第五篇+数列Word格式.docx
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单
调
性
递增数列
an+1>an
其中
n∈N*
递减数列
an+1<an
常数列
an+1=an
摆动数列
从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列
周期性
∀n∈N*,存在正整数常数k,an+k=an
4.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn,则an=
辨析感悟
1.对数列概念的认识
(1)数列1,2,3,4,5,6与数列6,5,4,3,2,1表示同一数列.(×
)
(2)1,1,1,1,…不能构成一个数列.(×
2.对数列的性质及表示法的理解
(3)(教材练习改编)数列1,0,1,0,1,0,…的通项公式,只能是an=.(×
(4)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.(×
(5)(2013·
开封模拟改编)已知Sn=3n+1,则an=2·
3n-1.(×
[感悟·
提升]
1.一个区别 “数列”与“数集”
数列与数集都是具有某种属性的数的全体,数列中的数是有序的,而数集中的元素是无序的,同一个数在数列中可以重复出现,而数集中的元素是互异的,如
(1)、
(2).
2.三个防范 一是注意数列不仅有递增、递减数列,还有常数列、摆动数列,如(4).
二是数列的通项公式不唯一,如(3)中还可以表示为an=
三是已知Sn求an时,一定要验证n=1的特殊情形,如(5).
学生用书第79页
考点一 由数列的前几项求数列的通项
【例1】根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:
(1)-1,7,-13,19,…;
(2),,,,,…;
(3),2,,8,,…;
(4)5,55,555,5555,….
解
(1)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(-1)n,观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故数列的一个通项公式为an=(-1)n(6n-5).
(2)这是一个分数数列,其分子构成偶数数列,而分母可分解为1×
3,3×
5,5×
7,7×
9,9×
11,…,每一项都是两个相邻奇数的乘积.知所求数列的一个通项公式为an=.
(3)数列的各项,有的是分数,有的是整数,可将数列的各项都统一成分数再观察.即,,,,,…,从而可得数列的一个通项公式为an=.
(4)将原数列改写为×
9,×
99,×
999,…,易知数列9,99,999,…的通项为10n-1,
故所求的数列的一个通项公式为an=(10n-1).
规律方法根据所给数列的前几项求其通项时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:
分式中分子、分母的各自特征;
相邻项的变化特征;
拆项后的各部分特征;
符号特征.应多进行对比、分析,从整体到局部多角度观察、归纳、联想.
【训练1】根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:
(1),,-,,-,,…;
(2),1,,,….
解
(1)各项的分母分别为21,22,23,24,…,易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为-,原数列可化为-,,-,,…,因此可得数列的一个通项公式为an=(-1)n·
.
(2)将数列统一为,,,,…,对于分子3,5,7,9,…,是序号的2倍加1,可得分子的通项公式为bn=2n+1,对于分母2,5,10,17,…,联想到数列1,4,9,16,…,即数列{n2},可得分母的通项公式为cn=n2+1,因此可得数列的一个通项公式为an=.
考点二 由an与Sn的关系求通项an
【例2】(2013·
广东卷节选)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1,=an+1-n2-n-,n∈N*.
(1)求a2的值;
(2)求数列{an}的通项公式.
解
(1)依题意,2S1=a2--1-,
又S1=a1=1,所以a2=4;
(2)由题意2Sn=nan+1-n3-n2-n,
所以当n≥2时,
2Sn-1=(n-1)an-(n-1)3-(n-1)2-(n-1)
两式相减得2an=nan+1-(n-1)an-(3n2-3n+1)-(2n-1)-,
整理得(n+1)an-nan+1=-n(n+1),
即-=1,又-=1,
故数列是首项为=1,公差为1的等差数列,
所以=1+(n-1)×
1=n,所以an=n2.
规律方法给出Sn与an的递推关系,求an,常用思路是:
一是利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;
二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.
【训练2】设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N*.
(1)求a1的值;
解
(1)令n=1时,T1=2S1-1,
∵T1=S1=a1,∴a1=2a1-1,∴a1=1.
(2)n≥2时,Tn-1=2Sn-1-(n-1)2,
则Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2]
=2(Sn-Sn-1)-2n+1=2an-2n+1.
因为当n=1时,a1=S1=1也满足上式,
所以Sn=2an-2n+1(n≥1),
当n≥2时,Sn-1=2an-1-2(n-1)+1,
两式相减得an=2an-2an-1-2,
所以an=2an-1+2(n≥2),所以an+2=2(an-1+2),
因为a1+2=3≠0,
所以数列{an+2}是以3为首项,公比为2的等比数列.
