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1.2万以上,-10)
5.装修程度(装修,10;
毛胚,-10)
6.小区容积率(小于1.2,15;
1.2-3.5,10;
大于3.5,5)
7.总价(75万,20;
88万,15;
90万,5;
100万,-5;
11万,-20)
在得出此细化条件后,他的同事将所有房源信息(包括他看中的6套和其他觉得合适的12套)编制序号后按上述条件进行评分,内容如下:
Table1:
住房打分表
编号
层数
结构
居室
物业费
装修
容积率
总价
1
10
5
-10
20
2
30
3
15
4
158
-20
6
…
将上述数据输入到Excel表中,调用Excel的求和函数Sum来计算总分。
计算的结果表明,第20套房源得分最高。
尽管第20套房源得分最高,但仅仅看分数,还是有可能犯成语“郑人买履”中“宁信度,不信足”的错误。
为此,他的同事建议他同时再看看排名前几位的房源,做个比较。
而在Excel中,使用数据选项中的排序功能,可以很方便的指导哪些房源的得分靠前。
在看过排名前九位的房源,又看过三套刚刚上市的房子后,原本漫无头绪的选房者最终定下了第20号房源。
上述房源的打分和评价方法未必是最科学的,而且赋值肯定要因人而异,但它至少是适用的。
我们为什么讨厌数学?
数学是解决现实问题的一种工具,我们从小学到高中,学习数学12年,恐怕喜欢数学的人很少。
我们为什么会讨厌数学,下面引用我的老师中科院余斌教授的观点:
主要是因为数学所代表的定量分析在实际应用过程中包括三个环节,第一环节将现实问题转化为数学问题;
第二环节对数学的问题解出数学的解答;
第三环节将数学的解答转化为现实问题的解答。
以往的课程教学重点主要——甚至全部都放在了第二环节。
由于学生并不知道所学数学问题的现实背景,因此只能很辛苦的进行抽象思考;
长时间的学习这种自己不知道有什么用的知识,当然很是厌烦()。
数学强调的是抽象的概念、严谨的逻辑推理,事实上纯数学只是少数研究者的思维爱好,对现实并不关注。
我们要学习的管理数学却不同,它必须从现实中的问题出发,将问题提取、转化,用数学的思维为问题的解决提供参考。
针对社会中的管理问题,应用数学已经发展出一系列的工具,针对非研究者而言,稍微掌握这些工具的大概原理,能够使用这些工具就是最大的收获,而不必强求于严谨的思维训练。
这门课的目标
希望同学们学完这门课程,可以达到:
1、了解数学在管理中所应用的范围。
2、知道如何将现实问题抽象、转化为数学问题。
3、熟练掌握基本的数学工具,能够解决基本管理问题。
第一节数系的演变
一、计数与进制
1.10进制的印度-阿拉伯数系不是唯一的,但却是生活中最容易产生的。
克莱因(MKline)认为:
原始文明中,对生活必需品和物物交换的认识过程必须要进行计算,最初的计算中,利用自己全部的手指和脚趾去核算所数的东西,10进制有了合理的基础,“digit”一词,不仅有数字1,2,3,…的含义,也代表着手指和脚趾()。
最早的计数方法是用符号的数量来计数,例如埃及人1的符号是I,10的符号是∩,对于数字21,就写作∩∩I;
而巴比伦人的符号是:
≮≮Λ();
罗马人恺撒(JuliusCaesar,BC100-BC44)8732的符号是MMMMMMMMDCCXXXII()。
除了以5和10作为进制基底的方法外,还有12,16和60等进制出现。
例如:
古代巴比伦人以60进制来计算自然数平方的数列(),一种观点认为这种计数方式影响了罗马人,从而最终导致我们把一小时分为60分钟,。
莱布尼茨(W.Leibniz1646-1716)是他那个时代最伟大的思想家之一,他十分欣赏二进位制,用拉普拉斯(Laplace)的话说:
“莱布尼茨在他的二进位算术中看到了宇宙创始的原象,他想象1表示上帝,而0代表虚无,上帝从虚无中创造出所有实物,恰如在他的数学系统中用1和0表示了所有的数。
”()
很显然古代的计数方式是由缺陷的,这种情况一直到10进制的出现才得到解决。
2.10进制的特点。
十进制数的两个主要特点:
Ø
十个不同的数字:
0、1、2、3、4、5、6、7、8、9;
逢十进一的进位法,10是十进制数的基数(进制中所用不同数字的个数)。
三百七十二表示为:
300+70+2=3×
102+7×
10+2,这里数码符号3,7,2的意义依赖于他们在个位,十位和百位的位置,我们把这个叫“位置记法”(柯朗罗宾,什么是数学-对思想和方法的基础研究,P10)。
那么三百零二怎么表示呢?
