第八讲三角函数同角及诱导公式经典难题复习巩固Word格式.docx
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r2
4.三角函数的定义
(1)定义:
设角α的终边与单位圆交于P(x,y),则
sinα=,cosα=,tanα=
(x≠0).
(2)几何表示:
三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是坐标原点,正切线的起点都是单位圆与x轴正半轴的交点.
(3)正弦、余弦、正切函数值的符号规律.
正弦、余弦、正切函数值的符号规律可概括为“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.
①“一全正”是指第一象限的三个三角函数值均为正.
②“二正弦”是指第二象限仅正弦值为正.
③“三正切”是指第三象限仅正切值为正.
④“四余弦”是指第四象限仅余弦值为正.
5.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:
sin2α+cos2α=1;
(2)商数关系:
tanα=.
6.诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
+α
正弦
余弦
正切
口诀
函数名不变符号看象限
函数名改变符号看象限
即α+k·
2π(k∈Z),-α,π±
α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号;
±
α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
三、专题训练:
考点一象限角、终边相同的角的表示
【例1】
(1)如果α是第三象限的角,那么-α,2α的终边落在何处?
(2)写出终边在直线y=x上的角的集合.
[自主解答]
(1)由α是第三象限的角得π+2kπ<α<+2kπ(k∈Z)
⇒--2kπ<-α<-π-2kπ.(k∈Z)
即+2kπ<-α<π+2kπ(k∈Z).∴角-α的终边在第二象限;
由π+2kπ<α<+2kπ得2π+4kπ<2α<3π+4kπ(k∈Z).
∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴.
(2)在(0,π)内终边在直线y=x上的角是,
∴终边在直线y=x上的角的集合为{α|α=+kπ,k∈Z}.
1.为第几象限角?
当k=2n时,+2nπ<<π+2nπ,
当k=2n+1时,π+2nπ<<π+2nπ
∴为第二或第四象限角.
2.已知角α是第一象限角,确定2α,的终边所在的位置.
解:
∵α是第一象限的角,
∴k·
2π<
k·
2π+(k∈Z).
(1)k·
4π<
2α<
4π+π(k∈Z),
即2k·
2k·
2π+π(k∈Z),
∴2α的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上.
(2)k·
π<
<
π+(k∈Z),
当k=2n(n∈Z)时,2nπ<
2nπ+(n∈Z),∴的终边在第一象限.
当k=2n+1(n∈Z)时,(2n+1)π<
(2n+1)π+(n∈Z),即2nπ+π<
2nπ+(n∈Z),
∴的终边在第三象限.
综上,的终边在第一象限或第三象限.
考点二三角函数的定义
【例2】已知角α的终边上一点P(-,m)(m≠0),且sinα=,求cosα,tanα的值.
由题设知x=-,y=m,
∴r2=OP2=(-)2+m2,得r=,从而sinα===,
∴r==2,于是3+m2=8,解得m=±
.
当m=时,r=2,x=-,∴cosα==-,tanα=-;
当m=-时,r=2,x=-,∴cosα==-,tanα=.
(1)已知角α的终边过点P(-3cosθ,4cosθ),其中θ∈(,π),求sinα,cosα,tanα的值.
(2)已知角α的终边过点P(x,-)(x≠0),且cosα=x,求sinα,tanα的值.
(1)∵θ∈(,π),∴-1<
cosθ<
0,
∴r==-5cosθ,∴sinα=-,cosα=,tanα=-.
(2)∵P(x,-)(x≠0),
∴点P到原点的距离r=,∴cosα=.
又∵cosα=x,∴=x.
∵x≠0,∴x=±
,∴r=2.
当x=时,P(,-),由三角函数的定义,得sinα=-,tanα=-.
当x=-时,P(-,-),由三角函数的定义,得sinα=-,tanα=.
考点三同角三角函数基本关系式的应用
【例3】已知α是三角形的内角,且sinα+cosα=.
(1)求tanα的值;
(2)把用tanα表示出来,并求其值.
[自主解答]
(1)法一:
联立方程
由①得cosα=-sinα,
将其代入②,整理得25sin2α-5sinα-12=0,
∵α是三角形内角,∴,∴tanα=-.
