反比例函数教材分析Word文档下载推荐.docx

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五、例习题分析

例1．见教材P47

分析：

因为y是x的反比例函数，所以先设

，再把x＝2和y＝6代入上式求出常数k，即利用了待定系数法确定函数解析式。

（补充1）下列等式中，哪些是反比例函数

（1）

（2）

（3）xy＝21（4）

（5）

（6）

（7）y＝x－4

根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成

（k为常数，k≠0）的形式，这里

（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只单独含x，（6）改写后是

，分子不是常数，只有

（2）、（3）、（5）能写成定

义的形式.

（补充2．）当m取什么值时，函数

是反比例函数？

反比例函数

（k≠0）的另一种表达式是

（k≠0），后一种写法中x的次数是－1，因此m的取值必须满足两个条件，即m－2≠0且3－m2＝－1，特别注意不要遗漏k≠0这一条件，也要防止出现3－m2＝1的错误。

解得m＝－2

（补充3．）已知函数y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；

当x＝2时，y＝5。

（1）求y与x的函数关系式

（2）当x＝－2时，求函数y的值

此题函数y是由y1和y2两个函数组成的，要用待定系数法来解答，先根据题意分别设出y1、y2与x的函数关系式，再代入数值，通过解方程或方程组求出比例系数的值。

这里要注意y1与x和y2与x的函数关系中的比例系数不一定相同，故不能都设为k，要用不同的字母表示。

略解：

设y1＝k1x（k1≠0），

（k2≠0），则

，代入数值求得k1＝2，k2＝2，则

，当x＝－2时，y＝－5

六、随堂练习

1．苹果每千克x元，花10元钱可买y千克的苹果，则y与x之间的函数关系式为

2．若函数

是反比例函数，则m的取值是

3．矩形的面积为4，一条边的长为x，另一条边的长为y，则y与x的函数解析式为

4．已知y与x成反比例，且当x＝－2时，y＝3，则y与x之间的函数关系式是，当x＝－3时，y＝

5．函数

中自变量x的取值范围是

七、课后练习

已知函数y＝y1＋y2，y1与x＋1成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝0；

当x＝4时，y＝9，求当x＝－1时y的值

答案：

y＝4

17．1．2反比例函数的图象和性质

（1）

1．会用描点法画反比例函数的图象

2．结合图象分析并掌握反比例函数的性质

3．体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法

二、重点、难点

理解并掌握反比例函数的图象和性质

正确画出图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质

画反比例函数图象前，应先让学生回忆一下画函数图象的基本步骤，即：

列表、描点、连线，其中列表取值很关键。

（k≠0）自变量的取值范围是x≠0，所以取值时应对称式地选取正数和负数各一半，并且互为相反数，通常取的数值越多，画出的图象越精确。

连线时要告诉学生用平滑的曲线连接，不能用折线连接。

教学时，老师要带着学生一起画，注意引导，及时纠错。

在探究反比例函数的性质时，可结合正比例函数y＝kx（k≠0）的图象和性质，来帮助学生观察、分析及归纳，通过对比，能使学生更好地理解和掌握所学的内容。

这里要强调一下，反比例函数的图象位置和增减性是由反比例系数k的符号决定的；

反之，双曲线的位置和函数性质也能推出k的符号，注意让学生体会数形结合的思想方法。

教材第41页的例2是让学生经历用描点法画反比例函数图象的过程，一方面能进一步熟悉作函数图象的方法，提高基本技能；

另一方面可以加深学生对反比例函数图象的认识，了解函数的变化规律，从而为探究函数的性质作准备。

补充1的目的一是复习巩固反比例函数的定义，二是通过对反比例函数性质的简单应用，使学生进一步理解反比例函数的图象特征及性质。

补充2例是一道典型题，是关于反比例函数图象与矩形面积的问题，要让学生理解并掌握反比例函数解析式

（k≠0）中

的几何意义。

提出问题：

1．一次函数y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）的图象是什么？

其性质有哪些？

正比例函数y＝kx（k≠0）呢？

2．画函数图象的方法是什么?

其一般步骤有哪些？

应注意什么？

3．反比例函数的图象是什么样呢?