这就需要一个表示空的占位符号,因此数字0的意义是非常重大的,没有0就没有位置记法,0产生于印度数字系统,阿拉伯数学家花拉子米(约780-850)在9世纪初发表《印度记数算法》,系统阐述了印度数字及其应用方法,BC1200年左右,欧洲的学者正式采用了这些符号和体系()。
我们将数字1,2,3,…等称为自然数(现代的自然数定义中有的包括0),所有的数学命题最终归结为关于自然数的命题,这一点已变成了现代的指导原则,“上帝创造了自然数,其余的是人的工作,”在这句话中,克隆尼克(L.Kronecker,1823-1891)指出了建立数学结构稳固基础的条件(柯朗罗宾,什么是数学-对思想和方法的基础研究,P6)。
3.10进制的数学表示
在10进制中一个正整数z的一般表示方法为:
而且用符号
来标记它。
(柯朗罗宾,什么是数学-对思想和方法的基础研究,P11)
4.算术的规律
数字符号的制定是一个长期的历史过程,制定数字符号运算的规则同样是一个长期的历史过程。
自然数的5个基本规律。
前二者是加法和乘法的交换律,第三、第四为加法和乘法的结合率,第五为分配率。
1)
2)
3)
4)
5)
引进整数0之后,又增加了2个要求
6)
7)
我们是否可以认为,除了10进制数系,对于其它数系而言,这些规则依然起作用?
在非十进位制中,算术规则仍不变,但必须用不同的加法表和乘法表来计算。
以下为七进制的加法表和乘法表
Table2:
7进制加法与乘法表
11
13
12
21
24
22
26
33
14
34
42
51
请计算24×
265=?
(10416)(柯朗罗宾,什么是数学-对思想和方法的基础研究,P13)
二、数系的扩张
1.有理数与实数系
1)可公度性与分数
可公度性亦可称为可通度性或可通约性,可公度性是指如果两个量是可合并计算,那么它们可以被用同一个单位来衡量。
比如以时间度量衡计算单位来说,以分钟来度量的时间和以星期来度量的时间是可公度的,因为分钟和星期之间有固定的比值关系。
在此论点下,我们就可论断,分钟与星期两者是具有可公度性。
但另一方面,因为公里来度量的距离和以升来度量的水是不可公度的,因此,公里与升是不可公度性。
()
自然数是从计算有限集合的元素个数的过程中抽象出来的,但在日常生活中,我们不仅要数单个的对象,而且也需要度量像长度、面积、重量和时间这样的量。
如果我们要能够自如的度量这种能任意细分的量,就必须把算术的范围扩展到自然数的范围之外。
第一步是把度量的问题变为计数的问题。
首先我们任意的选择一个度量单位:
克,两,盎司,磅,斤,并规定它为1,然后我们数一数被度量的那个量包含有多少单位。
某一块铅可能恰好54磅,但是一般说来,算单位的个数的过程,其结果不一定是正好算完,即给定的量不一定是我们所选择单位的整数倍(柯朗罗宾,什么是数学-对思想和方法的基础研究,P64),这时就需要引进一种新的数-分数:
分数指在数学的符号系统中,把原来一个单位分成n等分而得到的最小单位,用符号1/n来表示;
如果一个给定的量恰好包含m个小单位,他的度量将用符号m/n来表示,这个符号就称为分数或者比。
分数最早是与测量过程和被测量的量密不可分的,后来人们把它单独拿出来,作为具体的数,脱离了与现实之间的具体关系(柯朗罗宾,什么是数学-对思想和方法的基础研究,P64)。
这样,数系在从自然数扩张到整数后,又进一步的扩张到分数。
数系扩张后0的规则:
0不可以做分母。
2)封闭性与负数
封闭性指在数集之中按固定规则运算的结果仍然还在该数集之中,例如:
任意两个整数的和、差仍然是整数。
我们发现在自然数,或在正整数中,对加法和乘法虽然是封闭的,但是减法并不总是可行,例如3-4=?
,这个问题在目前的数系中是没有答案的,当时的人们无法理解这个问题:
你有3头羊,给了别人4头,还剩下几头?
