数值计算方法I实验报告作业Word格式.docx
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ve=zeros(1,21);
ve
(2)=ess
roots(poly(1:
20)ve)
上述简单的MATLAB程序便得到(1.2)的全部根,程序中的“ess”即是(1.2)
中的;
。
实验要求:
(1)选择充分小的ess,反复进行上述实验,记录结果的变化并分析它们。
如果扰动项的系数;
很小,我们自然感觉(1.1)和(1.2)的解应当相差很小。
计算中你有什么出乎意料的发现?
表明有些解关于如此的扰动敏感性如何?
(2)将方程(1.2)中的扰动项改成;
x18或其它形式,实验中又有怎样的现象?
(3)(选作部分)请从理论上分析产生这一问题的根源。
注意我们可以将方程
(1.2)写成展开的形式,
2019
p(x,:
)=x—:
x19叮-0(1.3)
同时将方程的解X看成是系数:
的函数,考察方程的某个解关于:
的扰动是否敏感,与研究它关于:
的导数的大小有何关系?
为什么?
你发现了什么现象,哪些根关于〉的变化更敏感?
实验过程:
对ess取不同的值,带入函数得出相同i的情况下,结果的差异;
对i取不同的值,带入函数得出相同ess的情况下,结果的不同。
程序:
functioneffect(ess)ve=zeros(1,21);
ve
(2)=ess;
formatshortroots(poly(1:
20)+ve)
实验结果:
ans
0.000001
0.0000001
0.00000001
0.000000001
0.0000000001
2
21.3025+
20.4220+
19.8692+
19.9513
19.9952
1.5672i
0.9992i
0.4830i
19.2322
19.0330
21.3025-
20.4220-
19.8692-
17.6604+
17.8638
0.7003i
17.2299
18.5028+
18.1572+
17.8767+
17.6604-
15.5044+
3.6004i
2.4702i
1.5257i
0.1556i
18.5028-
18.1572-
17.8767-
15.4537+
15.5044-
0.8891i
15.1651+
15.3147+
15.4031+
15.4537-
13.6984
3.7612i
2.6987i
1.7507i
13.2332
15.1651-
15.3147-
15.4031-
13.3455+
11.9006
0.4972i
11.0500
12.4866+
12.8460+
13.1302+
13.3455-
9.9829
2.8828i
2.0622i
1.2796i
9.0050
12.4866-
12.8460-
13.1302-
11.8733
7.9989
11.0239
7.0002
10.5225+
10.9206+
11.2511+
10.0014
6.0000
1.7196i
1.1013i
0.4806i
8.9984
5.0000
10.5225-
10.9206-
11.2511-
8.0004
4.0000
6.9999
3.0000
9.0448+
9.5767
9.9302
2.0000
0.5947i
9.1074
9.0101
1.0000
9.0448-
7.9948
7.9990
7.0001
7.9489
7.0025
3
20.2296+
19.7653+
19.9765
19.9976
19.9994
0.8314i
0.2995i
19.1384
19.0177
19.0055
20.2296-
19.7653-
17.6369+
17.9330
17.9744
0.5206i
17.1227
17.0653
18.1285+
17.8425+
17.6369-
15.8172
15.8551
2.1925i
1.3013i
15.1710
15.1864
18.1285-
17.8425-
15.4896+
13.9089
13.7981
0.7750i
13.0372
13.1723
15.4044+
15.4531+
15.4896-
11.9976
11.9091
2.5140i
1.5826i
10.9944
11.0465
15.4044-
15.4531-
13.3819+
10.0038
9.9846
0.5003i
8.9987
9.0041
12.9354+
13.1873+
13.3819-
8.0003
7.9992
1.9888i
1.1911i
7.0000
12.9354-
13.1873-
11.8068
11.0737
10.9628+
11.2774+
9.9859
1.0902i
0.4266i
9.0022
10.9628-
11.2774-
7.9998
9.5623
9.9429
9.1226
9.0061
7.9934
8.0000
7.0003
4
19.8184
19.9881
19.9984
20.0002
19.5494
19.0816
19.0139
18.9979
18.9987
17.8047+
17.6096+
17.9374
18.0104
18.0038
1.0917i
0.3292i
17.1353
16.9680
16.9952
17.8047-
17.6096-
15.6615
16.0585
15.9995
15.3816
14.9185
15.0117
15.4956+
15.5064+
13.6778
14.0786
13.9791
1.4207i
