二次函数与四边形的动点问题(含答案).doc
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二次函数与四边形
一.二次函数与四边形的形状
A
例1.如图,抛物线与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2.
(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式;
(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平
行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值;
(3)点G是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?
如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.
B(0,4)
A(6,0)
E
F
O
练习1.23.如图,对称轴为直线的抛物线经过点
A(6,0)和B(0,4).
(1)求抛物线解析式及顶点坐标;
(2)设点E(,)是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形.求平行四边形OEAF的面积S与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
①当平行四边形OEAF的面积为24时,请判断平行四边形OEAF是否为菱形?
②是否存在点E,使平行四边形OEAF为正方形?
若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
练习2.25.如图,已知与轴交于点和的抛物线的顶点为,抛物线与关于轴对称,顶点为.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)已知原点,定点,上的点与上的点始终关于轴对称,则当点运动到何处时,以点为顶点的四边形是平行四边形?
(3)在上是否存在点,使是以为斜边且一个角为的直角三角形?
若存,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
1
2
3
4
5
5
4
3
2
1
练习3.如图,已知抛物线与坐标轴的交点依次是,,.
(1)求抛物线关于原点对称的抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为,抛物线与轴分别交于两点(点在点的左侧),顶点为,四边形的面积为.若点,点同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动;与此同时,点,点同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动,直到点与点重合为止.求出四边形的面积与运动时间之间的关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)当为何值时,四边形的面积有最大值,并求出此最大值;
(4)在运动过程中,四边形能否形成矩形?
若能,求出此时的值;若不能,请说明理由.
二.二次函数与四边形的面积
例1.25.如图10,已知抛物线P:
y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上),与y轴交于点C,矩形DEFG的一条边DE在线段AB上,顶点F、G分别在线段BC、AC上,抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下:
x
…
-3
-2
1
2
…
y
…
-
-4
-
0
…
图10
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)若点D的坐标为(m,0),矩形DEFG的面积为S,求S与m的函数关系,并指出m的取值范围;
(3)当矩形DEFG的面积S取最大值时,连接DF并延长至点M,使FM=k·DF,若点M不在抛物线P上,求k的取值范围.
练习1..如图,平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH,点H的坐标为(-8,0),点N的坐标为(-6,-4).
(1)画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC,并写出顶点A,B,C的坐标(点M的对应点为A,点N的对应点为B,点H的对应点为C);
(2)求出过A,B,C三点的抛物线的表达式;
(3)截取CE=OF=AG=m,且E,F,G分别在线段CO,OA,AB上,求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;面积S是否存在最小值?
若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由;
(4)在(3)的情况下,四边形BEFG是否存在邻边相等的情况,若存在,请直接写出此时m的值,并指出相等的邻边;若不存在,说明理由.
练习3.如图,正方形的边长为,在对称中心处有一钉子.动点,同时从点出发,点沿方向以每秒的速度运动,到点停止,点沿方向以每秒的速度运动,到点停止.,两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结,设秒后橡皮筋扫过的面积为.
B
C
P
O
D
Q
A
B
P
C
O
D
Q
A
(1)当时,求与之间的函数关系式;
(2)当橡皮筋刚好触及钉子时,求值;
(3)当时,求与之间的函数关系式,并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时的变化范围;
(4)当时,请在给出的直角坐标系中画出与之间的函数图象.
练习4.如图,已知抛物线l1:
y=x2-4的图象与x轴相交于A、C两点,B是抛物线l1上的动点(B不与A、C重合),抛物线l2与l1关于x轴对称,以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D.
(1)求l2的解析式;
(2)求证:
点D一定在l2上;
(3)□ABCD能否为矩形?
如果能为矩形,求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件,则求此矩形的面积);如果不能为矩形,请说明理由.注:
计算结果不取近似值
.
三.二次函数与四边形的动态探究
例1.28.如图1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O(0,0),A(4,0),C(0,3),点P是OA边上的动点(与点O、A不重合).现将△PAB沿PB翻折,得到△PDB;再在OC边上选取适当的点E,将△POE沿PE翻折,得到△PFE,并使直线PD、PF重合.
(1)设P(x,0),E(0,y),求y关于x的函数关系式,并求y的最大值;
(2)如图2,若翻折后点D落在BC边上,求过点P、B、E的抛物线的函数关系式;
(3)在
(2)的情况下,在该抛物线上是否存在点Q,使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形?