你怎么能从3头牛中拿走4头牛?
你如何拥有比没有还少的东西?
因为最早的数学是与日常生活中的具体事物紧密联系的。
可是当人们意识到数学符号是抽象概念,具有独立性的时候,负数的概念出现了,在实践中它可以表示债务。
这样数系从分数扩张到了负数。
负数的规则:
3)稠密性与无理数
稠密性是指在该数系中,即两个不相等的数之间必有另一个数。
分数具有稠密性。
以前人们认为有了整数和分数,就可以对应单位线段上的所有点,即线段上所有的点都可以用m/n的形式表示出来,也可以用这个体系来衡量世界。
但是很快毕达哥拉斯学派(Pythagoras约BC580-BC500)的学者喜帕索斯(HippasusofMetapontum,BC470)发现了一个数,这个数是不可公度的,即根号2。
证明:
根号2是无理数
如果√2是有理数,必有√2=p/q(p、q为互质的正整数)
两边平方:
2=p^/q^
p^=2q^
显然p为偶数,设p=2k(k为正整数)
有:
4k^=2q^,q^=2k^
显然q也为偶数,与p、q互质矛盾
∴假设不成立,√2是无理数
无理数的出现打破了用有理数表示线段上所有点的幻想,
有理数和无理数共同构成了实数系。
实数系是稠密的。
2.复数系
在中学时代大家对复数都有了很深刻的认识,我们发现虽然实数系对加法,减法,乘法和除法都是封闭的,但是对开方却不是封闭的。
为了解决这个问题,18世纪,瑞士数学家欧拉(L.Euler,1707-1783)引进符号i(image的意思)来表示-1的平方根,称为虚数单位。
虚数的几何意义在于把平面上的一个有向单位进行旋转90度()。
它特别适合表示二维的关系。
那么我们可不可以仿照二维数的方式,来构造三维复数呢?
爱尔兰数学家哈密尔顿(W.R.Hamilton,1805-1865)经过长期的研究,发现不存在三元数。
想要在实数基础上建立三维复数,使它具有实数和复数的各种运算性质,这是不可能的。
他进而发现:
第一,这种新数要包含4个分量;
第二,乘法交换律再也无法得到满足。
这就是四元数。
四元数定义:
设R是实数集,定义集合
,其中i,j,k是不同的符号,该集合中的每个元素称为哈密尔顿四元数。
四元数加法:
四元数乘法:
(以上:
王章雄,数学的思维与智慧,P9)
问题在于,虽然数系的每一次扩张都产生了新的观念,可是它的意义何在?
“而事实上,在二十世纪中叶的科学和工程界中,向量几乎已完全取代四元数的位置。
”(),我个人认为,从实用性角度,以数为中心的知识体系基本上已经完成,之后,重点是以量或函数为中心的知识体系构建。
3.超实数系
在现行《数学分析》教程中,“无穷大”和“无穷小”是它的基本概念,但是值得注意的是,在标准的数学分析教程中均不把无穷大和无穷小当作“数”参加运算,也就是说无穷小和无穷大均在实数系中没有地位。
究竟无穷小和无穷大能否看作是“数”?
1960年,美国数理逻辑学家鲁宾逊(A.Robinson)利用数理逻辑中的模型论把无穷大和无穷小引入到实数系中,构成了一个超实数系。
超实数系的成员叫做超实数。
在超实数系中,所有实数,正、负无穷小,以及形如c+ε的数,都叫做“有限数”,而正、负无穷大被称作“无限数”。
我们用超实数系去研究极限、导数和积分等问题,就是非标准分析,构建的数系叫超实数系。
4.*超限数(可选)
我们可以将所有的整数看作一个集合,用Z来代表,所有的有理数集合用Q代表;
所有的实数集合用R来代表。
那么问题是,这些集合相比较,谁的基数更多呢(基数可以看作集合中包含元素的个数)?
或者说这3个集合都是无穷大的,那么无穷大之间是否还有大小呢?
