高中数学第二章圆锥曲线与方程11椭圆及其标准方程学案北师大版选修11整理.docx
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高中数学第二章圆锥曲线与方程11椭圆及其标准方程学案北师大版选修11整理.docx
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高中数学第二章圆锥曲线与方程11椭圆及其标准方程学案北师大版选修11整理
2017-2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程1.1椭圆及其标准方程学案北师大版选修1-1
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1.1 椭圆及其标准方程
学习目标 1。
了解椭圆的实际背景,经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程。
2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.
知识点一 椭圆的定义
思考1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板能画出椭圆吗?
思考2 在上述画出椭圆的过程中,你能说出笔尖(动点)满足的几何条件吗?
梳理 把平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于____________________的点的集合叫作椭圆,这两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点F1,F2间的距离叫作椭圆的焦距.
知识点二 椭圆的标准方程
思考1 椭圆方程中,a、b以及参数c有什么几何意义,它们满足什么关系?
思考2 椭圆定义中,为什么要限制常数|PF1|+|PF2|=2a>|F1F2|?
梳理
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
+=1(a>b>0)
+=1(a>b>0)
图形
焦点坐标
a,b,c的关系
类型一 求椭圆的标准方程
命题角度1 焦点位置已知求椭圆的方程
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)焦点在x轴上,a∶b=2∶1,c=;
(2)经过点(3,),且与椭圆+=1有共同的焦点.
反思与感悟 用待定系数法求椭圆的标准方程的基本思路:
首先根据焦点的位置设出椭圆的方程,然后根据条件建立关于待定系数的方程(组),再解方程(组)求出待定系数,最后写出椭圆的标准方程.
跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点(-,);
(2)焦点在x轴上,且经过两个点(2,0)和(0,1).
命题角度2 焦点位置未知求椭圆的方程
例2 求经过(2,-)和两点的椭圆的标准方程.
反思与感悟 如果不能确定焦点的位置,那么求椭圆的标准方程有以下两种方法:
一是分类讨论,分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上设出椭圆的标准方程,再解答;二是设出椭圆的一般方程Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B),再解答.
跟踪训练2 求经过A(0,2)和B(,)两点的椭圆的标准方程.
类型二 椭圆方程中参数的取值范围
例3 “方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充分不必要条件是( )
A.1 C.2〈m<3D.1 反思与感悟 (1)利用椭圆方程解题时,一般首先要化成标准形式. (2)+=1表示椭圆的条件是 表示焦点在x轴上的椭圆的条件是 表示焦点在y轴上的椭圆的条件是 跟踪训练3 已知x2sinα+y2cosα=1(0≤α≤π)表示焦点在x轴上的椭圆.求α的取值范围. 类型三 椭圆定义的应用 例4 如图所示,点P是椭圆+=1上的一点,F1和F2是焦点,且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面积. 引申探究 在例4中,若图中的直线PF1与椭圆相交于另一点B,连接BF2,其他条件不变,求△BPF2的周长. 跟踪训练4 已知椭圆的方程为+=1,椭圆上有一点P满足∠PF1F2=90°(如图).求△PF1F2的面积. 1.已知F1,F2是定点,|F1F2|=8,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点M的轨迹是( ) A.椭圆B.直线 C.圆D.线段 2.已知椭圆4x2+ky2=4的一个焦点坐标是(0,1),则实数k的值是( ) A.1B.2C.3D.4 3.“m>n〉0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆"的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 4.已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2,则此椭圆的标准方程为________. 5.已知椭圆+=1上一点P与椭圆两焦点F1、F2的连线夹角为直角,则|PF1|·|PF2|=________。 1.