所以an+2=3×
2n-1,∴an=3×
2n-1-2,
当n=1时也成立,
所以an=3×
2n-1-2.
学生用书第80页
考点三 由递推公式求数列的通项公式
【例3】在数列{an}中,
(1)若a1=2,an+1=an+n+1,则通项an=________;
(2)若a1=1,an+1=3an+2,则通项an=________.
审题路线
(1)变形为an+1-an=n+1⇒用累加法,即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)⇒得出an.
(2)变形为an+1+1=3(an+1)⇒再变形为=⇒用累乘法或迭代法可求an.
解析
(1)由题意得,当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=2+(2+3+…+n)=2+=+1.
又a1=2=+1,符合上式,
因此an=+1.
(2)an+1=3an+2,即an+1+1=3(an+1),即=3,
法一 =3,=3,=3,…,=3.将这些等式两边分别相乘得=3n.
因为a1=1,所以=3n,即an+1=2×
3n-1(n≥1),所以an=2×
3n-1-1(n≥2),又a1=1也满足上式,故an=2×
3n-1-1.
法二 由=3,即an+1+1=3(an+1),
当n≥2时,an+1=3(an-1+1),
∴an+1=3(an-1+1)=32(an-2+1)=33(an-3+1)=…=3n-1(a1+1)=2×
3n-1,
∴an=2×
3n-1-1;
当n=1时,a1=1=2×
31-1-1也满足.
答案
(1)+1
(2)2×
3n-1-1
规律方法数列的递推关系是给出数列的一种方法,根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项,由递推关系求数列的通项公式,常用的方法有:
①求出数列的前几项,再归纳猜想出数列的一个通项公式;
②将已知递推关系式整理、变形,变成等差、等比数列,或用累加法、累乘法、迭代法求通项.
【训练3】设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)a-na+an+1·
an=0(n=1,2,3,…),则它的通项公式an=________.
解析 ∵(n+1)a+an+1·
an-na=0,
∴(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0,
又an+1+an>0,∴(n+1)an+1-nan=0,
即=,∴·
·
…·
=×
×
…×
,∴an=.
答案
1.求数列通项或指定项,通常用观察法(对于交错数列一般用(-1)n或(-1)n+1来区分奇偶项的符号);
已知数列中的递推关系,一般只要求写出数列的前几项,若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.
2.由Sn求an时,an=注意验证a1是否包含在后面an的公式中,若不符合要单独列出,一般已知条件含an与Sn的关系的数列题均可考虑上述公式.
3.已知递推关系求通项:
对这类问题的要求不高,但试题难度较难把握.一般有三种常见思路:
(1)算出前几项,再归纳、猜想;
(2)“an+1=pan+q”这种形式通常转化为an+1+λ=p(an+λ),由待定系数法求出λ,再化为等比数列;
(3)利用累加、累乘法或迭代法可求数列的通项公式.
思想方法4——用函数的思想解决数列问题
【典例】(2013·
新课标全国Ⅱ卷)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为________.
解析 由题意及等差数列的性质,
知a1+a10=0,a1+a15=.
两式相减,得a15-a10==5d,所以d=,a1=-3.
所以nSn=n·
[na1+d]=.
令f(x)=,x>0,
则f′(x)=x(3x-20),由函数的单调性,可知函数f(x)在x=时取得最小值,检验n=6时,6S6=-48,而n=7时,7S7=-49,故nSn的最小值为-49.
答案 -49
[反思感悟]
(1)本题求出的nSn的表达式可以看做是一个定义在正整数集N*上的三次函数,因此可以采用导数法求解.
(2)易错分析:
由于n为正整数,因而不能将代入求最值,这是考生容易忽略而产生错误的地方.
【自主体验】
1.设an=-3n2+15n-18,则数列{an}中的最大项的值是
( ).
A.B.
C.4D.0
解析 ∵an=-32+,由二次函数性质,得当n=2或3时,an最大,最大为0.
答案 D
2.已知{an}是递增数列,且对于任意的n∈N*,an=n2+λn恒成立,则实数λ的取值范围是________.
解析 设f(n)=an=n2+λn,其图象的对称轴为直线n=-,要使数列{an}为递增数列,只需使定义在正整数上的函数f(n)为增函数,故只需满足-<,即λ>-3.
答案 (-3,+∞)
对应学生用书P285
基础巩固题组
(建议用时:
40分钟)
一、选择题
1.(2014·
深圳中学模拟)数列0,,,,…的一个通项公式为( ).