也许我们会理所当然的认为Z<
Q<
R。
德国数学家康托尔(Cantor,1845-1918)研究这个问题后提出,采用一一对应的方式,即把两个集合的元素一对一的排起来——若能做到,两个集合的基数自然相同,称它们有相同的势(等势)。
结果发现,奇数、偶数、整数和有理数(分数)等势(),它们是一样大的无穷大数,称为阿烈夫0(Aleph-0)。
线上的点数所构成的无穷大数大于(或强于)所有有理数所构成的无穷大数(),而且无论线段长度是多少,它们都具有相同的点数,不仅如此,平面上所有的点数与线段上所有的点数相等(),和立体空间的点数也相等,称为阿烈夫1。
而各种曲线,包括任何奇形怪状的样式在内,它们的样式的数目比所有几何点的数目还要大,因此,应该把它看作是第三级无穷数列,即阿烈夫2。
到目前为止,还没有人想得出一种能用阿烈夫3来表示的无穷大数来(伽莫夫,从一到无穷大-科学中的事实和臆测,P12-20)。
注:
超限数涉及康托尔的集合论和连续统假设。
第二节公理体系与数学的本质
一、公理体系的演变
1.欧氏公理体系
在科学的思维中,我们要说明A概念,就需要借助B概念,要说明B概念,又需要借助C概念,如此推演下去,总有一个概念是不能用别的概念来说明的。
同样的道理,有些基本命题是不可以证明的,相反,它们是用来证明别的命题的逻辑基础,这就是公理,最早的公理体系就是欧氏几何公理体系。
欧几里得(Euclid,约BC325—BC265)是古希腊著名数学家。
著有《几何原本》(Elements),在《几何原本》的开头,欧几里德列出5个公理和5个公设(按照欧几里德的想法,公理适用于数学各个领域而公设是仅适用于几何的)如下:
公理1:
等于同量的量彼此相等;
公理2:
等量加等量,其和相等;
公理3:
等量减等量,其差相等;
公理4:
彼此能重合的物体是全等的;
公理5:
整体大于部分;
公设1:
由任意一点到任意另一点可作直线;
公设2:
一条有限直线可以继续延长;
公设3:
以任意点为中心及任意距离可以画圆;
公设4:
凡直角都相等;
公设5:
同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在某一侧的两个内角的和小于直角,这这两条直线经无限延长后在这一侧相交。
欧几里德由这些公理和公设出发得到了平面几何中的常用定理,当然欧几里德只是古希腊数学的集大成者,很多定理并不是由他提出来的。
限于时代的局限,《几何原本》和欧几里德体系中存在一些瑕疵:
首先欧几里德几何学中的点,线,面等概念采用了不严格、不精确的描述;
其次,欧几里德几何学运用许多直观的概念,如“介于……之间”等都没有严格的定义;
另外一些公设相互等价而导致重复,这些缺陷由后来的数学家们逐渐的加以弥补和完善。
王章雄,数学的思维与智慧,P19)
2.希尔伯特公理体系
1899年,德国数学家希尔伯特(D.Hilbert,1862-1943)出版了《几何基础》,在这本书里,希尔伯特为欧几里德几何补充一些概念和公理,使得其更为完整,并在此基础上提出了一个比较完善的几何学的公理体系,这个公理体系就被叫做希尔伯特公理体系。
希尔伯特的公理体系由基本概念和五类公理构成。
其内容是:
基本概念(原始概念):
(1)基本对象:
点;
直线;
平面.
(2)基本关系:
点在直线上,点在平面上(属于、通过、……均为在……上的同义语);
一点在另两点之间;
线段合同,角合同.
公理Ⅰ结合公理
Ⅰ1对于任意两个不同的点A、B,存在着直线a通过每个点A、B.
Ⅰ2对于任意两个不同的点A、B,至多存在着一条直线通过每个点A、B.
……
公理Ⅱ顺序公理
Ⅱ1如果点B在点A和点C之间,那么A、B、C是一条直线上的不同的三点,且B也在C、A之间.
Ⅱ2对于任意两点A和B,直线AB上至少有一点C,使得B在A、C之间.
公理Ⅲ合同公理(合同记作≡)
Ⅲ1如果A、B是直线a上两点,A′是直线a或另一条直线a′上的一点,那么在a或a′上点A′的某一侧必有且只有一点B′,使得A′B′≡AB.又,AB≡BA.
Ⅲ2如果两线段都合同于第三线段,这两线段也合同.
公理Ⅳ平行公理
过定直线外一点,至多有一条直线与该直线平行.
公理Ⅴ连续公理
Ⅴ1如果AB和CD是任意两线段,那么以A为端点的射线AB上,必有这样的有限个点A1,A2,…,An,使得线段AA1,A1A2,…,An-1An都和线段CD合同,而且B在An-1和An之间(阿基米德公理).
