二次函数中平行四边形通用解决方法.doc
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●探究
(1)在图1中,已知线段AB,CD,其中点分别为E,F。
①若A(-1,0),B(3,0),则E点坐标为__________;
②若C(-2,2),D(-2,-1),则F点坐标为__________;
(2)在图2中,已知线段AB的端点坐标为A(a,b),B(c,d),求出图中AB中点D的坐标(用含a,b,c,d的代数式表示),并给出求解过程;
●归纳
无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置,
当其端点坐标为A(a,b),B(c,d),AB中点为D(x,y)时,x=_________,y=___________;(不必证明)
●运用
在图2中,一次函数y=x-2与反比例函数的图象交点为A,B。
①求出交点A,B的坐标;
②若以A,O,B,P为顶点的四边形是平行四边形,请利用上面的结论求出顶点P的坐标。
以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点,其图形复杂,知识覆盖面广,综合性较强,对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题,常规解法是先画出平行四边形,再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图,若考虑不周,很容易漏解.为此,笔者另辟蹊径,借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题.
1两个结论,解题的切入点
数学课标,现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式,也没有平行四边形的顶点坐标公式,我们可帮助学生来探究,这可作为解题的切入点。
1.1线段中点坐标公式
平面直角坐标系中,点A坐标为(x1,y1),点B坐标为(x2,y2),则线段AB的中点坐标为(,).
图1
证明:
如图1,设AB中点P的坐标为(xP,yP).由xP-x1=x2-xP,得xP=,同理yP=,所以线段AB的中点坐标为(,).
1.2平行四边形顶点坐标公式
图2
□ABCD的顶点坐标分别为A(xA,yA)、B(xB,yB)、C(xC,yC)、D(xD,yD),则:
xA+xC=xB+xD;yA+yC=yB+yD.
证明:
如图2,连接AC、BD,相交于点E.
∵点E为AC的中点,
∴E点坐标为(,).
又∵点E为BD的中点,
图3
∴E点坐标为(,).
∴xA+xC=xB+xD;yA+yC=yB+yD.
即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等.
2一个基本事实,解题的预备知识
如图3,已知不在同一直线上的三点A、B、C,在平面内另找一个点D,使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形.答案有三种:
以AB为对角线的□ACBD1,以AC为对角线的□ABCD2,以BC为对角线的□ABD3C.
3两类存在性问题解题策略例析与反思
3.1三个定点、一个动点,探究平行四边形的存在性问题
例1已知抛物线y=x2-2x+a(a<0)与y轴相交于点A,顶点为M.直线y=x-a分别与x轴、y轴相交于B、C两点,并且与直线AM相交于点N.
(1)填空:
试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标,则M(),N();
(2)如图4,将△NAC沿y轴翻折,若点N的对应点N′恰好落在抛物线上,AN′与x轴交于点D,连接CD,求a的值和四边形ADCN的面积;
(3)在抛物线y=x2-2x+a(a<0)上是否存在一点P,使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,试说明理由.
解:
(1)M(1,a-1),N(,-);
(2)a=-;S四边形ADCN=;
(3)由已知条件易得A(0,a)、C(0,-a)、N(,-).设P(m,m2-2m+a).
①当以AC为对角线时,由平行四边形顶点坐标公式(解题时熟练推导出),得:
图4
∴.
∴P1(,-);
②当以AN为对角线时,得:
∴(不合题意,舍去).
③当以CN为对角线时,得:
∴.
∴P2(-,).
∴在抛物线上存在点P1(,-)和P2(-,),使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形.
反思:
已知三个定点的坐标,可设出抛物线上第四个顶点的坐标,运用平行四边形顶点坐标公式列方程(组)求解.这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚,往往要以这三条线段分别为对角线分类,分三种情况讨论.
3.2两个定点、两个动点,探究平行四边形存在性问题
图5
例2如图5,在平面直角坐标系中,抛物线A(-1,0),B(3,0),C(0,-1)三点.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点Q在y轴上,点P在抛物线上,要使以点Q、P、A、B为
顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件点P的坐标.
解:
(1)易求抛物线的表达式为y=;
(2)由题意知点Q在y轴上,设点Q坐标为(0,t);点P在抛物线上,
设点P坐标为(m,).