法二:
∵sinα+cosα=,
∴(sinα+cosα)2=()2,即1+2sinαcosα=,∴2sinαcosα=-,
∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1+=.
∵sinαcosα=-<
0且0<
π,∴sinα>
0,cosα<
0,∴sinα-cosα>
∴sinα-cosα=,由,得,∴tanα=-.
(2)===
∵tanα=-,∴===-.
1.保持题目条件不变,求:
2sin2α+2sinαcosα的值.
由例题可知tanα=-
(1)===.
(2)sin2α+2sinαcosα====-.
2.已知=,求下列各式的值:
(1);
(2)1-4sinθcosθ+2cos2θ.
法一:
由=得sinθ=2cosθ.
(1)===1;
(2)1-4sinθcosθ+2cos2θ=sin2θ+cos2θ-4sinθcosθ+2cos2θ=5cos2θ-8cos2θ+2cos2θ
=-cos2θ=-=-=-.
由=得=,解得tanθ=2.
于是:
(2)1-4sinθcosθ+2cos2θ=
===-.
考点四利用诱导公式化简、求值
【例4】
(1)设f(α)=(1+2sinα≠0),求f(-π)的值.
(2)化简sin(nπ+π)·
cos(nπ+π)(n∈Z).
=[自主解答]
(1)∵f(α)=
===,
∴f(-)====.
(2)当n=2k(k∈Z)时,
原式=sin(2kπ+π)·
cos(2kπ+π)=sinπ·
cosπ
=sin·
(-cos)=×
(-)=-.
当n=2k+1(k∈Z)时,原式=sin[(2k+1)π+π]·
cos[(2k+1)π+π]
=sin(π+π)·
cos(π+π)=-sinπ·
cos
=-sin·
cos=-×
=-.∴原式=-.
1.化简(k∈Z).
当k为偶数2n(n∈Z)时,
原式=
====-1;
当k为奇数2n+1(n∈Z)时,
原式====-1.
∴当k∈Z时,原式=-1.
2.(2010·
全国卷Ⅰ)记cos(-80°
)=k,那么tan100°
=( )
A.B.-C.D.-
[规范解答] cos(-80°
)=cos80°
=k,sin80°
=,tan80°
=
,tan100°
=-tan80°
=-.
[答案] B
四、技法巧点总结:
1.常见的终边相同的角的表示
角α终边的位置
角α的集合
在x轴的非负半轴上
{α|α=2kπ,k∈Z}
在x轴的非正半轴上
{α|α=2kπ+π,k∈Z}
在y轴的非负半轴上
{α|α=2kπ+,k∈Z}
在y轴的非正半轴上
在x轴上
{α|α=kπ,k∈Z}
在y轴上
{α|α=kπ+,k∈Z}
在坐标轴上
{α|α=,k∈Z}
2.三角函数定义的拓展
已知角α终边上一点P(x,y),求α的三角函数值时,可先求出该点到原点的距离r,再利用下式求解:
sinα=,cosα=,tanα=,这也可看作三角函数的定义.
3.三角函数求值应注意的问题
(1)由一个角的一个三角函数值求其他三角函数值时,要注意讨论角的范围.
(2)注意公式的变形使用,弦切互化、三角代换、消元是三角代换的重要方法,要尽量减少开方运算,慎重确定符号.
4.应用同角三角函数基本关系式的常见规律
(1)sinα+cosα、sinα-cosα与sinαcosα的关系
(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα;
(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα;
(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2;
(sinα+cosα)2-(sinα-cosα)2=4sinαcosα.
对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,已知其中一个式子的值,可求其余二式的值.
(2)“1”的代换
在求值、化简、证明时,常把1表示为三角函数式或特殊角的三角函数值参与运算.使问题得以简化,常见的代换如下:
1=sin2α+cos2α,1=tan,1=(sinα+cosα)2-2sinαcosα.
5、巩固练习:
1.若点P在角π的终边上,且|OP|=2,则点P的坐标为( )
A.(1,) B.(,-1)
C.(-1,-)D.(-1,)
解析:
设P(x,y),则x=2cosπ=-1,
y=2sinπ=,即P(-1,).
