+k与y=-a（x-h）2+k关于顶点对称，即顶点（h,k）和（h,k）相同，开口方向相反。

④y=a（x-h）2+k与y=-a（x+h）2-k关于原点对称，即顶点（h,k）和（-h,-k）关于原点对称，横坐标、纵坐标都相反。

（其实①③④就是对f（x）来说f（-x）,-f（x）,-f（-x）的情况）[3]

6五点法编辑

五点草图法又被叫做五点作图法是二次函数中一种常用的作图方法。

注明：

虽说是草图，但画出来绝不是草图。

五点草图法中的五个点都是极其重要的五个点，分别为：

顶点，与x轴交点与y轴交点及其对称点。

7方程关系编辑

特别地，二次函数（以下称函数）

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

[7]

1．二次函数y=ax2，y=a（x-h）2，y=a（x-h）2+k，y=ax2+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

y=ax2（0，0）x=0

再向上移动k个单位，就可得到y=a（x+h）2+k（h<

0）的图象

0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位，就可得到y=a（x+h）2+k（h<

在向上或向下。

向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。

因此，研究抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a（x-h）2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了。

这给画图象提供了方便。

2．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象：

0时，开口向上，当a<

0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是（-b/2a，[4ac-b2]/4a）。

3．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），若a>

0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；

当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大。

0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大；

当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小。

4．抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

（1）图象与y轴一定相交，交点坐标为（0,c）；

（2）当

时，图象与x轴交于两点A（x1,0）和B（x2,0），其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根．这两点间的距离

另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由

（A为其中一点的横坐标）

时，图象与x轴只有一个切点；

时，图象与x轴没有公共点。

0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>

0；

0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<

0。

5．抛物线y=ax2+bx+c的最值：

如果a>

0，则当

时，

如果a<

时，

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。

6．用待定系数法求二次函数的解析式

（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式（表达式）为一般形式：

（a≠0）

（2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：

y=a（x-h）2+k（a≠0）。

（3）当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：

y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）。

[3]

8学习方法编辑

1.要理解函数的意义。

2.要记住函数的几个表达形式，注意区分。

3.一般式，顶点式，交点式，等，区分对称轴，顶点，图象，y随着x的增大而减小（增大）（增减值）等的差异性。

4.联系实际对函数图象的理解。

5.计算时，看图象时切记取值范围。

6.随图象理解数字的变化而变化。

二次函数考点及例题

二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。

因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现。

（1）对二次函数概念理解有误，漏掉二次项系数不为0这一限制条件；

（2）对二次函数图象和性质存在思维误区；

（3）忽略二次函数自变量取值范围；

（4）平移抛物线时，弄反方向。

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

+bx+c

（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>

0时，开口方向向上，a<

0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.）

则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

一般式：

+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

顶点式：

+k[抛物线的顶点P（h,k）]

交点式：

y=a（x-x1）（x-x2）[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]

注：

在3种形式的互相转化中，有如下关系：

1.抛物线是轴对称图形。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P，坐标为

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线开口大小。

0时，抛物线开口向上；

0时，抛物线开口向下

4.一次项系数b和二次项系数a有1个交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

Δ=b²

-4ac>

0时，抛物线与x轴有2个交点。

-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

-4ac<

0时，抛物线与x轴没有交点。

x的取值是虚数。

[3][8]

9常用工具编辑

几何画板——基础代数几何必备.注意：

左增右减

10练习题编辑

下列结论正确的是（）

　　A、是二次函数

　　B、二次函数自变量的取值范围是所有实数

　　C、二次方程是二次函数的特例

　　D、二次函数自变量的取值范围是非零实数

已知函数:

y=x²

-4x+3

（1）画出函数的图像（用五点法）

（2）观察图像，当X取那些值时，函数值为0？

词条图册更多图册

◆

二次函数（16张）

1． 

函数内容的学习重心 

．西海教育网 

[引用日期2013-01-7] 

．

2． 

二次函数及其图像 

．明春生教学工作室 

3． 

高一数学知识点归纳：

二次函数 

．陕西高考网 

．222002 

[引用日期2012-10-20] 

4． 

顶点式推出（h,k）的题型 

．菁优网 

[引用日期2013-03-14] 

5． 

二次函数y=a（x-h）2+k的图象 

．豆丁网 

[引用日期2013-06-6] 

6． 

一元二次不等式的解法 

．新语文网站 

[引用日期2013-01-24] 

7． 

高一数学知识点：

．中国教育在线 

[引用日期2013-01-25] 

8． 

．EOL 

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