34实际问题与一元一次方程Word文档格式.docx
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难点:
本讲问题的背景和表达都比较贴近实际,其中有些数量关系比较隐蔽,所以在探究过程中正确地列方程是主要难点.突破难点的关键是弄清问题背景,分析清楚有关数量关系,特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系.
【典型例题】
例1.墙上钉着一根彩绳围成的梯形形状的饰物,如图中实线所示.小明将梯形下底的钉子去掉,并将这条彩绳钉成一个长方形,如图中虚线所示.小明所钉长方形的长、宽各为多少厘米?
分析:
饰物形状变化前后有两个不变的量,一个是周长,另一个是变化前梯形的上底和变化后长方形的宽.根据题意可设长方形的长为x,则长方形的周长为2x+2×
10,梯形的周长为10+10+10+6+10+6=52.则2x+20=52,从而解得x=16.
解:
设小明所钉长方形的长为x,根据题意得:
x+2×
10=10+10+6+10+6+10
整理得,2x+20=52
解得,x=16
由于饰物变化前后长度为10的边没有变化,所以长方形的一边长为10厘米.
答:
长方形的长为16厘米,宽为10厘米.
评析:
图形变化问题的等量关系往往是变化前后的周长相等、面积相等、体积相等.
例2.一批货物,甲把原价降低10元卖出,用售价的10%做积累,乙把原价降低20元,用售价的20%做积累,若两种积累一样多,则这批货物的原售价是多少?
设这批货物的原售价为x元,则甲的积累是×
10%元,乙的积累是×
20%,相等关系是:
甲的积累=乙的积累.
设这批货物的原售价为x元,根据题意得:
×
10%=×
20%
化简得:
x-10=2
即x-10=2x-40
解得x=30
这批货物的原售价为30元.
这个问题的相等关系比较简单,难点是对两个百分数的处理.
例3.某足球比赛的计分规则为胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.一个队踢14场球负5场共得19分,问这个队胜了几场?
根据题意,所得的19分是踢胜的场数和踢平的场数所得的积分,而踢胜的场数和踢平的场数共14-5=9场,如果设胜了x场,那么踢平的场数就是9-x场.分别乘它们的分值,和为19.
设胜了x场,根据题意得:
x+1×
=19
即3x+9-x=19
解得x=5
这个队胜了5场.
积分多少与胜、平、负的场数相关,同时也与比赛积分规定有关,如果对体育比赛有一定了解,会有助于理解题意.
例4.某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5%,由于国际油价上涨,这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%.求这个月的石油价格相对上个月的增长率.
数量关系如下表:
上个月
这个月
石油进口量1-5%
进口石油费用1+14%
石油价格1+x
设这个月的石油价格相对上个月的增长率为x.根据题意得:
=1+14%
解得x==20%
这个月的石油价格相对上个月的增长率为20%.
借助表格来分析较复杂的数量关系.这道题所用的相等关系是:
数量×
价格=费用.
例5.XX年以来,我市药店积极实施药品降价,累计降价的总金额为269亿元.五次药品降价的年份与相应降价金额如下表所示,表中缺失了XX年,XX年的相关数据.已知XX年药品降价金额是XX年药品降价金额的6倍,结合表中信息,求XX年和XX年的药品降价金额.
年份
XX
降价金额
435
0分析:
相等关系较为明显,可以根据累计降价的总金额为269亿元列方程,结合表格如果设XX年降价金额为x亿元,则XX年降价金额为6x亿元,有54+x+35+40+6x=269.
设XX年降价金额为x亿元,根据题意得:
4+x+35+40+6x=269
整理得,7x=140
解得,x=20
x=6×
20=120
XX年和XX年药品降价金额分别是20亿元和120亿元
这个问题是以表格形式传递信息的,这种形式在现实中很普遍,重点培养从不同形式获取有关数据信息,是值得注意的问题.
例6.初一班有学生60人,其中参加数学小组的有36人,参加英语小组的人数比参加数学小组的人数少5人,并且这两个小组都不参加的人数比两个小组都参加的人数的多2人,则同时参加这两个小组的人数是
A.16B.12c.10D.8
数量关系如下:
①全班共60人;
②参加数学小组的36人;
③参加英语小组的是36-5=31人;
④设同时参加两个小组的人数是x人;
⑤两个小组都不参加的人数是人.如图所示,可以得另外两个数量关系:
⑥只参加数学小组的人;
⑦只参加英语小组的人.图中四部分相加和为60.即+++x=60.解得:
x=12.
B
这道题的数量关系非常复杂,但是结合图形可以使其变得很明朗.
【方法总结】
应用数学知识去研究和和解决实际问题,遇到的项工作就是建立恰当的数学模型.从这一意义上讲,可以说数学建模是一切科学研究的基础.没有一个较好的数学模型就不可能得到较好的研究结果,所以,建立一个较好的数学模型乃是解决实际问题的关键之一.数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中,是培养和提高同学们应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一.
【模拟试题】
一.选择题
实验中学七年级班有学生56人,已知男生人数比女生人数的2倍少11人,求男生和女生各多少人?
