届安徽省毛坦厂中学高三联考 数学文文档格式.docx
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xB.y=±
xC.y=±
xD.y=±
3x
4.按文献记载,《百家姓》成文于北宋初年,表1记录了《百家姓》开头的24大姓氏:
表1
赵
钱
孙
李
周
吴
郑
王
冯
陈
褚
卫
蒋
沈
韩
杨
朱
秦
尤
许
何
吕
施
张
表2记录了2018年中国人口最多的前25大姓氏:
表2
1:
2:
3:
4:
刘
5:
6:
7:
8:
黄
9:
10:
11:
徐
12:
13:
胡
14:
15:
高
16:
林
17:
18:
郭
19:
马
20:
罗
21:
梁
22:
宋
23:
24:
谢
25:
从《百家姓》开头的24大姓氏中随机选取1个姓氏,则该姓氏是2018年中国人口最多的前24大姓氏的概率为
A.B.C.D.
5.函数f(x)=的零点之和为
A.-1B.1C.-2D.2
6.函数f(x)=cos(3x+)的单调递增区间为
A.[+,+](k∈Z)
B.[+,+](k∈Z)
C.[-+,+](k∈Z)
D.[-+,+](k∈Z)
7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A.24π-6
B.8π-6
C.24π+6
D.8π+6
8.已知两个单位向量e1,e2的夹角为60°
向量m=te1+2e2(t<
0),则
A.的最大值为-B.的最小值为-2
C.的最小值为-D.的最大值为-2
9.若直线y=kx-2与曲线y=1+3lnx相切,则k=
A.2B.C.3D.
10.已知不等式组表示的平面区域为等边三角形,则z=x+3y的最小值为
A.2+3B.1+3C.2+D.1+
11.若函数f(x)=a·
()x(≤x≤1)的值域是函数g(x)=(x∈R)的值域的子集,则正数a的取值范围为
A.(0,2]B.(0,1]C.(0,2]D.(0,]
12.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知10sinA-5sinC=2,cosB=,则=
第Ⅱ卷
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.某中学将从甲、乙、丙3人中选一人参加全市中学男子1500米比赛,现将他们最近集训中的10次成绩(单位:
秒)的平均数与方差制成如下表格:
甲
乙
丙
平均数
280
290
方差
20
16
根据表中的数据,该中学应选 ▲ 参加比赛.
14.已知tan(α+)=6,则tanα= ▲ .
15.四棱锥P-ABCD的每个顶点都在球O的球面上,PA与矩形ABCD所在平面垂直,AB=3,AD=,球O的表面积为13π,则线段PA的长为 ▲ .
16.斜率为k(k<
0)的直线l过点F(0,1),且与曲线y=x2(x≥0)及直线y=-1分别交于A,B两点,若|FB|=6|FA|,则k= ▲ .
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:
共60分.
17.(12分)
已知数列{an}满足-=0,且a1=.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{+2n}的前n项和Sn.
18.(12分)
某市A,B两校组织了一次英语笔试(总分120分)联赛,两校各自挑选了英语笔试成绩最好的100名学生参赛,成绩不低于115分定义为优秀.赛后统计了所有参赛学生的成绩(都在区间[100,120]内),将这些数据分成4组:
[100,105),[105,110),[110,115),[115,120].得到如下两个频率分布直方图:
(1)分别计算A,B两校联赛中的优秀率;
(2)联赛结束后两校将根据学生的成绩发放奖学金,已知奖学金y(单位:
百元)与其成绩t的关系式为y=.
①当a=0时,试问A,B两校哪所学校的获奖人数更多?
②当a=0.5时,若以奖学金的总额为判断依据,试问本次联赛A,B两校哪所学校实力更强?
19.(12分)
如图,在四棱锥B-ACDE中,正方形ACDE所在平面与正△ABC所在平面垂直,M,N分别为BC,AE的中点,F在棱CD上.
(1)证明:
MN∥平面BDE.
(2)已知AB=2,点M到AF的距离为,求三棱锥C-AFM的体积.
20.(12分)
椭圆+=1(m>
1)的左、右顶点分别为A,B,过点B作直线l交直线x=-2于点M,交椭圆于另一点P.
(1)求该椭圆的离心率的取值范围;
(2)若该椭圆的长轴长为4,证明:
·
=2m(O为坐标原点).
