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汕头一模理数含答案
2018汕头一模理数(含答案)
5.上海浦东新区2008年生产总值约3151亿元人民币,如果从此浦东新区生产总值的年增长率为10.5%,求浦东新区最早哪一年的生产总值超过8000亿元人民币?
某同学为解答这个问题设计了一个程序框图,如图1,但不慎将此框图的一个处理框中的内容污染而看不到了,则此框图中因被污染而看不到的内容的数学运算式应是
A.B.C.D.
(图1)(图2)
6.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图2,描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是
A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
7.平行四边形中,,,,点在边上,则的最大值为
A.2B.C.0D.
8.函数在区间内是增函数,则
A.B.的周期为
C.的最大值为4D.
9.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,,,若三棱锥
体积的最大值为2,则球的表面积为
A.B.C.D.
10.已知双曲线的右焦点为,右顶点为,过作的垂线与双
曲线交于、两点,过、分别作、的垂线,两垂线交于点,若到直线的
距离小于,则双曲线的渐近线斜率的取值范围是
A.B.
C.D.
11.如图3,画出的是某四棱锥的三视图,网格纸上小正方形
的边长为1,则该几何体的体积为
A.15B.16
C.D.
12.已知、都是定义域为的连续函数.已知:
满足:
①当时,恒成立;②都有.
满足:
①都有;②当时,.
若关于的不等式对恒成立,则的取值范围是
A.B.
C.D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22~23题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分。
13.的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为__________.
14.已知椭圆的左右焦点是、,设是椭圆上一点,在上的投影的大小恰好为,且它们的夹角为,则椭圆的离心率为__________.
15.若平面区域夹在两条平行直线之间,则当这两条平行直线间的距离最短时,它们的斜率是__________.
16.在中,且,边上的中线长为,则的面积是__________.
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
已知数列的前项和为,,且,.
(1)求证:
数列为等差数列,并求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
18.(本小题满分12分)
如图4,多面体中,面为正方形,,,,二面角的余弦值为,且.
(1)证明:
平面平面;
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19.(本小题满分12分)
某厂生产不同规格的一种产品,根据检测标准,其合格产品的质量与尺寸x(mm)之间近似满足关系式(b、c为大于0的常数).按照某项指标测定,当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品.现随机抽取6件合格产品,测得数据如下:
尺寸x(mm)
38
48
58
68
78
88
质量y(g)
16.8
18.8
20.7
22.4
24
25.5
质量与尺寸的比
0.442
0.392
0.357
0.329
0.308
0.290
(1)现从抽取的6件合格产品中再任选3件,记为取到优等品的件数,试求随机变量的分布列和期望;
(2)根据测得数据作了初步处理,得相关统计量的值如下表:
75.3
24.6
18.3
101.4
(ⅰ)根据所给统计量,求y关于x的回归方程;
(ⅱ)已知优等品的收益(单位:
千元)与的关系为,则当优等品的尺寸x为何值时,收益的预报值最大?
(精确到0.1)
附:
对于样本,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,,.
20.(本小题满分12分)
已知抛物线的焦点为,直线交于两点.
(1)若直线过焦点,过点作轴的垂线,交直线于点,求证:
点的轨迹为的准线;
(2)若直线的斜率为,是否存在抛物线,使得且的面积为,若存在,求的方程;若不存在,说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知函数,其中.
(1)设是的导函数,讨论的单调性;
(2)证明:
存在,使得恒成立,且在区间内有唯一解.
请考生在第22,23题中任选一题作答.作答时一定要用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑(都没涂黑的视为选做第22题)。
22.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)射线与曲线,分别交于,两点(异于原点),定点,求的面积.
23.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知函数.
(1)若,求不等式的解集;
(2)关于的不等式有解,求实数的取值范围.
绝密★启用前试卷类型:
A
2018年汕头市普通高考第一次模拟考试
理科数学
参考答案及评分标准
第Ⅰ卷
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,满分60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
D
B
B
D
A
C
D
B
C
D
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22~23题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分。
题号
13
14
15
16
答案
或
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
(1)∵,
∴----------------------------2分
又
∴数列是首项为2,公差为1的等差数列----------------------------3分
∴,即:
-------------------------4分
当时,
当时,
∴,----------------------------6分
(2)解:
由(Ⅰ)得:
设数列的前项和分别为,则--------------------------7分
记,数列的前项和为
当时,,则
当时,
∴----------------------------11分
∴----------------------------12分
18.(本小题满分12分)
(1)证明:
∵,,,由勾股定理得:
----------------1分
又正方形中,且
∴面----------------------------3分
∵面,∴平面平面----------------------------4分
(2)解:
由(Ⅰ)知是二面角的平面角----------------------------5分
作于,则,
且由平面平面,平面平面,面得:
面---------------------------6分
取中点,连结,则---------------------------7分
如图,建立空间直角坐标系,
则、、、
∴,的一个方向向量---8分
设面的一个法向量,
则,
取,得:
----------------------------9分
又面一个法向量为:
----------------------------10分
∴----------------------------11分
设面与面所成二面角为,由为锐角得:
----12分
19.(本小题满分12分)
(1)解:
由已知,优等品的质量与尺寸的比在区间内,即
则随机抽取的6件合格产品中,有3件为优等品,3件为非优等品----------------------1分
现从抽取的6件合格产品中再任选3件,则取到优等品的件数
,,
,----------------------------3分
的分布列为
----------------------------5分
(2)解:
对()两边取自然对数得,
令,得,且,----------------------------6分
(ⅰ)根据所给统计量及最小二乘估计公式有,
----------------------------7分
,得,故----------------------8分
所求y关于x的回归方程为----------------------------9分
(ⅱ)由(ⅰ)可知,,则
由优等品质量与尺寸的比,即----10分
令,
当时,取最大值----------------------------12分
即优等品的尺寸(mm),收益的预报值最大.
20.(本小题满分12分)
(1)证明:
依题意得,直线的斜率存在,过焦点,故设其方程为:
,
设点,
由得:
,则---------------------------2分
直线,直线
由得:
,且----------------------------4分
故:
点的轨迹方程为的准线.----------------------------5分
(2)解:
由已知,设,设、,则,
由,得----------------------------6分
由得:
,则,,------------7分
∴
由得:
----------------------------8分
∴---------------------------9分
又点到直线的距离为----------------------------10分
∴由得:
----------------------------11分
故:
存在抛物线满足条件.----------------------------12分
21.(本小题满分12分)
(1)解:
由已知,函数的定义域为,------1分
所以----------------------------2分
当时,,单调递减----------------------------3分
当时,,单调递增----------------------------4分
(2)证明:
由,解得---------------------5分
令
则
于是,存在,使得----------------------------7分
令
由(Ⅰ)知:
,即------------------9分
当时,有
由(Ⅰ)知,在区间上单调递增
故:
当时,,
当时,,
又当时,.
所以,当时,.----------------------------11分
综上述,存在,使得恒成立,且在区间内有唯一解--12分
2
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