例2．见教材P41，用描点法画图，注意强调：

（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值

（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确

（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线

（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴

（补充1）已知反比例函数

的图象在第二、四象限，求m值，并指出在每个象限内y随x的变化情况？

此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即

（k≠0）自变量x的指数是－1，二是根据反比例函数的性质：

当图象位于第二、四象限时，k＜0，则m－1＜0，不要忽视这个条件

∵

是反比例函数∴m2－3＝－1，且m－1≠0

又∵图象在第二、四象限∴m－1＜0

解得

且m＜1则

（补充2）如图，过反比例函数

（x＞0）的图象

上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得（）

（A）S1＞S2（B）S1＝S2

（C）S1＜S2（D）大小关系不能确定

从反比例函数

（k≠0）的图象上任一点P（x，y）向x轴、y轴作垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积

，由此可得S1＝S2＝

，故选B

1．已知反比例函数

，分别根据下列条件求出字母k的取值范围

（1）函数图象位于第一、三象限

（2）在第二象限内，y随x的增大而增大

2．函数y＝－ax＋a与

（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）

3．在平面直角坐标系内，过反比例函数

（k＞0）的图象上的一点分别作x轴、y轴的垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为

1．若函数

与

的图象交于第一、三象限，则m的取值范围是

正比例函数y=kx（k≠0）反比例函数

k>

0x>

0第一象限第一象限

x=0过原点

x<

0第三象限第三象限

k<

0第二象限第二象限

0第四象限第四象限

因为函数

的图象交于第一、三象限，所以

，即

.

2．反比例函数

，当x＝－2时，y＝；

当x＜－2时；

y的取值范围是；

当x＞－2时；

y的取值范围是

3．已知反比例函数

，当

时，y随x的增大而增大，

求函数关系式

3．

17．1．2反比例函数的图象和性质

（2）

1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质

2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题

3．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法

理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题

学会从图象上分析、解决问题

在前一节的基础上，可适当增加一些较综合的题目，帮助学生熟练掌握反比例函数的图象和性质，要让学生学会如何通过函数图象分析解析式，或由函数解析式分析图象的方法，以便更好的理解数形结合的思想，最终能达到从“数”和“形”两方面去分析问题、解决问题。

教材第44页的例3一是让学生理解点在图象上的含义，掌握如何用待定系数法去求解析式，复习巩固反比例函数的意义；

二是通过函数解析式去分析图象及性质，由“数”到“形”，体会数形结合思想，加深学生对反比例函数图象和性质的理解。

教材第44页的例4是已知函数图象求解析式中的未知系数，并由双曲线的变化趋势分析函数值y随x的变化情况，此过程是由“形”到“数”，目的是为了提高学生从函数图象中获取信息的能力，加深对函数图象及性质的理解。

补充1目的是引导学生在解有关函数问题时，要数形结合，另外，在分析反比例函数的增减性时，一定要注意强调在哪个象限内。

补充2是一道有关一次函数和反比例函数的综合题，目的是提高学生的识图能力，并能灵活运用所学知识解决一些较综合的问题。

复习上节课所学的内容

1．什么是反比例函数？

2．反比例函数的图象是什么？

有什么性质？

例3．见教材P44

的图象位置及y随x的变化情况取决于常数k的符号，因此要先求常数k，而题中已知图象经过点A（2，6），即表明把A点坐标代入解析式成立，所以用待定系数法能求出k，这样解析式也就确定了。

另外，由反比例函数图象过A（2,6）可知k>

0,所以直接可得图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小.

例4．见教材P44

（补充1）若点A（－2，a）、B（－1，b）、C（3，c）在反比例函数

（k＜0）图象上，则a、b、c的大小关系怎样？

由k＜0可知，双曲线位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，因为A、B在第二象限，且－1＞－2，故b＞a＞0；

又C在第四象限，则c＜0，所以b＞a＞0＞c

说明：

由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数y随x的增减性就不能连续的看，一定要强调“在每一象限内”，否则，笼统说k＜0时y随x的增大而增大，就会误认为3最大，则c最大，出现错误。

