华师大版八下205《等腰梯形的判定》同步习题精选2套Word下载.docx

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四、思考题

8．如图所示，四边形ABCD中，有AB=DC，∠B=∠C，且AD<

BC，四边形ABCD是等腰梯形吗？

为什么？

参考答案

一、1．D点拨：

梯形的底角分为上底上的角和下底上的角，因此在等腰梯形的性质和判别方法中必须强调同一底上的两个内角（指上底上的两个内角或下底上的两个内角），否则就会出现错误，因此A，B选项都不正确，而C选项中漏掉了限制条件另外一组对边不平行，若平行该四边形就形成了平行四边形了，因此应选D．

2．B点拨：

因为△ABC≌△DCB，△BAD≌△CDA，△AOB≌△DOC，

所以共有3对全等的三角形．

3．C点拨：

设该等腰梯形对角线长为Lcm，因为两条对角线互相垂直，

所以梯形面积为

L2=450，解得L=30，

所以所用竹条长度之和至少为2L=2×

30=60（cm）．

二、4．4：

点拨：

如图所示，连结BD，过A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F．

易知△BAE≌△CDF，在四边形AEFD为矩形，所以BE=CF=3，AD=EF=4．

在Rt△CDF中，FC2+DF2=CD2，即32+DF2=52，

所以DF=4，在Rt△BFD中，BF2+DF2=BD2，即72+42=BD2，所以BD=

．

5．7；

31

如图所示，过点D作DE∥AB交BC于E．

因为AD∥BC，AB∥DE，所以四边形ABED是平行四边形．

所以BE=AD=5（cm），AB=DE．

又因为AB=CD，所以DE=DC，

又因为∠C=60°

，所以△DEC是等边三角形，

所以DE=DC=EC=7（cm），所以周长为5+12+7+7=31（cm）．

6．AB=CD（或∠A=∠D，或∠B=∠C，或AC=BD，或∠A+∠C=180°

，或∠B+∠D=180°

）

三、7．证明：

因为AB∥ED，所以∠BAD=∠ADE．

又因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD，所以∠CAD=∠ADE，

所以OA=OD．又因为AC=DE，所以AC-OA=DE-OD即OC=OE，所以∠OCE=∠OEC，

又因为∠AOD=∠COE，所以∠CAD=∠OCE．所以AD∥CE，

而AD≠CE，故四边形ADCE是梯形．

又因为∠CAD=∠ADE，AD=DA，AC=DE，所以△DAC≌△ADE，所以DC=AE，

所以四边形ADCE是等腰梯形．

证明一个四边形是等腰梯形时，应先证其是梯形而后再证两腰相等或同一底上的两个角相等．

四、8．解：

四边形ABCD是等腰梯形．

理由：

延长BA，CD，相交于点E，如图所示，由∠B=∠C，可得EB=EC．

又AB=DC，所以EB-AB=EC-DC，即AE=DE，所以∠EAD=∠EDA．

因为∠E+∠EAD+∠EDA=180°

，∠E+∠B+∠C=180°

，所以∠EAD=∠B．

故AD∥BC．又AD<

BC，所以四边形ABCD是梯形．

又AB=DC，所以四边形ABCD是等腰梯形．

点拨：

由题意可知，只要推出AD∥BC，再由AD<

BC就可知四边形ABCD为梯形，再由AB=DC，即可求得此四边形是等腰梯形，由∠B=∠C联想到延长BA，CD，即可得到等腰三角形，从而使AD∥BC．

20.5等腰梯形的判定B卷

一、七彩题

1．（一题多解题）如图所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=12cm，上底AD=15cm，∠BAD=120°

，求下底BC的长．

二、知识交叉题

2．（科内交叉题）如图所示，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OD的中点，且EF≠AD，试判断四边形EBCF的形状，并说明你的理由．