2.若角α的终边与角β的终边关于原点对称,则( )
A.α=β
B.α=180°
+β
C.α=k·
+β,k∈Z
D.α=k·
+180°
+β,k∈Z
借助图形可知,若角α与β的终边关于原点对称,
则α=k·
+β.
3.(2011·
大连模拟)点P从(1,0)出发,沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动弧长到达Q点,则Q的坐标为( )
A.(-,)B.(-,-)
C.(-,-)D.(-,)
根据题意得Q(cos(-),sin(-)),即Q(-,-).
4.(2011·
南昌模拟)已知点P(tanα,cosα)在第三象限,则角α的终边在第________象限.
由题意知即
∴α为第二象限角.
5.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,则这个圆心角所对的弧长是________.
设圆的半径为r,则sin1=,
即r=
∴弧长l=rα=.
6.已知角α的终边在直线3x+4y=0上,求sinα,cosα,tanα的值.
∵角α的终边在直线3x+4y=0上,
∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t)(t≠0),
则x=4t,y=-3t,
r===5|t|,
当t>0时,即x>
0时,r=5t,
sinα===-,
cosα===,
tanα===-;
当t<0时,即x<
0时,r=-5t,
sinα===,
cosα===-,
tanα===-.
综上可知,当角α的终边在直线3x+4y=0的x>
0部分时,
sinα=-,cosα=,tanα=-;
当角α的终边在直线3x+4y=0的x<
sinα=,cosα=-,tanα=-.
7.(2011·
顺义模拟)已知△ABC中,tanA=-,则cosA=( )
A.B.C.-D.-
由tanA=-知A为钝角,cosA<
0排除A和B,再由
tanA==-,和sin2A+cos2A=1求得cosA=-.
8.已知f(α)=,则f(-π)的值为( )
A.B.-C.-D.
∵f(α)==-cosα,
∴f(-π)=-cos(π)=-cos(10π+)
=-cos=-.
9.(2011·
宁波模拟)已知实数u,v,定义运算u*v=(u-1)v.设u=cosθ+sinθ,v=cosθ-sinθ-1,则当≤θ≤时,u*v的值域为( )
A.[-,]B.[-,0]C.[0,4]D.[1-,]
u*v=(cosθ+sinθ-1)×
(cosθ-sinθ-1)
=2(cos2θ-cosθ)=2(cosθ-)2-,
当≤θ≤时,cosθ∈[-,],
所以(u*v)∈[-,].
10.sin21°
+sin22°
+…+sin290°
=________.
原式=(sin21°
+sin289°
)+(sin22°
+sin288°
)+…
+(sin244°
+sin246°
)+sin245°
+sin290°
=(sin21°
+cos21°
+cos22°
)+…+(sin244°
+
cos244°
)++1=
++1=45.
11.f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4(a、b、α、β均为非零实数),若f(2011)=6,则f(2012)=________.
f(2011)=asin(2011π+α)+bcos(2011π+β)+4=-asinα-bcosβ+4=6,
∴asinα+bcosβ=-2,
∴f(2012)=asin(2012π+α)+bcos(2012π+β)+4=asinα+bcosβ+4=4-2=2.
12.已知sinθ,cosθ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根.
(1)求cos3(-θ)+sin3(-θ)的值;
(2)求tan(π-θ)-的值.
由已知原方程的判别式Δ≥0,即(-a)2-4a≥0,
∴a≥4或a≤0.
又,(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,
则a2-2a-1=0,
从而a=1-或a=1+(舍去),
因此sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-.
(1)cos3(-θ)+sin3(-θ)=sin3θ+cos3θ
=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)
=(1-)[1-(1-)]=-2.
(2)tan(π-θ)-=-tanθ-=-(+)
=-=-=1+.
六、反思总结:
当堂过手训练(快练五分钟,稳准建奇功!
