三角函数与解三角形理高考数学二轮复习资料解析.docx
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三角函数与解三角形理高考数学二轮复习资料解析
【高效整合篇】
命题观察高考定位
一.考场传真
1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科】函数的部分图象如图所示,则的值分别是()
A.B.C.D.
2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科】在锐角中,角所对的边长分别为.若,则角等于()
A.B.C.D.
3.【2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科】若,,则sin=()
A.B.C.D.
4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)理科】将函数的图象向左平移个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是()
A.B.C.D.
B.
5.【2012年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)理科】在中,若,则的形状是()
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定
6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标I)理科】设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=______.
7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理科】函数的最小正周期T为_______.
8.【2012年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)理科】设为锐角,若,则的值为.
9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标I卷)理科】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.
(1)若PB=,求PA;
(2)若∠APB=150°,求.
二.高考研究
主干整合归纳扩展
一.基础知识整合
1.巧记六组诱导公式
对于“±α,k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆:
奇变偶不变,符号看象限.
2.辨明常用三种函数的易误性质
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图像
单调性
在(k∈Z)上单调递增;在2kπ(k∈Z)上单调递减
在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上单调递增;在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上单调递减
在(k∈Z)上单调递增
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
对称性
对称中心:
(kπ,0)(k∈Z);对称轴:
x=+kπ(k∈Z)
对称中心:
(k∈Z);对称轴:
x=kπ(k∈Z)
对称中心:
(k∈Z)
3.识破三角函数的两种常见变换
(1)y=sinxy=sin(x+φ)y=sin(ωx+φ)
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0).
(2)y=sinxy=sinωxy=sin(ωx+φ)
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0).
5.“熟记”两个定理
(1)正弦定理
===2R(2R为△ABC外接圆的直径).
变形:
a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;
sinA=,sinB=,sinC=;
a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.
(2)余弦定理
a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,
c2=a2+b2-2abcosC.
推论:
cosA=,cosB=,
cosC=.
变形:
b2+c2-a2=2bccosA,a2+c2-b2=2accosB,
a2+b2-c2=2abcosC.
二.高频考点突破
考点1三角变换与求值
【例1】【2013年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)理科】已知,则()
A.B.C.D.
【规律方法】此题考查同角三角函数商数关系和平方关系的灵活应用,考查二倍角正切公式的应用,考查学生的运算求解能力.
【举一反三】【2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)理科】已知,(0,π),则=()
A.1B.C.D.1
考点2三角函数的图像与性质
【例2】【2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科】
已知函数.
()若是第一象限角,且.求的值;
()求使成立的x的取值集合.
【规律方法】本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式,三角函数的最小正周期、单调性等基础知识,考查基本运算能力.解决三角函数性质有关的问题时,一是要熟记相关的结论和公式,二是要注意数形结合.
【举一反三】【广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理】已知函数
.
(Ⅰ)求的最小正周期;
(Ⅱ)当时,求的最大值.
考点3三角形中边角关系
【例3】【2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科】设的内角所对的边分别为,且,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值.
【规律方法】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用,考查了方程思想和运算能力.由求的过程中体现了整体代换的运算技巧,而求的过程则体现了“通性通法”的常规考查.
【举一反三】【2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)理科】△ABC在内角的对边分别为,已知.
(Ⅰ)求B;
(Ⅱ)若,求△ABC面积的最大值.
考点4解三角形在实际生活中应用
【例4】【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)理科】如图,旅客从某旅游区的景点处下山至
处有两种路径.一种是从沿直线步行到,另一种从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到.
现有甲、乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为m/min,在甲出发2min后,乙从乘缆
车到,在处停留1min后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路
长1260m,经测量,,.
(1)求索道的长;
(2)问乙出发后多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?
【规律方法】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、二次函数的最值以及三角函数的基本关系、两角和的正弦等基础知识,考查数学阅读能力和分析解决实际问题的能力.
【举一反三】【2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)理科】如图,在等腰直角中,,,点在线段上.
(Ⅰ)若,求的长;
(Ⅱ)若点在线段上,且,问:
当取何值时,的面积最小?
并求出面积的最小值.
三.错混辨析
1.忽视函数的定义域出错
【例1】【2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科】
已知函数.
(Ⅰ)求的最小正周期;
(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.
2.忽视边长的固有范围
【例2】【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理科】在△ABC中,角所对的边分别为,已知
(1)求角的大小;
(2)若,求的取值范围.
原创预测考题探究
1.已知函数,下列结论中错误的是()
A.的图像关于点中心对称B.的图像关于直线对称
C.的最大值为D.既是奇函数,又是周期函数
【题后反思】本题三角函数与导数的结合很巧妙,用导数分析函数的最值,体现在知识的交汇处命题的原则.
2.已知函数的周期为,图象的一个对称中心为,将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象.
(1)求函数与的解析式
(2)是否存在,使得按照某种顺序成等差数列?
若存在,请确定的个数,若不存在,说明理由;
(3)求实数与正整数,使得在内恰有2013个零点
【题后反思】本题考查了三角函数的性质、恒等变换、图像以及函数的零点.将函数的所有性质依托于三角函数展示,并且对多方面能力的综合考查.属于难题,但第一问是送给学生的.
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