线型函数及二次函数Word文件下载.docx
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設a、b為常數,則y=f(x)=ax+b所表示的函數叫做線型函數。
5.線型函數圖形之討論:
設y=ax+b,其中a、b為常數,
(1)若a≠0稱為一次函數。
b≠0,圖形為不通過原點的斜直線。
b=0,圖形為通過原點的斜直線。
(2)若a=0稱為常數函數。
b≠0,圖形為平行x軸的直線。
b=0,圖形為x軸本身。
(3)若圖形通過原點,則常數項等於0。
6.二次函數:
設a、b、c為常數且a≠0,則y=f(x)=ax2+bx+c所表示的函數叫做二次函數,其圖形為拋物線。
7.畫二次函數圖形的步驟:
(1)利用配方法或公式法找出圖形的頂點坐標。
(2)描點(至少五點),再以平滑曲線連接。
8.二次函數的基本概念:
(1)二次函數其圖形為軸對稱的拋物線圖形。
(2)若平方項係數為正,則開口向上;
若平方項係數為負,則開口向下。
(3)若平方項係數的絕對值較大,則開口較小;
若平方項係數的絕對值較小,則開口較大。
(4)y=(x-h)2的圖形是將y=x2向右平移h單位長。
(5)y=x2+k的圖形是將y=x2向上平移k單位長。
(6)y=(x-h)2+k的圖形是將y=x2向右平移h單位長,再向上平移k單位長。
(7)二次函數y=a(x-h)2+k(a≠0)的頂點坐標為(h,k),對稱軸方程式為x=h。
9.由係數判別圖形:
二次函數y=ax2+bx+c(a≠0),其頂點坐標為(-
,-
),
對稱軸方程式為x=-
。
(1)若a>0,則開口向上。
(2)若a<0,則開口向下。
(3)若b≠0,則頂點不在y軸上。
(4)若b=0,則頂點在y軸上。
(5)若c≠0,則圖形不通過原點。
(6)若c=0,則圖形通過原點。
(7)若b=c=0,則頂點在原點。
10.由圖形判別係數:
設二次函數y=ax2+bx+c(a≠0),
(1)a:
由開口方向決定。
開口向上a>0;
開口向下a<0。
(2)b:
由頂點的x坐標決定。
(3)c:
由圖形與y軸交點決定。
例:
如右圖試判斷a、b、c的正負值
解:
因為開口向上所以a>0
>
0,又a>0,所以b<0
與y軸交於正向,所以c>0
11.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸、y軸交點坐標求法:
(1)與x軸交點坐標求法:
令y=0。
(2)與y軸交點坐標求法:
令x=0。
(3)拋物線與x軸不一定有交點,但與y軸一定有交點,其交點坐標為(0,c)。
12.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖形與x軸之關係:
(1)若b2-4ac>0,則拋物線與x軸交於相異兩點A、B。
A點坐標為(
,0)
B點坐標為(
的中點坐標為(-
,0),
=
(2)若b2-4ac=0,則拋物線與x軸相交於一點(相切),其交點坐標為(-
,0)。
(3)若b2-4ac<0,則拋物線與x軸沒有交點。
若a>0且b2-4ac<0,則圖形全部在x軸的上方。
若a<0且b2-4ac<0,則圖形全部在x軸的下方。
13.二次函數的假設法:
(1)若二次函數通過A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)三點,則設此二次函數為y=ax2+bx+c。
(2)若二次函數的頂點為(a,b),又經過C(x1,y1),則設此二次函數為y=k(x-a)2+b。
14.二次函數最大值與最小值的求法:
(1)配方法:
當a>0時,將原式化為y=a(x-h)2+k≥k。
則當x=h時,y有最小值k,圖形最低點為(h,k)。
當a<0時,將原式化為y=a(x-h)2+k≤k。
則當x=h時,y有最大值k,圖形最高點為(h,k)。
(2)公式法:
若二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)
設a>0時,則當x=-
時,y有最小值-
設a<0時,則當x=-
時,y有最大值-
15.兩正數和一定時,則當兩數相等時,其乘積為最大,其平方和為最小。
16.設A(a)、B(b)為數線上相異兩點,若P(x)是數線上任一點,則當x=
時,
有最小值。
貳、例題
例1.函數y=(k2+k-6)x2+(k2-3k+2)x+(k2-4),若
(1)圖形為通過原點之直線,則k=?
(2)函數為一次函數,則k=?
(3)函數為常數函數,則k=?
(4)圖形為通過原點之拋物線,則k=?
例2.
,試求f(-2)+f(10)+f(-10)=?
例3.f(x)=
,試求f
(2)+f(5)=?
例4.y=x2-3x+2,則下列敘述何者為真?
(A)當1<
x<
2時,y<
0(B)當x>
2或x<
1時,y<
(C)當3<
5時,y>
0(D)x為任意實數時,y>
0恆成立
例5.說出下列各二次函數開口的方向,並比較開口的大小。
(1)y=-x2
(2)y=
x2(3)y=3x2+1(4)y=-
x2-2
例6.將函數y=-3x2的圖形向左平移1個單位,再向上平移3個單位,求新圖形之函數。
例7.y=2x2的圖形向右平移3單位,再向下平移1單位,所得新方程式為?
例8.下面哪一個圖形與y=3x2的圖形相同?
(A)y=-3(x+2)2+1(B)y=-
x2+2x+5(C)y=(x+2)(3x+1)
(D)y=-3x2+5x(E)y=2x2
例9.下列各圖為二次函數y=ax2+bx+c之圖形。
設D=b2-4ac,試判別a、b、c、D的正、負或零。
(1)
(2)
例10.下列各圖為二次函數y=ax2+bx+c之圖形。
例11.y=x2-4x+5的圖形為一拋物線,則:
(1)對稱軸方程式
(2)頂點座標(3)與Y軸交點座標(4)與X軸交點有幾個?
例12.二次函數y=
(x-2)2-2的圖形與x軸的交點座標為?
與y軸的交點座標為?
例13.二次函數y=x2+2x-3的圖形,與x軸交於A、B兩點;
與y軸交於C點,試求ABC之面積?
例14.直線y=9與拋物線y=x2相交於A、B兩點,則
=?
例15.二次函數y=(a-1)x2-2x+1,若其圖形與x軸交於兩點,則a之範圍為?
例16.二次函數y=4x2+12x+k,若其圖形與x軸交於一點,則k=?
交點座標為?
【答:
9、(
,0)】
例17.二次函數y=x2+2x+k,若其圖形全部在x軸之上方,則k之範圍為?
例18.拋物線y=ax2+bx+c通過(-3,0)、(0,2)、(1,0)三點,則a=?
b=?
c=?
、
、2】
例19.二次函數y=ax2+bx+1的最高點座標為(-1,2),則a+b=?
-3】
例20.若A為二次函數y=-x2+8x-7的最高點,而B、C為二次函數與x軸的兩個交點,則ABC的面積為?
27平方單位】
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