三、实际应用题

3．如图所示，小军将两根长度相等的木条AC，BD交叉摆放，并使木条AC，BD分别与水平线所成的夹角∠1，∠2相等，然后在交点O处钉一个钉子固定，OA<

OC，再用一根彩带沿AD，DC，CB，BA围起来，小军得到的四边形ABCD是等腰梯形吗？

请说明你的理由．

四、经典中考题

4．（连云港，）如图所示，在直角梯形纸片ABCD中，AB∥DC，∠A=90°

，CD>

AD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边CD上的点E，折痕为DF，连结EF并展开纸片．

（1）求证：

四边形ADEF是正方形；

（2）取线段AF的中点G，连结EG，结果BG=CD，试说明四边形GBCE是等腰梯形．

五、探究学习篇

1．（翻折变换题）如图20-5-8所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°

，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB，BC于点F，E，若AD=2，BC=8，求BE的长．

2．如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M，N分别为AD，BC的中点，E，F分别是BM，CM的中点．

（1）试说明△ABM≌△DCM；

（2）四边形MENF是什么图形？

请说明理由．

（3）若四边形MENF是正方形，则梯形的高与底边BC的长有何数量关系？

3．阅读：

下面是某同学解一道有关等腰梯形的问题的过程．已知：

在四边形ABCD中，AB=DC，AC=BD，AD≠BC．试说明四边形ABCD是等腰梯形．

解：

过点D作DE∥AB，交BC于点E，如图20-5-10所示．则∠ABE=∠1①．因为AB=DC，AC=DB，BC=CB②，所以△ABC≌△DCB，所以∠ABC=∠DCB③，所以∠1=∠DCB④，所以AB=DC=DE⑤，所以四边形ABCD是平行四边形⑥，所以AD∥BC⑦．又因为AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形⑧．因为AB=CD，所以四边形ABCD是等腰梯形⑨．阅读填空：