平面内到两定点F1,F2的距离之和为常数,即|MF1|+|MF2|=2a,当2a〉|F1F2|时,轨迹是椭圆;当2a=|F1F2|时,轨迹是线段F1F2;当2a〈|F1F2|时,轨迹不存在. 2.对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法: 可以通过待定系数法求解,也可以通过椭圆的定义进行求解. 3.用待定系数法求椭圆的标准方程时,若已知焦点的位置,可直接设出标准方程;若焦点位置不确定,可分两种情况求解,也可设Ax2+By2=1(A〉0,B〉0,A≠B)求解,避免了分类讨论,达到了简化运算的目的. 答案精析 问题导学 知识点一 思考1 固定两个图钉,绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键. 思考2 笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长. 梳理 常数(大于|F1F2|) 知识点二 思考1 椭圆方程中,a表示椭圆上的点M到两焦点间距离之和的一半,可借助图形帮助记忆,a、b、c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边,a是斜边,c是焦距的一半.a、b、c始终满足关系式a2=b2+c2。 思考2 只有当2a>|F1F2|时,动点M的轨迹才是椭圆;当2a=|F1F2|时,点的轨迹是线段F1F2;当2a〈|F1F2|时,满足条件的点不存在. 梳理 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) c2=a2-b2 题型探究 例1 解 (1)∵c=,∴a2-b2=c2=6。 ① 又由a∶b=2∶1,得a=2b, 代入①,得4b2-b2=6,解得b2=2, ∴a2=8。 又∵焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为+=1. (2)方法一 椭圆+=1的焦点为(-4,0)和(4,0), 由椭圆的定义可得 2a=+ , ∴2a=12,即a=6。 ∵c=4,∴b2=a2-c2=62-42=20, ∴椭圆的标准方程为+=1. 方法二 由题意可设椭圆的标准方程为 +=1, 将x=3,y=代入上面的椭圆方程,得 +=1, 解得λ=11或λ=-21(舍去), ∴椭圆的标准方程为+=1. 跟踪训练1 解 (1)∵椭圆的焦点在y轴上, ∴设椭圆的标准方程为+=1(a〉b〉0). 由椭圆的定义知, 2a=+ =2, 即a=.又c=2, ∴b2=a2-c2=6. ∴所求椭圆的标准方程为+=1。 (2)∵椭圆的焦点在x轴上, ∴设椭圆的标准方程为+=1(a>b〉0). 又椭圆经过点(2,0)和(0,1), ∴ ∴ ∴所求椭圆的标准方程为+y2=1. 例2 解 设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B). 将点(2,-),代入, 得 解得 故所求椭圆的标准方程为+=1。 跟踪训练2 解 当焦点在x轴上时,可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0), ∵A(0,2),B(,)在椭圆上, ∴ 解得 这与a〉b相矛盾,故应舍去. 当焦点在y轴上时,可设椭圆的标准方程为 +=1(a>b〉0), ∵A(0,2),B(,)在椭圆上, ∴ 解得 ∴椭圆的标准方程为+x2=1, 综上可知,椭圆的标准方程为+x2=1. 例3 A [要使方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆, 则m应满足 解得1 ∵A选项中{m|1〈m<}{m|1〈m<2}, 故选A.] 跟踪训练3 解 x2sinα+y2cosα=1, 可化为+=1, 由题意知 解得0〈α〈。 ∴α的取值范围是. 例4 解 在椭圆+=1中,a=, b=2, ∴c==1。 又∵P在椭圆上, ∴|PF1|+|PF2|=2a=2,① 由余弦定理知, |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos30°=|F1F2|2=(2c)2=4,② ①式两边平方,得 |PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2| =20,③ ③-②,得(2+)|PF1|·|PF2|=16, ∴|PF1|·|PF2|=16(2-). ∴S△F1PF2=|PF1|·|PF2|·sin30°=8-4-12. 引申探究 解 由椭圆的定义,可得△BPF2的周长为|PB|+|PF2|+|BF2| =(|PF1|+|PF2|)+(|BF1|+|BF2|) =2a+2a=4a=4。 跟踪训练4 解 由已知得a=2,b=, 所以c===1。 从而|F1F2|=2c=2. 在△PF1F2中,由勾股定理可得 |PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2, 即|PF2|2=|PF1|2+4。 又由椭圆定义知|PF1|+|PF2| =2×2=4, 所以|PF2|=4-|PF1|。 从而有(4-|PF1|)2=|PF1|2+4。 解得|PF1|=. 所以△PF1F2的面积S=·|PF1|·|F1F2|=××2=, 即△PF1F2的面积是. 当堂训练 1.D 2。 B 3。 C 4.+x2=1 5.48
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- 高中数学 第二 圆锥曲线 方程 11 椭圆 及其 标准 北师大 选修 整理