此题还可以画草图，比较a、b、c的大小，利用图象直观易懂，不易出错，应学会使用。

（补充2）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数

的图象交于A（－2，1）、B（1，n）两点

（1）求反比例函数和一次函数的解析式

（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函

数的值的x的取值范围

因为A点在反比例函数的图象上，可先求出反

比例函数的解析式

，又B点在反比例函数的图象上，代入即可求出n的值，最后再由A、B两点坐标求出一次函数解析式y＝－x－1，第

（2）问根据图象可得x的取值范围x＜－2或0＜x＜1，这是因为比较两个不同函数的值的大小时，就是看这两个函数图象哪个在上方，哪个在下方。

1．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则函数

的图象在（）

（A）第一、三象限（B）第二、四象限

（C）第三、四象限（D）第一、二象限

2．已知点（－1，y1）、（2，y2）、（π，y3）在双曲线

上，则下列关系式正确的是（）

（A）y1＞y2＞y3（B）y1＞y3＞y2

（C）y2＞y1＞y3（D）y3＞y1＞y2

的图象在每个象限内函数值y随自变量x的增大而减小，且k的值还满足

≥2k－1，若k为整数，求反比例函数的解析式

2．已知一次函数

的图像与反比例函数

的图像交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2，

求

（1）一次函数的解析式；

（2）△AOB的面积

1．

或

2．

（1）y＝－x＋2，

（2）面积为6

17．2实际问题与反比例函数

（1）

1．利用反比例函数的知识分析、解决实际问题

2．渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力

利用反比例函数的知识分析、解决实际问题

分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式

用函数观点解实际问题，一要搞清题目中的基本数量关系，将实际问题抽象成数学问题，看看各变量间应满足什么样的关系式（包括已学过的基本公式），这一步很重要；

二是要分清自变量和函数，以便写出正确的函数关系式，并注意自变量的取值范围；

三要熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质，特别是图象，要做到数形结合，这样有利于分析和解决问题。

教学中要让学生领会这一解决实际问题的基本思路。

教材第50页的例1，数量关系比较简单，学生根据基本公式很容易写出函数关系式，此题实际上是利用了反比例函数的定义，同时也是要让学生学会分析问题的方法。

教材第51页的例2是一道利用反比例函数的定义和性质来解决的实际问题，此题的实际背景较例1稍复杂些，目的是为了提高学生将实际问题抽象成数学问题的能力，掌握用函数观点去分析和解决问题的思路。

补充例题一是为了巩固反比例函数的有关知识，二是为了提高学生从图象中读取信息的能力，掌握数形结合的思想方法，以便更好地解决实际问题

寒假到了，小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰，突然发现前面有一处冰出现了裂痕，小明立即告诉同伴分散趴在冰面上，匍匐离开了危险区。

你能解释一下小明这样做的道理吗？

例1．见教材第50页

（1）问首先要弄清此题中各数量间的关系，容积为104，底面积是S，深度为d，满足基本公式：

圆柱的体积＝底面积×

高，由题意知S是函数，d是自变量，改写后所得的函数关系式是反比例函数的形式，

（2）问实际上是已知函数S的值，求自变量d的取值，（3）问则是与

（2）相反

例2．见教材第51页

此题类似应用题中的“工程问题”，关系式为工作总量＝工作速度×

工作时间，由于题目中货物总量是不变的，两个变量分别是速度v和时间t，因此具有反比关系，

（2）问涉及了反比例函数的增减性，即当自变量t取最大值时，函数值v取最小值是多少？

（补充1．）某气球内充满了一定质量的气体，

当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气体体积V（立方米）的反比例函数，其图像如图所示（千帕是一种压强单位）

（1）写出这个函数的解析式；

（2）当气球的体积是0.8立方米时，

气球内的气压是多少千帕？

（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？

题中已知变量P与V是反比例函数关系，并且图象经过点A，利用待定系数法可以求出P与V的解析式，得

，（3）问中当P大于144千帕时，气球会爆炸，即当P不超过144千帕时，是安全范围。

根据反比例函数的图象和性质，P随V的增大而减小，可先求出气压P＝144千帕时所对应的气体体积，再分析出最后结果是不小于

立方米

1．京沈高速公路全长658km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系式为

2．完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均报酬y（元）与人数x（人）之间的函数关系式

3．一定质量的氧气，它的密度

（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V＝10时，

＝1.43，

（1）求

与V的函数关系式；

（2）求当V＝2时氧气的密度

＝

，当V＝2时，

＝7.15

1．小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v（米/分），所需时间为t（分）

（1）则速度v与时间t之间有怎样的函数关系？

（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？

（2）如果小林骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？

，v＝240，t＝12

2．学校锅炉旁建有一个储煤库，开学初购进一批煤，现在知道：

按每天用煤0.6吨计算，一学期（按150天计算）刚好用完.若每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y天