)
1.终边与坐标轴重合的角α的集合为( )
A.{α|α=k·
,k∈Z}
B.{α|α=k·
180°
,k∈Z}
C.{α|α=k·
90°
D.{α|α=k·
+90°
终边与坐标轴重合的角α的集合为{α|α=k·
,k∈Z}.
答案:
C
2.点P(tan2012°
,cos2012°
)位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
∵2012°
=360°
×
6-148°
,
∴2012°
与-148°
的终边相同,
是第三象限角,
∴tan2012°
>
0,cos2012°
0.
∴P点在第四象限.
3.已知角α的余弦线是单位长度的有向线段,那么角α的终边在( )
A.x轴上B.y轴上
C.直线y=x上D.直线y=-x上
由角α的余弦线长度为1分析可知,角α的终边与x轴重合.
A
4.已知角α的终边过点(-1,2),则cosα=________.
cosα===-=-.
5.弧长为3π,圆心角为135°
的扇形半径为________,面积为________.
弧长l=3π,圆心角α=π,
由弧长公式l=α·
r得r===4,
面积S=lr=6π.
6.(2010·
全国卷Ⅰ)cos300°
A.- B.-
C.D.
cos300°
=cos(360°
-60°
)=cos60°
=.
7.已知点P(sin,cos)落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为( )
A.B.
C.D.
r==1,由三角函数的定义,
tanθ===-1.
又∵sin>
0,cos<
0,∴P在第四象限.
∴θ=.
D
8.(2011·
海口模拟)已知点P(sinα-cosα,tanα)在第一象限,则在[0,2π]内α的取值范围是( )
A.(,)B.(π,π)
C.(,π)D.(,)∪(π,π)
由已知得,解得α∈(,)∪(π,).
9.“tanα=”是“sinα=-”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
因为tanα==,sin2α+cos2α=1,所以sinα=±
,当sinα=-时,tanα=±
,所以“tanα=”是“sinα=-”的既不充分也不必要条件.
10.(2011·
镇江模拟)已知tanθ=2,则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=( )
A.-B.C.-D.
sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ
===.
二、填空题(共3小题,每小题5分,满分15分)
11.若角α的终边落在直线y=-x上,则+的值等于________.
因为角α的终边落在直线y=-x上,α=kπ+,k∈Z,sinα,cosα的符号相反.当α=2kπ+,
即角α的终边在第二象限时,sinα>0,cosα<0;
当α=2kπ+,即角α的终边在第四象限时,
sinα<0,cosα>0.
所以有+=+=0.
三、解答题(共3小题,满分35分)
12.设α为第四象限角,其终边上的一个点是P(x,-),且cosα=x,求sinα和tanα.
∵α为第四象限角,∴x>
∴r=
∴cosα===x
∴x=
∴r==2
13.已知sinθ+cosθ=,且0≤θ≤π,求sinθ-cosθ.
∵sinθ+cosθ=,
∴两边平方得sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=,
即1+2sinθcosθ=,2sinθcosθ=-.
∴<
θ<
π,∴sinθ>
0,cosθ<
∴sinθ-cosθ=
==.
∴sinα===-.
14.已知扇形OAB的圆心角α为120°
,半径长为6,
(1)求
的弧长;
(2)求弓形OAB的面积.
(1)∵α=120°
=,r=6,
∴
的弧长为l=×
6=4π.
(2)∵S扇形OAB=lr=×
4π×
6=12π,
S△ABO=r2·
sin=×
62×
=9,
∴S弓形OAB=S扇形OAB-S△ABO=12π-9.
7.已知sin(α+)=,α∈(-,0),则tanα等于( )
A.-2B.2
C.-D.
∵sin(α+)=,α∈(-,0)
∴cosα=
∴sinα=-=-
∴tanα==-2.
8.若tanα=2,则的值是( )
A.-B.-
∵tanα=2,
∴===-.
9.在△ABC中,cosA=,则sin(B+C)=________.
∵cosA=,0<
A<
π,∴sinA=
∴sin(B+C)=sin(π-A)=sinA=.
10.sinπ·
cosπ·
tan(-π)=________.
原式=sin(π+)cos(π-)tan(-π-)
=(-sin)(-cos)(-tan)
=(-)×
(-)×
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