哈工大研究生数值分析试题及答案.docx
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哈工大研究生数值分析试题及答案
1.分别是方程的根;讨论用Newton迭代法求它们近似值的收敛阶。
取初值计算根的近似值,要求迭代3次。
(结果保留4位小数)
解:
设
,
则:
是的单根,故Newton迭代在附近是平方收敛;
是的二重根,故Newton迭代在附近是线性收敛;
取,Newton迭代:
2.设常数,求出的取值范围使得解方程组
的Jacobi迭代法收敛。
解:
Jacobi迭代:
迭代矩阵的特征方程:
即:
特征根:
谱半径:
时Jacobi迭代收敛
故:
3.设
(1)用Crout三角分解法求解方程组;
(2)用乘幂法求方程组系数阵的按摸最大的特征值和对应的特征向量。
(取,计算迭代三次的值)
解:
(1)Crout三角分解:
,
求解得
求解得
(2),
,
,
,,
4.试利用插值多项式证明:
对恒有等式
证明:
设
由插值多项式的唯一性,比较Lagrange与Newton插值最高项系数得:
由差商与导数关系,有
将代入上面两等式,有
5.求4次Hermit插值多项式,满足:
并写出误差表达式。
解:
方法一:
因,故设:
由,得
得
误差:
方法一:
满足的插值多项式为:
设:
由
得:
由
误差:
6.试求求积公式的求积系数,使得其有尽可能高的代数精度,是否是Gauss型的?
并用此公式计算积分(结果保留5位小数)。
解:
令求积公式准确成立,有:
得:
求积公式:
令求积公式准确成立的,求积公式不是准确成立的,
求积公式代数精度为3,是Gauss型的;
作变换
7.用最小二乘法求一个形如的经验公式,使它与下列数据拟合
19
25
31
38
44
19.0
32.3
49.0
73.3
97.8
解:
取,
拟合函数为
法方程为:
得:
拟合函数为
8.用共轭梯度方法解方程组:
(取初值)。
共轭梯度方法:
解:
是对称正定阵;
解为:
9.应用Heun方法:
解初值问题时,问步长应如何选取方能保证方法的绝对稳定性?
并在中选取数值稳定的步长计算的近似值.
解:
将Heun方法应用到方程上,有:
其中
当时,方法是绝对稳定的,
即时方法是绝对稳定的;
故取,即,方法是绝对稳定的
10.求解常微分方程初值问题的两步方法:
(1)求出局部截断误差;
(2)讨论方法的收敛性;
(3)讨论方法的绝对稳定性。
解:
(1)把局部截断误差在处Taylor展开:
(2),方法是相容的;
第一特征多项式:
,两根为:
是单根,方法满足根条件;
由收敛的充分必要条件知方法是收敛的。
(2)稳定多项式:
,
由绝对稳定性要求知故
由参考定理知:
的两根
故,即当时方法是绝对稳定的。
应用1.试确定是方程的几重根;取初值用改进的具有二阶收敛速度的Newton迭代法求的根的近似值。
要求迭代2次(结果保留4位小数)。
解:
,
是方程的3重根;
改进的具有二阶收敛速度的Newton迭代法:
应用4.若用复化梯形公式计算积分,要求截断误差不超过(舍入误差不计),问需要计算多少个节点上的函数值?
解:
复化求积公式余项为:
其中:
因有
若,得:
即
取,
故至少需519个节点才能保证截断误差不超过。
应用9.写出经典4阶Runge-Kutta方法求解初值问题
的计算公式,并取步长,计算的近似值.(小数点后至少保留4位)
解:
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