（1）则y与x之间有怎样的函数关系？

（2）画函数图象

（3）若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？

17．2实际问题与反比例函数

（2）

2．渗透数形结合思想，进一步提高学生用函数观点解决问题的能力，体会和认识反比例函数这一数学模型

分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式，解决实际问题

本节的两个例题与学生的日常生活联系紧密，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用，不但能巩固所学的知识，还能提高学生学习数学的兴趣。

本节的教学，要引导学生从已有的生活经验出发，按照上一节所讲的基本思路去分析、解决实际问题，注意体会数形结合及转化的思想方法，要告诉学生充分利用函数图象的直观性，这对分析和解决实际问题很有帮助。

教材第52页的例3和例4都需要用到物理知识，教材在例题前已给出了相关的基本公式，其中的数量关系具有反比例关系，通过对这两个问题的分析和解决，不但能复习巩固反比例函数的有关知识，还能培养学生应用数学的意识

补充1是一道综合题，有一定难度，需要学生有较强的识图、分析和归纳等方面的能力，此题既有一次函数的知识，又有反比例函数的知识，能进一步深化学生对一次函数和反比例函数知识的理解和掌握，体会数形结合思想的重要作用，同时提高学生灵活运用函数观点去分析和解决实际问题的能力

1．小明家新买了几桶墙面漆，准备重新粉刷墙壁，请问如何打开这些未开封的墙面漆桶呢？

其原理是什么？

2．台灯的亮度、电风扇的转速都可以调节，你能说出其中的道理吗？

例3．见教材第52页

题中已知阻力与阻力臂不变，即阻力与阻力臂的积为定值，由“杠杆定律”知变量动力与动力臂成反比关系，写出函数关系式，得到函数动力F是自变量动力臂

的反比例函数，当

＝1.5时，代入解析式中求F的值；

（2）问要利用反比例函数的性质，

越大F越小，先求出当F＝200时，其相应的

值的大小，从而得出结果。

例4．见教材第53页

根据物理公式PR＝U2，当电压U一定时，输出功率P是电阻R的反比例函数，则

，

（2）问中是已知自变量R的取值范围，即110≤R≤220，求函数P的取值范围，根据反比例函数的性质，电阻越大则功率越小，得220≤P≤440

（补充1．）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例,药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：

（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为,自变量x的取值范为；

药物燃烧后，y关于x的函数关系式

为.

（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低

于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过______分钟后，员工才能回到办公室；

（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效?

为什么?

（1）药物燃烧时，由图象可知函数y是x的正比例函数，设

，将点（8，6）代人解析式，求得

，自变量0＜x≤8；

药物燃烧后，由图象看出y是x的反比例函数，设

，用待定系数法求得

（2）燃烧时，药含量逐渐增加，燃烧后，药含量逐渐减少，因此，只能在燃烧后的某一时间进入办公室，先将药含量y＝1.6代入

，求出x＝30，根据反比例函数的图象与性质知药含量y随时间x的增大而减小，求得时间至少要30分钟

（3）药物燃烧过程中，药含量逐渐增加，当y＝3时，代入

中，得x＝4，即当药物燃烧4分钟时，药含量达到3毫克；

药物燃烧后，药含量由最高6毫克逐渐减少，其间还能达到3毫克，所以当y＝3时，代入

，得x＝16，持续时间为16－4＝12＞10，因此消毒有效

1．某厂现有800吨煤，这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数关系是（）

（A）

（x＞0）（B）

（x≥0）

（C）y＝300x（x≥0）（D）y＝300x（x＞0）

2．已知甲、乙两地相s（千米），汽车从甲地匀速行驶到达乙地，如果汽车每小时耗油量为a（升），那么从甲地到乙地汽车的总耗油量y（升）与汽车的行驶速度v（千米/时）的函数图象大致是（）

3．你吃过拉面吗？

实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识，一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的粗细（横截面积）S（mm2）的反比例函数，其图象如图所示：

（1）写出y与S的函数关系式；

（2）求当面条粗1.6mm2时，面条的总长度是多

少米？

七．课后练习

一场暴雨过后，一洼地存雨水20米3，如果将雨水

全部排完需t分钟，排水量为a米3/分，且排水时间为5～10分钟

（1）试写出t与a的函数关系式，并指出a的取值范围；

（2）请画出函数图象

（3）根据图象回答：

当排水量为3米3/分时，排水的时间需要多长？