42换元积分法第一类换元法Word格式文档下载.docx
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角军cos2xdx1cos2x2dx=-cos2x(2x)dx
22
令u2x,显然du2dx,
贝Vcos2xdx1cos2x2dx1cosudu1sinuC」sin2xC.
2222
在比较熟练后,我们可以将设中间变量
过程省略,从而使运算更加简洁。
例3(3x2)5dx
解如将(3x2)5展开是很费力的,不如把
3x
然后
(x)的
2作为
中间变量,
d(3x2)
3dx,
1516
3dx二一(3x2)d(3x2)(3x2)
318
32x
232x
2
例5
2xexdx
x
2xedx
ex(x2)dx
exdx2
例6
求X1
x2dx
1
2dx=-
11dx=-—
ex2C
11
d(32x)In|32x|C.
32x2
xJx2dx-(2x).1x2dx
-、厂x2(1x2)dx-x2d(1x2)
233
-VUdu丄h2C-(1x2fC
2233
:
、掌握几种典型的“凑微分”的方法
dxd(axb);
旦7
xn1dx-d(xnb);
exdxd(ex);
n
-dxd(lnx)
axdx
』d(ax)
Ina
cosxdxd(sinx);
sinxdxd(cosx);
secxtanxdxd(secx);
secxdxd(tanx);
dx
d(arcsinx);
cscxdxd(cotx);
d(arctanx)。
1x2
三、利用第一换元积分法法计算有关函数的不定积分
计算有关函数的不定积分时,需要先把被积函数变形转化,再利用第一换元积分法计算•
例7求sin2xdx
—(cos2x)2dxx寸sin2xC.(此题利用三角函
数中的降幂扩角公式)
、a2
x2
(a0)
dxa
叩(;
)2
d(x)arcsin°
a
利用d(xn)
nxn
1dx,有如下例题
sin1
—dxx
丄dx
.1sinVdx
(sinx)(
2)dx
(sin1)
(1)dx
xx
sin-d(-)
cos^C
例10求
ecose
xdx
解excosexdx=cosexd(ex)
sinexC
利用d(ex)
exdx,d(ax)
axInadx
11求
e
习题4-2:
2(30)
xe
x2
(e)
dex
arctanexC.
12
e1
d(ex1)
ex1
xln(ex1)C.
例13求
亠dx
4x9x
(|)x-^dX1
(2)
ln21
(2)x
ln3in严吨)XC
此题利用d(ax)
axinadx
F面几个例题利用d(lnx)丄dx
例14求西
xlnx
inxininxininxinx
dininxin|ininx|C.ininx
例15求l(2inx5)4dx
角军1(2inx5)4dx—(2inx5)4—dx
x2x
1415
(2inx5)d(2inx5)(2inx5)C.
210
一次课可以讲到这里
10
被积函数是分母是二次函数,分子是常数或一次函数的有理分式函数的不定积分的求法
(例16〜例22六个例题)
例16求貝(a0)分子是常数,分母是二次
ax
二项式,没有一次项
11,/x、1丄x
d(—)-arctanC.
a1(x)2aaa
a
例172dx被积函数分母是一个完全平
9x12x4
方式
解
被积函数分母是一个完全平方式,被积函数化为
1,11
2dx二一2(axb)a(axb)
例1842d:
17分子是常数,分母是二次三项
4x4x17
式,不是完全平方式
’/2x11丄/X1、小
c‘d()-arctan(—_)C
81(2x1*'
4824
(4)
被积函数分母是二次三项式且不可以分解因式,
不是完全平方式时可以把分母配方化为(axb)2c的形
式,然后利用!
上如xC
练习:
求
丈丁4—dx(第一换元积分法分)
x2x5
x2x5(x1)4,
11,x11丄x1
d=一arctan—
21(X1)222
(2
被积函数分母是二次三项式且可以分解因式,被积函数可以用裂项法转化为两个简单分式的差.
例20求2dx
1x
分子是次多项式,分母是
二次多项式
解d(x21)2xdx
x,12x,
2dx2dx
1x221x2
£
A(x21}2lnE1}C.
例21求
解Qd(x2
2x10)(2x2)dx,
x22x10
12x22
—~2
2x2x10
2x
12x22,
2dx
2x22x10
12x2,
^dx
1d(x22x10)
丄1n(x2
2x10)
(x1)2
9dx
11111x1
-1n(x22x10)-dx—In(x22x10)-arctanC
29(x1)21233'
被积函数分子是一次多项式,分母是二次多项式时,首先把分子凑成分母的导数•
F面几个例题利用三角函数的微分公式:
d(sinx)cosxdx;
d(cosx)sinxdx;
d(tanx)secxdx;
d(cotx)cscxdx
(化切为弦)
丄,sinx’sinx
tanxdx=dx=
cosxcosx
cosx
d(cosx)
IncosxC
例23求tan3xdx
32
tanxdxtanx(secx1)dx
例24求cscxdx
cscxdx=
sinx
—dx=
cos
—
(x
sin
2-
i
xcos-
xx2sincos—
2xsec-
2.x
rd
tan
1,x
因为
.xsin
2x
2sin一
2sincos-
2sin2—
1cosx
cscxcotx.
cscxdxIn|tan|C
此题用三角万能公式代换也可以
cscxdx=
1.ttan'
1
dx2sinx
t
2t
2dt
1t2
^dt
In|t|CIn|tan|C
例25
5求secxdx
secxdx
sec(x)d(x^)
sin(x
2)
In|csc(x玄)cot(x-2)|CIn|secxtanx|C.
secxdxIn|secxtanx|C
例26求cos3xcos2xdx(利用二角函数积化和差公式)
和差化积公式
积化和差
2sin—
cos—
[sin(
)sin()]
2cos
2;
1[cos(
)cos()]
2sin
根
据
—三
角函数
的
积
化
和差
公式:
cos3x
cos2x
(cos5x
cosx)
cos3xcos2xdxcos5xcosxdx
1111
—cos5xd5x—cosxdx—sin5x—sinxC
102102'
由以上例题可以看出,第一换元积分法是一种非常
灵活的计算方法,始终贯穿着“凑微分”思想,因此
学生应熟悉这些基本例题
V归纳总结
1.第一换元法是把被积函数g(x)凑成f[(x)](x)的形式
然后应用公式
f[(x)](x)]dxu(x)[f(u)du]FuCF(x)C;
2.要熟练掌握几种典型的“凑微分”的方法。
dx1d(axb);
xn1dx1d(xnb);
exdxd(ex)*;
dxd(lnx);
axdx-^d(ax);
anx1Ina
cosxdxd(sinx);
sinxdxd(cosx);
secxdxd(tanx);
escxdxd(cotx);
3.熟练掌握几种典型用第一换元积分法计算的不定
积分
xa
axbxc
exfdx
dx;
axbxcxInxInInx
W课堂练习:
第一次课P2071,习题
4-2:
2
(2)(5)(6)(8)(10)(12)(16)(18)(19);
第二次课2(11)(35)(43)(12)(29).
VD课外作业:
第一次课P207习题4-2:
2
(1)
(2)(4)(6)(7)(8)(9)(13)
(16)(17)(19)(21)(30)
(33).
第二次课2(11)(12)(15)(22)(24)
(25)(26)(32)
(34)(35)(43).
1dx
dtan
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- 42 积分 一类 换元法