根与系数的关系及应用Word文件下载.docx
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解由观察易知,x1=a是方程的根.又原方程等价于
2.求根的代数式的值
在求根的代数式的值的问题中,要灵活运用乘法公式和代数式的恒等变形技巧.
例3已知二次方程x2-3x+1=0的两根为α,β,求:
(3)α3+β3;
(4)α3-β3.
解由韦达定理知α+β=3,αβ=1.
(3)α3+β3=(α+β)(α2-αβ+β2)=(α+β)[(α+β)2-3αβ] =3(9-3)=18;
(4)α3-β3=(α-β)(α2+αβ+β2) =(α-β)[(α+β)2-αβ]
例4设方程4x2-2x-3=0的两个根是α和β,求4α2+2β的值.
解因为α是方程4x2-2x-3=0的根,所以4α2-2α-3=0,
即4α2=2α+3.
4α2+2β=2α+3+2β=2(α+β)+3=4.
例5已知α,β分别是方程x2+x-1=0的两个根,求2α5+5β3的值.
解由于α,β分别是方程x2+x-1=0的根,所以α2+α-1=0,β2+β-1=0,
即α2=1-α,β2=1-β. α5=(α2)2·
α=(1-α)2α=(α2-2α+1)α
=(1-α-2α+1)α=-3α2+2α=-3(1-α)+2α=5α-3,
β3=β2·
β=(1-β)β=β-β2=β-(1-β)=2β-1.
所以 2α5+5β3=2(5α-3)+5(2β-1)=10(α+β)-11=-21.
说明此解法的关键在于利用α,β是方程的根,从而可以把它们的幂指数降次,最后都降到一次,这种方法很重要.
例6设一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实根的和为s1,平方和为s2,立方和为s3,求as3+bs2+cs1的值.
解设x1,x2是方程的两个实根,于是
所以 as3+bs2+cs1=0.
说明本题最“自然”的解法是分别用a,b,c来表示s1,s2,s3,然后再求as3+bs2+cs1的值.当然这样做运算量很大,且容易出错.下面我们再介绍一种更为“本质”的解法.
另解因为x1,x2是方程的两个实根,所以
同理
将上面两式相加便得as3+bs2+cs1=0.
3.与两根之比有关的问题
例7如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根之比等于常数k,则系数a,b,c必满足:
kb2=(k+1)2ac.
证设方程的两根为x1,x2,且x1=kx2,由韦达定理
由此两式消去x2得
即kb2=(k+1)2ac.
例8已知x1,x2是一元二次方程4x2-(3m-5)x-6m2=0
解首先,△=(3m-5)2+96m2>0,方程有两个实数根.由韦达定理知
从上面两式中消去k,便得
即 m2-6m+5=0,所以m1=1,m2=5.
4.求作新的二次方程
例9已知方程2x2-9x+8=0,求作一个二次方程,使它的一个根为原方程两根和的倒数,另一根为原方程两根差的平方.
解设x1,x2为方程2x2-9x+8=0的两根,则
设所求方程为x2+px+q=0,它的两根为x'
1,x'
2,据题意有
故
所以,求作的方程是36x2-161x+34=0.
例10设x2-px+q=0的两实数根为α,β.
(1)求以α3,β3为两根的一元二次方程;
(2)若以α3,β3为根的一元二次方程仍是x2-px+q=0,求所有这样的一元二次方程.
解
(1)由韦达定理知α+β=p,αβ=q,所以α3+β3=(α+β)[(α+β)2-3αβ]=p(p2-3q),α3·
β3=(αβ)3=q3.所以,以α3,β3为两根的一元二次方程为x2-p(p2-3q)x+q3=0.
(2)由
(1)及题设知
由②得q=0,±
1.若q=0,代入①,得p=0,±
1;
若q=-1,代入①,
以,符合要求的方程为x2=0,x2-x=0,x2+x=0,x2-1=0.
5.证明等式和不等式
利用韦达定理可以证明一些等式和不等式,这常常还要用判别式来配合.
例11已知实数x,y,z满足x=6-y,z2=xy-9,求证:
x=y.
证因为x+y=6,xy=z2+9,所以x,y是二次方程
t2-6t+(z2+9)=0
的两个实根,于是这方程的判别式
△=36-4(z2+9)=-4z2≥0,
即z2≤0.因z为实数,显然应有z2≥0.要此两式同时成立,只有z=0,从而△=0,故上述关于t的二次方程有等根,即x=y.
例12若a,b,c都是实数,且a+b+c=0,abc=1,
证由a+b+c=0及abc=1可知,a,b,c中有一个正数、两个负数,不妨设a是正数,由题意得
于是根据韦达定理知,b,c是方程
的两个根.又b,c是实数,因此上述方程的判别式
因为a>0,所以a3-4≥0,a3≥4,
例13知x1,x2是方程4ax2-4ax+a+4=0的两个实根.
解
(1)显然a≠0,由△=16a2-16a(a+4)≥0,得a<0.由韦达定理知
所以
所以a=9,这与a<0矛盾.故不存在a,使
(2)利用韦达定理
所以(a+4)|16,即a+4=±
1,±
2,±
4,±
8,±
16.结合a<0,得a=-2,-3,-5,-6,-8,-12,-20.
练习八
1.选择:
(1)若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,则判别式△=b2-4ac与平方式M=(2ax0+b)2的关系是[ ] (A)△>M(B)△=M
(C)△=<M (D)不确定
(2)方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1,x2,则
[ ]
(A)-4 (B)8 (C)6 (D)0
为[ ] (A)3 (B)-11 (C)3或-11 (D)11
2.填空:
(1)如果方程x2+px+q=0的一根为另一根的2倍,那么,p,q满足的关系式是______.
(2)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根,甲由于看错了二次项系数,误求得两根为2和4,乙由于看错了某一项系数的符号,
1993+5a2+9a4=_______.
(4)已知a是方程x2-5x+1=0的一个根,那么a4+a-4的末位数是______.
另一根为直角边a,则此直角三角形的第三边b=______.
3.已知α,β是方程x2-x-1=0的两个实数根,求α4+3β的值.
4.作一个二次方程,使它的两个根α,β是正数,并且满足关系式
5.如果关于x的方程x2+ax+b=0的两个实数根之比为4∶5,方程的判别式的值为3,求a,b的值.
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- 系数 关系 应用