尽管点Q在y轴上,也是个动点,但可理解成一个定点,这样就转化为三定一动了.
①当以AQ为对角线时,由四个顶点的横坐标公式得:
-1+0=3+m,
∴m=-4,∴P1(-4,7);
②当以BQ为对角线时,得:
-1+m=3+0,∴m=4,∴P2(4,);
③当以AB为对角线时,得:
-1+3=m+0,∴m=2,∴P3(2,-1).
综上,满足条件的点P为P1(-4,7)、P2(4,)、P3(2,-1).
反思:
这种题型往往特殊,一个动点在抛物线上,另一个动点在x轴(y轴)或对称轴或某一定直线上.设出抛物线上的动点坐标,另一个动点若在x轴上,纵坐标为0,则用平行四边形顶点纵坐标公式;若在y轴上,横坐标为0,则用平行四边形顶点横坐标公式.该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式.本例中点Q的纵坐标t没有用上,可以不设.另外,把在定直线上的动点看成一个定点,这样就转化为三定一动了,分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类,分三种情况讨论.
例3如图6,在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值;
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.
解:
(1)易求抛物线的解析式为y=x2+x-4;
(2)s=-m2-4m(-4 (3)尽管是直接写出点Q的坐标,这里也写出过程.由题意知O(0,0)、B(0,-4). 由于点Q是直线y=-x上的动点,设Q(s,-s),把Q看做定点;设P(m,m2+m-4). ①当以OQ为对角线时, 图6 ∴s=-2. ∴Q1(-2+,2-),Q2(-2-,2+); ②当以BQ为对角线时, ∴s1=-4,s2=0(舍). ∴Q3(-4,4); ③当以OB为对角线时, ∴s1=4,s2=0(舍). ∴Q4(4,-4). 综上,满足条件的点Q为Q1(-2+,2-)、Q2(-2-,2+)、Q3(-4,4)、Q4(4,-4). 反思: 该题中的点Q是直线y=-x上的动点,设动点Q的坐标为(s,-s),把Q看做定点,就可根据平行四边形顶点坐标公式列方程组了. 4问题总结 这种题型,关键是合理有序分类: 无论是三定一动,还是两定两动,统统把抛物线上的动点作为第四个动点,其余三个作为定点,分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类,分三种情况讨论,然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程(组).这种解法,不必画出平行四边形草图,只要合理分类,有序组合,从对角线入手不会漏解,条理清楚,而且适用范围广.其本质是用代数的方法解决几何问题,体现的是分类讨论思想、数形结合的思想. 如图,在平面直角坐标系中,已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上,并且OA、OB的长分别是方程x2—7x+12=0的两根(OA<0B),动点P从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动;同时,动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动,设点P、Q运动的时间为t秒. (1)求A、B两点的坐标。 (2)求当t为何值时,△APQ与△AOB相似,并直接写出此时点Q的坐标. (3)当t=2时,在坐标平面内,是否存在点M,使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形? 若存在,请直接写出M点的坐标;若不存在,请说明理由. 如图,抛物线经过A(﹣1,0),B(5,0),C(0,)三点. (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小,求点P的坐标; (3)点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形? 若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由. 如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x+4与y轴交于A点,与x轴交于B点,抛物线C1: y=﹣x2+bx+c过A、B两点,与x轴另一交点为C. (1)求抛物线解析式及C点坐标. (2)向右平移抛物线C1,使平移后的抛物线C2恰好经过△ABC的外心,抛物线C1、C2相交于点D,求四边形AOCD的面积. (3)已知抛物线C2的顶点为M,设P为抛物线C1对称轴上一点,Q为抛物线C1上一点,是否存在以点M、Q、P、B为顶点的四边形为平行四边形? 若存在,直接写出P点坐标;不存在,请说明理由. 如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点,且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧). (1)求抛物线的解析式及点B坐标; (2)若点M是线段BC上一动点,过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F,交抛物线于点E.求ME长的最大值; (3)试探究当ME取最大值时,在x轴下方抛物线上是否存在点P,使以M,F,B,P为顶点的四边形是平行四边形? 若存在,请求出点P的坐标;若不存在,试说明理由. 9
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