21.(12分)
已知函数f(x)=ax3-x2.
(1)若f(x)的一个极值点在(1,3)内,求a的取值范围;
(2)若a为非负数,求f(x)在[-1,2]上的最小值.
(二)选考题:
共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(θ为参数).
(1)求l和C的普通方程;
(2)将l向左平移m(m>
0)个单位长度后,得到直线l'
若圆C上只有一个点到l'
的距离为1,求m.
23.[选修4-5:
不等式选讲](10分)
设函数f(x)=|x-a|+|x-4|(a≠0).
(1)当a=1时,求不等式f(x)<
x的解集;
(2)若f(x)≥-1恒成立,求a的取值范围.
高三年级五月份联考
数学参考答案(文科)
1.A ∵z=i9(-1-2i)=i(-1-2i)=2-i,∴=2+i.
2.B ∵a<
a+1,∴a+1=1或a=3,即a=0或3.
3.C 因为2a=2,2c=4,所以a=1,c=2,b=,所以C的渐近线方程为y=±
x.
4.D 满足条件的姓氏为赵、孙、李、周、吴、郑、王、陈、杨、朱、何、张,共12个,故所求概率为=.
5.A 函数f(x)=的零点为log62,-log612,
故零点之和为log62-log612=-log66=-1.
6.A 因为f(x)=-sin3x,所以只要求y=sin3x的递减区间.令+2kπ≤3x≤+2kπ(k∈Z),解得+≤x≤+(k∈Z).
7.B 由三视图可知该几何体是在一个圆锥中挖掉一个长方体得到的,其中圆锥的底面圆的半径为2,高为6,挖掉的长方体的底面是边长为的正方形,高为3.故该几何体的体积为π×
22×
6-2×
3=8π-6.
8.A 因为t<
0,所以===
=-=-,当=-,即t=-4时,取得最大值,且最大值为-.
9.C 设切点为(x0,kx0-2),∵y'
=,∴由①得kx0=3,代入②得1+3lnx0=1,
则x0=1,k=3.
10.D 依题意可得k=,作出不等式组表示的平面区域如图所示,
当直线z=x+3y经过点(1,)时,z取得最小值1+.
11.A 令y=g(x),则(y-1)x2+yx+y+1=0,
当y=1时,x=-2;
当y≠1时,Δ=y2-4(y-1)(y+1)≥0,则y2≤.
所以g(x)的值域为[-,].
因为a>
0,所以f(x)的值域为[,],从而0<
≤,则0<
a≤2.
12.C ∵cosB=,∴sinB=.又10sinA-5sinC=2,
∴2sinA-sinC=sinB,由正弦定理,得2a-c=b,
由余弦定理,得(2a-c)2=a2+c2-2ac×
整理得5a=6c,即=.
13.乙 男子1500米比赛的成绩是时间越短越好的,方差越小发挥水平越稳定,故乙是最佳人选.
14. 设tanα=x,则=6,解得x=.
15.1 因为球O的表面积为13π,所以4π()2=13π,则PA=1.
16.- 易知曲线y=x2(x≥0)是抛物线C:
x2=4y的右半部分,如图,其焦点为F(0,1),准线为y=-1.过A作AH⊥准线,垂足为H,则|AH|=|AF|,因为|FB|=6|FA|,所以|AB|=5|AH|,tan∠ABH===,故直线l的斜率为-.
17.解:
(1)因为-=0,
所以an+1=an,2分
又a1=,
所以数列{an}为等比数列,且首项为,公比为.4分
故an=()n.6分
(2)由
(1)知=2n,7分
所以+2n=2n+2n.8分
所以Sn=+=2n+1+n2+n-2.12分
18.解:
(1)由频率分布直方图知,A校的优秀率为0.06×
5=0.3,1分
B校的优秀率为0.04×
5=0.2.2分
(2)①A校的获奖人数为100×
(1-0.04×
5)=80,3分
B校的获奖人数为100×
(1-0.02×
5)=90,4分
所以B校的获奖人数更多.5分
②A校学生获得的奖学金的总额为
0.2×
100×
0.5+0.5×
1.5+0.3×
2.8=169(百元)=16900(元),8分
B校学生获得的奖学金的总额为
0.1×
0.5+0.7×
1.5+0.2×
2.8=166(百元)=16600(元),11分
因为16900>
16600,所以A校实力更强.12分
19.