A.an=(n∈N*)B.an=(n∈N*)C.an=(n∈N*)D.an=(n∈N*)
解析 将0写成,观察数列中每一项的分子、分母可知,分子为偶数列,可表示为2(n-1),n∈N*;
分母为奇数列,可表示为2n-1,n∈N*,故选C.
答案 C
2.若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=,则=( ).
A.B.C.D.30
解析 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=,∴=5×
(5+1)=30.
3.(2014·
贵阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2-1,则a3=( ).
A.-10B.6C.10D.14
解析 a3=S3-S2=2×
32-1-(2×
22-1)=10.
4.已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),则数列{an}的通项公式是( ).
A.2n-1B.n-1
C.n2D.n
解析 法一 (构造法)由已知整理得(n+1)an=nan+1,
∴=,∴数列是常数列.
且==1,∴an=n.
法二 (累乘法):
n≥2时,=,=.
…
=,=,
两边分别相乘得=n,又因为a1=1,∴an=n.
5.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=( ).
A.2n-1B.n-1C.n-1D.
解析 ∵Sn=2an+1,∴当n≥2时,Sn-1=2an,
∴an=Sn-Sn-1=2an+1-2an(n≥2),
即=(n≥2),
又a2=,∴an=×
n-2(n≥2).
当n=1时,a1=1≠×
-1=,
∴an=
∴Sn=2an+1=2×
n-1=n-1.
答案 B
二、填空题
6.(2013·
蚌埠模拟)数列{an}的通项公式an=-n2+10n+11,则该数列前________项的和最大.
解析 易知a1=20>
0,显然要想使和最大,则应把所有的非负项求和即可,令an≥0,则-n2+10n+11≥0,∴-1≤n≤11,可见,当n=11时,a11=0,故a10是最后一个正项,a11=0,故前10或11项和最大.
答案 10或11
7.(2014·
广州模拟)设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,则数列{an}的通项公式为________.
解析 ∵a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,则当n≥2时,a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=,两式左右两边分别相减得3n-1an=,∴an=(n≥2).由题意知,a1=,符合上式,∴an=(n∈N*).
答案 an=
8.(2013·
淄博二模)在如图所示的数阵中,第9行的第2个数为________.
解析 每行的第二个数构成一个数列{an},由题意知a2=3,a3=6,a4=11,a5=18,所以a3-a2=3,a4-a3=5,a5-a4=7,…,
an-an-1=2(n-1)-1=2n-3,等式两边同时相加得
an-a2==n2-2n,
所以an=n2-2n+a2=n2-2n+3(n≥2),所以a9=92-2×
9+3=66.
答案 66
三、解答题
9.数列{an}的通项公式是an=n2-7n+6.
(1)这个数列的第4项是多少?
(2)150是不是这个数列的项?
若是这个数列的项,它是第几项?
(3)该数列从第几项开始各项都是正数?
解
(1)当n=4时,a4=42-4×
7+6=-6.
(2)令an=150,即n2-7n+6=150,
解得n=16或n=-9(舍去),即150是这个数列的第16项.
(3)令an=n2-7n+6>
0,解得n>
6或n<
1(舍).
∴从第7项起各项都是正数.
10.在数列{an}中,a1=1,Sn为其前n项和,且an+1=2Sn+n2-n+1.
(1)设bn=an+1-an,求数列{bn}的前n项和Tn;
解
(1)∵an+1=2Sn+n2-n+1,
∴an=2Sn-1+(n-1)2-(n-1)+1(n≥2),
两式相减得,an+1-an=2an+2n-2(n≥2).
由已知可得a2=3,
∴n=1时上式也成立.
∴an+1-3an=2n-2(n∈N*),an-3an-1=2(n-1)-2(n≥2).
两式相减,得(an+1-an)-3(an-an-1)=2(n≥2).
∵bn=an+1-an,
∴bn-3bn-1=2(n≥2),
bn+1=3(bn-1+1)(n≥2).
∵b1+1=3≠0,
∴{bn+1}是以3为公比,3为首项的等比数列,
∴bn+1=3×
3n-1=3n,
∴bn=3n-1.
∴Tn=31+32+…+3n-n=·
3n+1-n-.
(2)由
(1)知,an+1-an=3n-1,
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1
=30+31+32+…+3n-1-(n-1)=(3n+1)-n.
能力提升题组
25分钟)
1.已知数列{an}的通项公式为an=,则满足an+1<an的n的取值为( ).