Ⅴ2一直线上的点集在保持公理Ⅰ1,Ⅰ2,Ⅱ,Ⅲ1,Ⅴ1的条件下,不可能再行扩充.
希尔伯特不仅提出了一个完善的几何体系,而且还提出了建立一个公理系统的原则。
就是说,在一个公理系统中,应该包含多少条公理,以及采用哪些公理,应当考虑如下三个方面的问题:
第一,相容性(无矛盾性)。
在一个公理系统中,各条公理应该是不矛盾的,它们和谐共存于同一系统中。
第二,独立性。
公理体系中的每条公理应该是各自独立而不互相依附的,也就是说公理没有多余的。
第三,完备性。
公理体系中所包含的公理应该是能足够证明本学科的任何新命题的。
王章雄,数学的思维与智慧,P20)
3.算术公理体系
从时间上来说,代数的公理化要出现得晚一点,由皮亚诺(G.Peano,1858-1932)于1889年发表《算术原理新方法》建立起来的。
例如,1891年皮亚诺创建了《数学杂志》(RivistadiMathematica),并在这个杂志上用数理逻辑符号写下了这组自然数公理,并且证明了它们的独立性。
皮亚诺用两个不定义的概念“1”和“后继者”及4个公理来定义自然数。
用他的说法,所谓自然数是指满足一下性质的集合N中的元素:
1)1是N的一个元,它不是N中任何元的后继者,若a的后继者用a+表示,则对于N中任何a,a+≠1;
2)对于N中任意元a,存在而且仅存在一个后继者a+;
3)对于N中任何a,b,若a+=b+,则a=b;
4)(归纳公理)N的一个子集合M,若具有以下性质,1∈M,当a∈M时,有a+∈M,则M∈N。
4.哥德尔不完备性定理
自从希尔伯特提出公理体系的三大要求以来,所有的人都希望我们所使用的公理体系是相容的、独立的并且完备的。
1931年捷克数理逻辑学家哥德尔发表了《论(数学原理)及有关系统的形式不可判定命题》的著名论文,其中包含了一个对数学界具有“毁灭性”的断言:
任一包含算术的形式系统,它的一致性和完全性是不可兼得的。
或者说,如果一个包含算术的形式系统是一致的,那么这个系统必然是不完全的。
所谓不完全,就是指存在一个公式A,使得A和非A在这个系统内都不可证。
这就是“哥德尔第一不完备性定理”
以算术公理系统是不完备的为例讲一下证明的思想。
第一步,哥德尔把所用到的算术元件;
如逻辑操作符号,运算符号,等号,常量,变量等等,都一一对应于一个正整数,称为哥德尔数。
第二步,建立一个通过以上元件写出的算术陈述语句和证明语句的规则。
在元件编号的基础上再定义与这些语句一一对应的哥德尔数。
通过哥德尔数的性质又可以提供一个判则,判断一个哥德尔数所对应的语句是或者不是另一个语句的证明。
第三步,根据以上结果构造一个哥德尔数为m的语句:
“具有哥德尔数m的语句没有合适的证明语句”。
因为此语句的哥德尔数恰为m,这等于说“本语句不能被证明”。
现在我们看到这个语句就不能根据公理体系加以形式上的证明。
因为,如果不可证,那它已是一句不可证明的语句;
如果可证,又说明了“本语句不能被证明”。
也就是说我们要承认系统里面有不可以被证明的语句!
(更通俗的解释可参见:
哥德尔不完备定理:
我是不能被证明的!
从以上的简单介绍中,我们看到哥德尔定理是从算术公理除法进行推理的,也正是因为它在算术公理体系内推理,发现了体系内的问题,它的结论才对算术体系有意义。
如果站在算术体系之外,你按你的规则,我按我的根据,那就没有什么意义了。
上述哥德尔定理指出,在任何数学公理体系下,总存在它不能作出判断的数学命题,即逻辑演绎也存在失效的地方。
无论证明多么严密,一旦纳入整体来考虑,问题肯定会暴露出来,这说明公理体系不具有普适性,只在规定的前提范围内才是有效的。
王章雄,数学的思维与智慧,P26)
二、数学的本质
1.数学是什么?
数的概念和公理体系的每一次拓展,都为数学提供了新的方法和新的理论,从而也开辟了新的研究领域。
那么究竟什么是数学呢?
如何认识数学的含义呢?
1.数学是哲学,数学是逻辑的一部分,是公理系统(参见:
数学的本质是什么?
数学的本质就是抽象、变换和推
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