中考数学压轴题突破胡不归与阿波罗尼斯圆型的最值问题导学案Word文档下载推荐.docx
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“PA+k•PB”型的最值问题
【问题背景】
“PA+k·
PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
1.当k值为1时,即可转化为“PA+PB”之和最短问题,就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理,即可以转化为轴对称问题来处理;
2.当k取任意不为1的正数时,若再以常规的轴对称思想来解决问题,则无法进行,因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类,一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题;
(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
【知识储备】
线段最值问题常用原理:
①三角形的三边关系:
两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;
②两点间线段最短;
③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短;
“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题,即“PA+k·
PB”(k≠1的常数)型的最值问题。
两类问题所蕴含的都是数学的转化思想,即将k·
PB这条线段的长度转化为某条具体线段PC的长度,进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。
不过两类问题的难点都在于如何对k值进行转化,“胡不归”需要构造某角的正弦值等于k(如k值>1则要先提取k去构造某角的正弦值等于或等于)
将k倍线段转化,再利用“垂线段最短”解决问题;
“阿氏圆”问题则需构造共边共角型相似问题,始终抓住点在圆上这个重要信息,构造以半径为公共边的一组相似三角形,k值如大于1则将线段扩大相同的倍数取点,k值如小于1则将线段缩小相同的倍数取点利用,再“两点之间线段最短”解决问题。
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