（1）说明过程是否有错误？

错在第几步？

答：

_______．

（2）有人认为第⑧步是多余的，你认为呢？

答：

___________．

（3）若题目中没有AD≠BC，那么四边形ABCD一定是等腰梯形吗？

为什么？



一、1．解法一：

如图1所示，过A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，

在梯形ABCD中，因为AD∥BC，所以∠B+∠BAD=180°

，

因为∠BAD=120°

，所以∠B=60°

在Rt△ABE中，∠BAE=90°

-∠B=30°

，所以BE=

AB=6cm．

因为梯形ABCD是等腰梯形，所以∠C=∠B=60°

，所以CF=

CD=6cm．

因为四边形AEFD是矩形，所以EF=AD=15cm，所以BC=BE+EF+CF=27cm．

图1图2图3

解法二：

如图2所示，过A作AE∥CD交BC于E点，

因为AD∥BC，所以四边形AECD是平行四边形．所以EC=AD=15cm，AE=CE．

又因为AD∥BC，所以∠B+∠BAD=180°

，因为∠BAD=120°

，所以∠B=60°

因为AB=CD，所以AB=AE，所以△ABE是等边三角形，

所以BE=AB=12cm，所以BC=BE+EC=15+12=27（cm）．

解法三：

如图3所示，延长BA和CD交于点P，

在梯形ABCD中，AB=CD，所以∠B=∠C，

因为AD∥BC，所以∠PAD=∠B，∠PDA=∠C，∠BAD+∠B=180°

因为∠BAD=120°

所以∠B=∠PAD=∠C=∠PDA=60°

，所以△PAD和△PBC都是等边三角形．

所以PA=AD=15cm，PB=PA+AB=12+15=27（cm），所以BC=PB=27cm．

以上三种辅助线的方法在梯形中运用相当广泛，通过它们把梯形的问题转化为平行四边形，三角形等的问题来解决，体现了“转化”的数学思想．

二、2．解：

四边形EBCF是等腰梯形．理由如下：

因为四边形ABCD是矩形，所以AC=BD，AD=BC．

又因为AO=OC，OB=OD，所以OA=OD=OC=OB．

又因为E，F分别是OA，OD的中点，所以OE=OF，所以∠OEF=∠OFE．

因为OB=OC，所以∠OBC=∠OCB．

又因为∠EOF=∠BOC，所以∠OEF+∠OFE=∠OBC+∠OCB，即2∠OFE=2∠OBC，

所以∠OFE=∠OBC，所以EF∥BC．

因为EF≠AD，所以EF≠BC．所以四边形EBCF是梯形．

因为OE=OF，OB=OC，∠EOB=∠FOC，所以△OEB≌△OFC，所以BE=CF，

所以四边形EBCF是等腰梯形．

本题是等腰梯形的判定与矩形的性质的知识交叉题．要说明一个四边形为等腰梯形，需先说明这个四边形为梯形（这一条很容易被忽略），再说明这个梯形为等腰梯形．

三、3．解：

小军得到的四边形ABCD是等腰梯形，理由如下：

如图所示，延长DA，CB交于点E，因为AC=BD，∠1=∠2，CD=DC．

所以△ADC≌△BCD（S．A．S．），所以AD=BC，∠ADC=∠BCD．所以ED=EC，

所以ED-AD=EC-BC，即EA=EB．所以∠3=∠4，

因为∠3+∠4+∠E=180°

，∠ADC+∠BCD+∠E=180°

所以∠3=

，∠ADC=

，所以∠3=∠ADC．所以AB∥CD，

又因为OA<

OC，故四边形ABCD必不为平行四边形，

所以四边形ABCD是等腰梯形．

要想使四边形ABCD是等腰梯形，关键是求得AB∥DC和AD=BC，可通过同位角相等和三角形全等分别求出．

四、4．证明：

如图所示，

（1）因为∠A=90°

，AB∥DC，所以∠ADE=90°

由沿DF折叠后△DAF与△DEF重合，知AD=DE，∠DEF=90°

所以四边形ADEF是矩形，且邻边AD，DE相等．

所以四边形ADEF是正方形．

（2）因为CE∥BG，且CE≠BG，所以四边形GBCE是梯形，因为四边形ADEF是正方形，

所以AD=FE，∠A=∠GFE=90°

，又点G为AF的中点，所以AG=FG，连结DG．

在△AGD与△FGE中，因为AD=FE，∠A=∠GFE，AG=FG，所以△AGD≌△FGE，

所以∠DGA=∠EGB．因为BG=CD，BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形．

所以DG∥CD．所以∠DGA=∠B．所以∠EGB=∠B．所以四边形GBCE是等腰梯形．

五、探究学习

1．解：

因为△BFE与△DFE关于EF对称，所以△BFE≌△DFE．所以BE=DE．

又因为∠DBC=45°

，所以∠EBD=∠EDB=45°

，所以∠BED=90°

过A作AH⊥BC于H，如图所示．因为AD∥BC，所以∠BED=∠ADE=90°

又因为∠AHE=90°

，所以四边形ADEH是矩形．所以AD=HE，AH=DE．

在Rt△ABH和Rt△DCE中，因为AB=DC，AH=DE，所以Rt△ABH≌Rt△DCE，所以BH=EC．

所以EC=

×

（BC-AD）=

（8-2）=3，所以BE=BC-EC=8-3=5．

要求BE的长，因为BC已知，只需求EC的长，由已知条件可得∠DEC=90°

，故联系梯形常作辅助线，易求EC的长．

2．解：

（1）因为四边形ABCD为等腰梯形，所以AB=CD，∠A=∠D．

因为M是AD的中点，所以AM=DM，所以△ABM≌△DCM．

（2）四边形MENF是菱形．理由：

由△ABM≌△DCM，得MB=MC．

连结MN，因为N是BC的中点，所以MN⊥BC，

而E，F分别是MB，MC的中点，

所以ME=

MB，MF=

MC，NE=

MB，NF=

MC（直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半），所以ME=MF=NF=NE，所以四边形MENF是菱形．（3）梯形的高等于底边BC的长的一半；

因为四边形MENF是正方形，所以∠BMC=90°

由

（2）知MN是梯形的高，因为N是中点，所以MN=

BC．

在

（2）的解答过程中，易只判断出是平行四边形的情况，出现说理不彻底不全面的错误，这也是解此类题的难点．

3．解：

（1）没有错误；

（2）第⑧步不是多余的，因为如果没有第⑧步就不符合梯形的定义；

（3）不一定，因为当AD=BC时，四边形ABCD是矩形．

做这种阅读材料的题时，一定要耐心，仔细地一步步读题．