矩阵实验Word格式.docx
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使得A=UDVH这就是矩阵A的奇异值分解。
2、算法
第一步:
求出AHA的特征值
≥
≥…≥
>0=
=…=
,确定非零奇异值
=
,i=1,2,…,r。
第二步:
分别求出矩阵AHA的对应于特征值
的特征向量并将其单位正交化,得到标准正交向量组α1,α2,…,αn令V=(α1,α2,…,αn)=(V1,V2),V1=(α1,α2,…,αr),V2=(αr+1,αr+2,…,αn)。
第三步:
若U=(γ1,γ2,…,γr,γr+1,γr+2,…,γm)=(U1,U2),其中U1=(γ1,γ2,…,γr),U2=(γr+1,γr+2,…,γm),
则因(Aα1,Aα2,…,Aαr)=(s1γ1,s2γ2,…,srγr)
即有U1=AV1
。
其中
第四步:
解方程组AAHy=0,对基础解系单位正交化可以求得γr+1,γr+2,…,γm,令U=(γ1,γ2,…,γr,γr+1,γr+2,…,γm)。
3、程序及结果
矩阵A=[10;
01;
10]求矩阵A的奇异值分解
A=[10;
10];
A*A'
ans=
101
010
>
A'
*A
20
01
eig(A'
*A)
2
1
确定非零奇异值1.4142,1
的特征向量并将其单位正交化
[v,d]=eig(A'
v=
10
d=
02
若U=(U1,U2)求U1,U2
M=[1.41420;
01]
M=
1.41420
01.0000
N=inv(M)
N=
0.70710
U1=A*v*N
U1=
解方程组AAHy=0求U2
r=rank(A*A'
)
r=
y=null(A*A'
r)
y=
0.7071
0
-0.7071
则U=(U1,U2)
U2=
01.00000.7071
0.707100
01.0000-0.7071
D=[1.41420;
00]
D=
00
U2*D*v'
1.00000
则有A=U2*D*v'
实验二:
矩阵奇LU分解
设A∈Cn×
n若A可以表示成一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积A=LU,则称其为矩阵A的LU分解(三角分解)。
矩阵的LU分解在求解线性方程组时将十分简便。
如对线性方程组Ax=b,设A=LU是其LU分解。
我们先求解方程组Ly=b。
由于L是下三角矩阵,则解向量y可以通过依次求出其分量y1,y2,……,yn而求出,再求解方程组Ux=y。
解向量x可以通过该方程组依次求出分量xn,xn-1,……,x2,x1而快速得出。
于是由两个方程组Ux=y,Ly=b的求解而给出LUx=Ly=b=Ax的解。
若矩阵A非奇异,则A能分解为LU的充分必要条件是A的顺序主子行列式不为0。
………..
则存在惟一的主对角线上元素全为1的下三角阵L与惟一的上三角阵U,使得A=LU。
若n阶方阵的各阶顺序主子行列式不为零则存在唯一的单位上三角矩阵L和上三角矩阵L式的A=LU。
1.输入待分解矩阵A
2.Fori=1,2,……n
将L对角线元素赋值L(i,i)=1;
3.Forj=1,2,……n
将U第一行元素赋值U(1,j)=A(1,j);
4.Fork=2,……n
将L第一列元素赋值L(k,1)=A(k,1)/U(1,1);
5.Fori=2,……n
5.1Forj=i,……n
5.2Fork=i+1,……n
3、程序
试求下列矩阵LU分解
A=[107;
320;
111]
程序如下:
clearall
clc
A=input('
请输入一个方阵'
);
%输入一个n阶方阵
[n,n]=size(A);
L=zeros(n,n);
U=zeros(n,n);
fori=1:
n%将L的主对角线元素赋值1
L(i,i)=1;
end
forj=1:
n%求矩阵U的第一行元素
U(1,j)=A(1,j);
fork=2:
n%求矩阵L的第一列元素
L(k,1)=A(k,1)/U(1,1);
fori=2:
n%求L、U矩阵元素
forj=i:
n
s=0;
fort=1:
i-1
s=s+L(i,t)*U(t,j);
end
U(i,j)=A(i,j)-s;
fork=i+1:
r=0;
r=r+L(k,t)*U(t,i);
L(k,i)=(A(k,i)-r)/U(i,i);
%输出矩阵L、U
L
U
4、结果
请输入一个方阵
[107;
L=
1.000000
3.00001.00000
1.00000.50001.0000
U=
1.000007.0000
02.0000-21.0000
004.5000
实验三:
矩阵的QR分解
矩阵QR分解是一种特殊的三角分解,在解决矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重要作用。
n,m≥n且rankA=n,则必存在非奇异的上三角n×
n矩阵R及m×
n矩阵Q,QHQ=In,使得A=QR。
用Gram-Schmidt方法对矩阵进行QR分解时,所论矩阵必须是列满秩矩阵。
不过,不是列满秩的矩阵只要是方阵,也可以作QR分解,这就是所谓的Householder方法。
设w∈Cn是一个单位向量,令
则称H是一个Householder矩阵或Householder变换。
设u∈Cn是一个单位向量,则对于任意的Cn存在Householder矩阵H,使得Hx=au。
为实数。
设A为任一n阶矩阵,则必存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角阵R,使得A=QR。
证,第一步,将矩阵A按列分块写成A=(α1,α2,…,αn)。
如果α1≠0,则可得,存在n阶householder矩阵H1使得H1α1=—a1e1,|a1|=||α1||,e1∈Cn
于是有H1A=(H1α1,H1α2,…,H1αn)=
如果α1=0,则直接进行下一步,此时相当于取H1=In,而a1=0.
第二步,将矩阵An-1按列分块写成An-1=(α1,α2,…,αn-1)。
如果α1≠0,则可得,存在n-1阶householder矩阵H’2使得H1α1=—a1e1,|a1|=||α1||,e1∈Cn
于是有H’2An-1=(H’2α1,H’2α2,…,H’2αn-1)=
此时,令H2=
则H2是n阶Householder矩阵,且使H2H1A=
如果α1=0,则直接进行下一步。
第三步,对n-2阶矩阵继续进行类似的变换,如此下去,之多在第n-1步,我们可以找到Householder矩阵H1,H2,…,Hn-1使得Hn-1…H2H1A=
令Q=Hn-1…H2H1,则Q是酉矩阵之积,从而必有酉矩阵并且A=QR
此实验中用到的有householder子程序和qrfenjie主程序,程序如下:
function[R,y]=householder(x,i,j)
xi=x(i);
xj=x(j);
r=sqrt(xi^2+xj^2);
cost=xi/r;
sint=xj/r;
R=eye(length(x));
R(i,i)=cost;
R(i,j)=sint;
R(j,i)=-sint;
R(j,j)=cost;
y=x(:
y([i,j])=[r,0];
functionqrfenjie(A)
n=size(A,1);
R=A;
Q=eye(n);
n-1
forj=2:
n-i+1
x=R(i:
n,i);
rt=householder(x,1,j);
r=blkdiag(eye(i-1),rt);
Q=Q*r'
R=r*R
求下列矩阵的QR分解
(1)A=[11;
01];
A为方阵用Householder变换方法对A进行QR分解,则可调用以上的Householder函数。
A=[11;
A=
11
qrfenjie(A)
Q=
R=
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