0.6411i
13.2631
12.9473
13.0207
15.4956-
15.5064-
11.8919
12.0286
11.9868
11.0513
10.9894
11.0058
13.2439+
13.4056+
9.9847
10.0031
9.9985
1.1128i
0.4138i
9.0038
8.9993
9.0002
13.2439-
13.4056-
7.9993
8.0001
11.3003+
11.8365
0.4128i
11.0604
11.3003-
9.9888
9.0014
9.9340
9.0099
5
19.9948
19.9998
20.0003
19.0405
19.0013
18.9976
17.7775
17.9951
18.0083
17.3662
17.0102
16.9825
15.5112+
15.9866
16.0228
0.4154i
15.0100
14.9808
15.5112-
13.9989
14.0104
12.9933
12.9970
13.4374+
12.0089
12.0005
0.1797i
10.9933
10.9994
13.4374-
10.0034
10.0007
8.9988
8.9995
11.8905
8.0002
11.0414
9.9903
9.0020
7.9997
6
20.0007
18.9932
18.0283
16.9158
16.1375
14.7973
14.1994
12.8695
12.0816
10.9679
10.0111
8.9973
8.0005
7~21
实验分析:
(1)对于同一项即(i=21,20,19,18,…)的扰动,随着扰动系数的减小,扰动也越来
越小
(2)当相同的扰动系数作用于不同的项式,随着幕数的降低,扰动越来越小,扰动
的项的幕数越高,扰动越敏感,误差越大。
实验总结:
通过本次试验,了解了病态问题的产生原因和产生的影响。
在以后的学习中,对于病态问题的处理应该给予相当大的重视。
实验二插值法
实验2.1(多项式插值的振荡现象)
考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。
显然拉格朗日
插值中使用的节点越多,插值多项式的次数就越高。
我们自然关心插值多
项式的次数增加时,Ln(x)是否也更加靠近被逼近的函数。
龙格(Runge)
Xi
重复上述的实验看其结果如何。
(3)区间[a,b]上切比雪夫点的定义为
'
(2k-1)兀
s
l2(n+1)
以X1,X2,…Xn・1为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式,比较其结果
实验2.2(样条插值的收敛性)
多项式插值是不收敛的,即插值的节点多,效果不一定就好。
对样条函数插值又如何呢?
理论上证明样条插值的收敛性是比较困难的,但通过本实验可以验证这一理论结果。
实验内容:
请按一定的规则分别选择等距或者非等距的插值节点,并不
断增加插值节点的个数。
考虑实验2.1中的函数或选择其他你有兴趣的函数,可以用MATLAB的函数“spline”作此函数的三次样条插值。
(1)随节点个数增加,比较被逼近函数和样条插值函数误差的变化情况。
分析所得结果并与拉格朗日多项式插值比较。
(2)样条插值的思想是早产生于工业部门。
作为工业应用的例子考虑如下问题:
某汽车制造商用三次样条插值设计车门的曲线,其中一段的数据如下:
Xk
1
7
8
9
10
yk
0.01
0.79
1.53
2.19
2.71
r3.03]
3.27
2.89
3.06
3.19
[3.29
yk'
0.8
0.2
思考题一:
(二维插值)
在一丘陵地带测量高程,x和y方向每隔100米测一个点,得高程数据如下。
试用MATLAB的二维插值函数“interp2”进行插值,并由此找出最高点和该点的高程。
yf^—x.
100
200
300
400
:
636
697
624
478
698
712
630
680
674
598
412「
662
626
552
334
相关MATLAB函数提示:
plot(x,y)
作出以数据(x(i),y(i))为节点的折线图,其中x,y为同长度的向量
subplot(m,n,k)yi=interp1(x,y,xi)pp=spline(x,y)
将图形窗口分为m*n个子图,并指向第k幅图根据数据(x,y)给出在xi的分段线性插值结果yi返回样条插值的分段多项式(pp)形式结构
pp=csape(x,y,'
边界类型’,’边界值’)生成各种边界条件的三次样条插值
yi=ppval(pp,xi)
pp样条在xi的函数值
ZI=interp2(x,y,z,xi,yi)x,xi为行向量,y,yi为列向量,z为矩阵的双线性二维插值
ZI=interp2(…,'
spline'
)使用二元三次样条插值
Zl=griddata(x,y,z,xi,yi)x,y,z均为向量(不必单调)表示数据,xi,yi为网格向量
的三角形线性插值(不规则数据的二维插值)
牛顿插值源程序:
functiony=j(xx,k)
n=length(xx);
s=1;
form=1:
n
ifm~=k
s=s*(xx(k)_xx(m));
end
y=s;
均差函数
functionjj=juncha(xO,yO)
jj
(1)=y0
(1);
n=length(x0);
form=2:
s=0;
formm
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- 数值 计算方法 实验 报告 作业