A.3B.4C.5D.6
解析 由an+1<an,得an+1-an=-=<0,解得<n<,又n∈N*,∴n=5.
2.(2014·
湖州模拟)设函数f(x)=数列{an}满足an=f(n),n∈N*,且数列{an}是递增数列,则实数a的取值范围是( ).
A.B.C.(1,3)D.(2,3)
解析 ∵数列{an}是递增数列,又an=f(n)(n∈N*),
∴⇒2<
a<
3.
3.在一个数列中,如果∀n∈N*,都有anan+1an+2=k(k为常数),那么这个数列叫做等积数列,k叫做这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列,且a1=1,a2=2,公积为8,则a1+a2+a3+…+a12=________.
解析 依题意得数列{an}是周期为3的数列,且a1=1,a2=2,a3=4,因此a1+a2+a3+…+a12=4(a1+a2+a3)=4×
(1+2+4)=28.
答案 28
4.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a(a≠3),an+1=Sn+3n,n∈N*.
(1)设bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式;
(2)若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范围.
解
(1)依题意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,
即Sn+1=2Sn+3n,
由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),
又S1-31=a-3(a≠3),故数列{Sn-3n}是首项为a-3,公比为2的等比数列,
因此,所求通项公式为bn=Sn-3n=(a-3)2n-1,n∈N*.
(2)由
(1)知Sn=3n+(a-3)2n-1,n∈N*,
于是,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=2×
3n-1+(a-3)2n-2,
当n=1时,a1=a不适合上式,
故an=
an+1-an=4×
3n-1+(a-3)2n-2
=2n-2,
当n≥2时,an+1≥an⇔12·
n-2+a-3≥0⇔a≥-9.
又a2=a1+3>
a1.
综上,所求的a的取值范围是[-9,+∞).
学生用书第81页
第2讲 等差数列及其前n项和
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.
1.等差数列的定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.
数学语言表达式:
an+1-an=d(n∈N*),d为常数.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d.
若等差数列{an}的第m项为am,则其第n项an可以表示为an=am+(n-m)d.
(2)等差数列的前n项和公式
Sn==na1+d.(其中n∈N*,a1为首项,d为公差,an为第n项)
3.等差数列及前n项和的性质
(1)若a,A,b成等差数列,则A叫做a,b的等差中项,且A=.
(2)若{an}为等差数列,当m+n=p+q,am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.
(5)S2n-1=(2n-1)an.
(6)若n为偶数,则S偶-S奇=;
若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项).
4.等差数列与函数的关系
(1)等差数列与一次函数的区别与联系
等差数列
一次函数
解析式
an=kn+b(n∈N*)
f(x)=kx+b(k≠0)
不同点
定义域为N*,图象是一系列孤立的点(在直线上),k为公差
定义域为R,图象是一条直线,k为斜率
相同点
数列的通项公式与函数解析式都是关于自变量的一次函数.①k≠0时,数列an=kn+b(n∈N*)图象所表示的点均匀分布在函数f(x)=kx+b(k≠0)的图象上;
②k>0时,数列为递增数列,函数为增函数;
③k<0时,数列为递减数列,函数为减函数
(2)等差数列前n项和公式可变形为Sn=n2+n,当d≠0时,它是关于n的二次函数,它的图象是抛物线y=x2+x上横坐标为正整数的均匀分布的一群孤立的点.
1.对等差数列概念的理解
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(×
(2)等差数列的公差是相邻两项的差.(×
(3)(教材习题改编)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(×
2.等差数列的通项公式与前n项和
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.(√)
(5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(√)
(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(×
3.等差数列性质的活用
(7)(2013·
广东卷改编)在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=20.(√)
(8)(2013·
辽宁卷改编)已知关于d>0的等差数列{an},则数列{an},{nan},,{an+3nd}都是递增数列.(×
一点注意 等差数列概念中的“从第2项起”与“同一个常数”的重要性,如
(1)、
(2).
等差数列与函数的区别 一是当公差d≠0时,等差数列的通项公式是n的一次函数,当公差d=0时,an为常数,如(3);
二是公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数,且常数项为0;
三是等差数列{an}的单调性是由公差d决定的,如(8)中若an=3n-12,则满足已知,但nan=3n2-12n并非递增;
若an=n+1,则满足已知,但=1+是递减数列;
设an=a1+(n-1)d=dn+m,则an+3nd=4dn+m是递增数列.
学生用书第82页
考点一 等差数列的基本量的求解
【例1】在等差数列{an}中,a1=1,a3=-3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}的
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