(1)证明:
取BD的中点G,连接EG,MG,
∵M为棱BC的中点,
∴MG∥CD,且MG=CD.1分
又N为棱AE的中点,四边形ACDE为正方形,
∴EN∥CD,且EN=CD.2分
从而EN∥MG,且EN=MG,于是四边形EGMN为平行四边形,3分
则MN∥EG.4分
∵MN⊄平面BDE,EG⊂平面BDE,∴MN∥平面BDE.5分
(2)解:
(法一)过M作MI⊥AC于I,
∵平面ACDE⊥平面ABC,∴MI⊥平面ACDE,6分
过I作IK⊥AF于K,连接MK,则MK⊥AF.7分
∵AB=2,∴MI=2×
×
=,∴MK===,
∴IK=,过C作CH⊥AF于H,易知==,则CH=×
=.9分
∵CH==,∴CF=1.10分
(法二)在正△ABC中,∵M为BC的中点,∴AM⊥BC.6分
∵平面ABC⊥平面ACDE,AC⊥CD,
∴CD⊥平面ABC,∴CD⊥AM.7分
∵BC∩CD=C,∴AM⊥平面BCD,∴AM⊥MF.8分
设CF=a,在△AFM中,AM=,FM=,AF=,
则×
=×
解得a=1.10分
从而VC-AFM=VF-ACM=×
1×
22=.12分
20.
(1)解:
∵e====,2分
又m>
1,∴0<
e<
=,
∴e∈(0,).4分
(2)证明:
∵椭圆的长轴长为2=4,∴m=2,5分
易知A(-2,0),B(2,0),设M(-2,y0),P(x1,y1),
则=(x1,y1),=(-2,y0),6分
直线BM的方程为y=-(x-2),即y=-x+y0,7分
代入椭圆方程x2+2y2=4,
得(1+)x2-x+-4=0,8分
由韦达定理得2x1=,9分
∴x1=,∴y1=,10分
∴·
=-2x1+y0y1=-+==4=2m.12分
21.解:
(1)当a=0时,显然不合题意,故a≠0.1分
f'
(x)=3ax2-2x,令f'
(x)=0,得x=0或x=,2分
由题意可得,1<
<
3,解得<
a<
即a的取值范围为(,).4分
(2)当a=0时,f(x)=-x2在[-1,2]上的最小值为f
(2)=-4.5分
当0<
a≤时,≥6,f'
(x)=ax(3x-).
∵x∈[-1,2],∴3x-≤0,
故f(x)在[-1,0)上单调递增,在(0,2]上单调递减,∴f(x)min=min{f(-1),f
(2)}.6分
∵f
(2)-f(-1)=(8a-4)-(-a-1)=9a-3≤0,∴f(x)min=f
(2)=8a-4.7分
当a>
时,f'
(x)=ax(3x-),0<
2,当x∈[-1,0)∪(,2]时,f'
(x)>
0;
当x∈(0,)时,f'
(x)<
0.8分
∴f(x)min=min{f(-1),f()}.
∵f()-f(-1)=(-)-(-a-1)=,9分
∵a>
∴27a3+27a2-4>
0,>
0,10分
∴f(x)min=f(-1)=-a-1.11分
综上,当0≤a≤时,f(x)min=8a-4;
时,f(x)min=-a-1.12分
22.解:
(1)由题意可得|a|=1,1分
故l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(θ为参数),
消去参数t,得l的普通方程为3x-4y-7=0,3分
消去参数θ,得C的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=1.5分
(2)l'
的方程为y=(x+m)-,即3x-4y+3m-7=0,6分
因为圆C只有一个点到l'
的距离为1,圆C的半径为1,
所以C(1,-2)到l'
的距离为2,8分
即=2,解得m=2(m=-<
0舍去).10分
23.解:
(1)当a=1时,f(x)=,3分
故不等式f(x)<
x的解集为(3,5).5分
(2)∵f(x)=|x-a|+|x-4|≥|(x-a)-(x-4)|=|a-4|,6分
∴|a-4|≥-1=,7分
当a<
0或a≥4时,不等式显然成立;
8分
4时,≤1,则1≤a<
4.9分
故a的取值范围为(-∞,0)∪[1,+∞).10分
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