若不存在,说明理由;若存在,求出点Q的坐标.
图1
图2
例2.、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长(OB (1)求A、B、C三点的坐标; (2)求此抛物线的表达式; (3)连接AC、BC,若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),过点E作EF∥AC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围; (4)在(3)的基础上试说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并求出此时点E的坐标,判断此时△BCE的形状;若不存在,请说明理由. 例3.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,将矩形ABCD沿对角线A平移,平移后的矩形为EFGH(A、E、C、G始终在同一条直线上),当点E与C重时停止移动.平移中EF与BC交于点N,GH与BC的延长线交于点M,EH与DC交于点P,FG与DC的延长线交于点Q.设S表示矩形PCMH的面积,表示矩形NFQC的面积. (1)S与相等吗? 请说明理由. (2)设AE=x,写出S和x之间的函数关系式,并求出x取何值时S有最大值,最大值是多少? (3)如图11,连结BE,当AE为何值时,是等腰三角形. 图11 图10 练习1.如图12,四边形OABC为直角梯形,A(4,0),B(3,4),C(0,4).点从出发以每秒2个单位长度的速度向运动;点从同时出发,以每秒1个单位长度的速度向运动.其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.过点作垂直轴于点,连结AC交NP于Q,连结MQ. 图12 (1)点(填M或N)能到达终点; (2)求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式,并写出自 变量t的取值范围,当t为何值时,S的值最大; (3)是否存在点M,使得△AQM为直角三角形? 若存在,求出点M的坐标, 若不存在,说明理由. 练习2、实验与探究 (1)在图1,2,3中,给出平行四边形的顶点的坐标(如图所示),写出图1,2,3中的顶点的坐标,它们分别是,,; 图1 图2 图3 (2)在图4中,给出平行四边形的顶点的坐标(如图所示),求出顶点的坐标(点坐标用含的代数式表示); 图4 归纳与发现 (3)通过对图1,2,3,4的观察和顶点的坐标的探究,你会发现: 无论平行四边形处于直角坐标系中哪个位置,当其顶点坐标为(如图4)时,则四个顶点的横坐标之间的等量关系为;纵坐标之间的等量关系为(不必证明); 运用与推广 (4)在同一直角坐标系中有抛物线和三个点,(其中).问当为何值时,该抛物线上存在点,使得以为顶点的四边形是平行四边形? 并求出所有符合条件的点坐标. 答案: 一.二次函数与四边形的形状 例1.解: (1)令y=0,解得或∴A(-1,0)B(3,0); 将C点的横坐标x=2代入得y=-3,∴C(2,-3)∴直线AC的函数解析式是y=-x-1 (2)设P点的横坐标为x(-1≤x≤2)则P、E的坐标分别为: P(x,-x-1), E(∵P点在E点的上方,PE= ∴当时,PE的最大值= (3)存在4个这样的点F,分别是 B(0,4) A(6,0) E F O 练习1.解: (1)由抛物线的对称轴是,可设解析式为.把A、B两点坐标代入上式,得 解之,得 故抛物线解析式为,顶点为 (2)∵点在抛物线上,位于第四象限,且坐标适合 , ∴y<0,即-y>0,-y表示点E到OA的距离.∵OA是的对角线, ∴. 因为抛物线与轴的两个交点是(1,0)的(6,0),所以,自变量的 取值范围是1<<6. ①根据题意,当S=24时,即. 化简,得解之,得 故所求的点E有两个,分别为E1(3,-4),E2(4,-4). 点E1(3,-4)满足OE=AE,所以是菱形; 点E2(4,-4)不满足OE=AE,所以不是菱形. ②当OA⊥EF,且OA=EF时,是正方形,此时点E的 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 坐标只能是(3,-3). 而坐标为(3,-3)的点不在抛物线上,故不存在这样的点E, 使为正方形. 练习2.解: (1)由题意知点的坐标为.设的函数关系式为. 又点在抛物线上,,解得. 抛物线的函数关系式为(或). (2)与始终关于轴对称,与轴平行. 设点的横坐标为,则其纵坐标为,,,即.当时,解得.当时,解得.当点运动到或或或时, ,以点为顶点的四边形是平行四边形. (3)满足条件的点不存在.理由如下: 若存在满足条件的点在上,则 1 2 3 5 5 4 3 2 1 ,(或
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