下面设未知数的方法,合适的是
A.设总人数为x人B.设男生比女生多x人
c.设男生人数是女生人数的x倍D.设女生人数为x人
甲厂的年产值为7450万元,比乙厂的年产值的5倍还多420万元,若设乙厂的年产值为x万元,下列所列方程中错误的是
A.5x+420=7450B.7450-5x=420
c.7450-=0D.5x-420=7450
某种品牌的彩电降价30%后,每台售价为a元,则该品牌彩电每台原价应为
A.0.7a元B.0.3a元c.元D.元
A、B两城相距720,普快列车从A城出发120后,特快列车从B城开往A城,6h后两车相遇.若普快列车是特快列车速度的,且设普快列车速度为x/h,则下列所列方程错误的是
A.720-6x=6×
x+120B.720+120=6
c.6x+6×
x+120=720D.6+120=720
用两根长12c的铁丝分别围成正方形和长与宽之比为2∶1的长方形,则长方形和正方形的面积依次为
A.9c2和8c2B.8c2和9c2c.32c2和36c2D.36c2和32c2
*6.有一位旅客携带了30g重的行李从上海乘飞机去北京,按民航总局规定:
旅客最多可免费携带20g重的行李,超重部分每千克按飞机票价格1.5%购买行李票,现该旅客购买了180元的行李票,则他的飞机票价格应是
A.800元B.1000元c.1200元D.1500元
二.填空题
一件运动衣按原价的八折出售时,售价是40元,则原价为_____元.
买4本练习本与3枝铅笔一共用了4.7元.已知铅笔每枝0.5元,则练习本每本_____元.
*3.一个长方形鸡场的一边靠墙,墙的对面有一个2宽的门,另三边用篱笆围成,篱笆总长33,若鸡场的长∶宽=3∶2,则鸡场的长为__________,宽为__________.
某市居民XX年末的储蓄存款达到9079万元,比XX年末的储蓄存款的15倍还多4万元,则XX年末的存款为__________.
某商店销售一批服装,每件售价150元,打8折出售后,仍可获利20元,设这种服装的成本价为每件x元,则x满足的方程是__________.
**6.依法纳税是每个公民应尽的义务,新的《中华人民共和国个人所得税法》规定,从XX年3月1日起,公民全月工薪不超过XX元的部分不必纳税,超过XX元的部分应缴纳个人所得税,此项税款按下表分段累进计算.黄先生4月份缴纳个人所得税税金55元,那么黄先生该月的工薪是__________元.
全月应纳税所得税额
税率
不超过500元的部分
%
超过500元至XX元的部分
0%
…
三.列方程解应用题
据某统计数据显示,在我国的664座城市中,按水资源情况可分为三类:
暂不缺水城市、一般缺水城市和严重缺水城市.其中,暂不缺水城市数比严重缺水城市数的4倍少50座,一般缺水城市数是严重缺水城市数的2倍.求严重缺水城市有多少座?
*2.甲、乙两个工人接受了加工一批服装的任务,规定两人各加工这批服装的一半,已知乙的工作效率相当于甲的,工作了8小时,甲完成了自己的任务,这时乙还差24件服装没有完成.这批服装共有多少件?
如图所示,小红将一个正方形剪去一个宽为4c的长条后,再从剩下的长方形纸片上沿平行短边的方向剪去一个宽为5c的长条.若两次剪下的长条面积正好相等,那么每一长条的面积为多少?
原正方形的面积为多少?
**4.为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,某市采用价格调控手段以达到节约用水的目的.该市规定了如下的用水标准:
每户每月的用水不超过63时,水费按每立方米a元收费;
超过63时,不超过部分每立方米仍按a元收费,超过部分每立方米按b元收费.
该市居民张大爷一家今年3、4月份的用水量和水费如下表:
月份
用水量/3
水费/元
5
设该户每月用水量为x,应缴水费y.
求a、b的值,写出用水不超过63和超过63时,y与x之间的代数表达式;
若张大爷一家今年5月份的用水量为83,该户5月份应缴的水费是多少?
**5.振华中学为进一步推进素质教育,把素质教育落到实处,利用课外兴趣小组活动开展棋类教学活动,以提高学生的思维能力,开发智力,七年级一班有50名同学,通过活动发现只有1人象棋、围棋都不会下,有30人象棋、围棋都会下,且会下象棋的学生比会下围棋的学生多7人.
若设会下围棋的有x个人,你能列出方程并证明x是35、36、37三个数中的哪一个吗?
你知道只会下象棋不会下围棋的人数吗?
【试题答案】
D2.D3.D4.B5.B6.c
50
0.8
1510
605万元
x+20=0.8×
150
2800提示:
设黄先生4月份的工薪是x元,如果x在XX元~2500元,则5%=55,解得x=3100,不符合题意;
如果x在2500元~4000元,则10%+5%×
500=55,解得x=2800.所以黄先生4月份的工薪是2800元.
设严重缺水城市有x座,根据题意得:
x-50+2x+x=664
解得,x=102
严重缺水城市有102座.
设甲每小时加工服装x件,则乙的工作效率是每小时加工x件,根据题意得:
x=x×
8+24
去分母整理得:
8x=120
x正好是甲完成的工作量,这个工作量又是总数的一半,所以这批服装有120×
2=240件.
这批服装共有240套.
另解:
设这批服装共有2x件,则x×
=,解得x=120,2x=240.
设原正方形的边长为xc,列方程为:
x=5
20=80,20×
20=400
每一长条的面积为80c2,原正方形的面积为400c2.
3月份用水53不超过63,所以水费按每立方米a元收取,所以5a=7.5,所以a=1.5;
月份用水93,所以7.5+·
b=27,解得:
b=6.5.
不超过63时,y=1.5x;
超过63时,y=7.5+6.5
由可得当x=8时,y=7.5+6.5
即y=7.5+6.5×
2=20.5
略
设会下围棋的学生有x人,则会下象棋的学生为人,那么只会下围棋的学生有人,只会下象棋的学生为人,根据题意得:
x+x+7-30=50-1,
把x=35,x=36,x=37分别代入方程,有x=36成立,
所以会下围棋的有36人.
会下象棋不会下围棋的有x+7-30=36+7-30=13.
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