大学物理上册作业详细答案Word下载.docx
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(1)1s~1.1s,1s~1.01s,1s~1.00001s各时间间隔的平均速度;
(2)当t=1s时的速度;
(3)通过上述计算,如何领会瞬时速度和平均速度的关系与区别?
(4)求t=1s时的加速度,并分析该质点的运动情况;
(5)本题能不能用来计算平均速度?
为什么?
[分析与解答]:
(1)按平均速度的定义,因此,欲求,必须求出。
为此,
设时刻①
时刻②
两式相减,得③
故平均速度为④
则各时间间隔内的平均速度分别为
(负号表示沿-j方向)
(2)由题意,,故由时的速度为
(方向沿方向)
或
(3)通过以上计算,可知平均速度与时间间隔有关,不同的时间段内的平均速度是不同的,但当时间间隔越小时,平均速度就越趋近于瞬时速度。
(4)同理可求出时的加速度为
由加速度和速度表达式可知:
加速度是恒为负常数,在的情况下,速度值也恒为负值,且时,因此该质点从处由静止开始沿轴负方向作匀加速直线运动。
(5)平均速度只适用于匀变速直线运动(即为常数),若不等于常数,就不能用此式来计算平均速度了。
2.11一质点在xOy平面上运动,运动方程为x=5t+3,,式中t以s计,x、y以m计。
(1)以时间t为变量,写出质点位置矢量的表示式;
(2)描画质点的运动轨迹;
(3)求出t=1s时刻和t=2s时刻的位置矢量和这段时间内质点的位移;
(4)求出质点速度的分量表示式,计算t=4s时质点速度的大小和方向;
(5)求出质点加速度的分量表示式,计算t=4s时质点加速度的大小和方向。
[分析与解答]
(1)m
(2)轨迹方程为
(3)m;
m;
m的
(4)
则t=4s时,
(5)
则t=4s时,(沿y轴正方向)
2.16一张CD光盘音轨区域的内半径=2.2cm,外半径为=5.6cm,径向音轨密度为n=650条/mm。
在CD唱机内,光盘每转一圈,激光头沿径向向外移动(扫描)一条音轨,激光束相对于光盘是以v=1.3m/s的恒定速率运动的。
试问:
(1)这张光盘的全部放音时间是多少?
(2)当激光束到达离盘心r=5cm处时,光盘转动的角速度和角加速度各是多少?
[分析与解答]
(1)光盘上的音轨是一条间距很小的螺旋线(即阿基米德螺线)。
为此,求其总长度时,可先求距光盘中心为r,宽度为dr内的音轨长度dl,即
激光束扫过dl所需时间dt为
故光盘的全部放音时间t为
(2)由得r=5.0cm处的为
2.18一水手在静水中能以v=1.10m/s的速度划船前进。
今欲横渡一条宽为1000m,水流速度u=0.55m/s的长江河段。
(1)他若要从出发点A横渡,并到达正对岸的B点,他应如何确定划行方向?
到达正对岸需要多少时间?
(2)在划速不变的情况下,如果希望用最短的时间过江,他应如何确定划行方向?
船到达对岸的位置在何处?
[分析与解答]
(1)根据题设条件,选船为研究对象(物),岸为静止参考系S,水为动参考系.船对岸的绝对速度船为,水对岸的牵连速度为u,则船对水的相对速度应满足
要使船能到达正对岸的B点,则必须使的方向垂直于对岸(即沿A-B的方向),于是,船的滑行方向就必须沿与V成角的方向才行。
即
船到达B点所需的时间为
(2)要使船过江所用的时间最短,在划速V不变的情况下,必须使有最大值。
显然,此时。
则船过江的最短时间为
设船到达下游的C点,则m
2.23已知质点在xOy平面上的运动方程为,试求:
(1)质点的运动轨迹;
(2)t时刻的速度v;
(3)t时刻的加速度a。
[分析与解答]
(1)已知
则,质点的运动轨迹为半径R=1的圆周。
2.24质点沿x轴正向运动,加速度与速度成正比,且方向相反,即a=-kv,k为常量,设t=0时,,试求:
(1)质点的速度v(t),并加以讨论;
(2)质点的运动方程x(t)。
[分析与解答]
(1)质点作直线运动时
得
积分并代入上、下限后得
整理得
由上式可知:
速度v随时间t按指数规律衰减,即质点沿x轴正向作变减速运动。
(2)由
积分并整理得
由上式可知,质点运动的最远位置为
2.25质点在x方向运动,已知速度v=8+(SI),当t=8s时,质点在原点左边52m处。
(1)质点的加速度和运动方程;
(2)初速度和初位置;
(3)分析质点的运动性质。
[分析与解答]
(1)加速度
由
得
积分得
运动方程为
(2)当t=0时,
(3)在t>
0时,故质点从原点左侧628m处,以初速度,沿x轴正方向(向右)作变加速运动。
练习3牛顿运动定律
3.10在一只半径为R的半球形碗内,有一粒质量为m的小钢球,沿碗的内壁作匀速圆周运动。
当小钢球的角速度为ω时,它距碗底的高度h为多少?
[分析与解答]取小球为隔离体,受重力和支承力(如图?
?
)。
其中,沿x轴方向的分力提供小球作圆周运动的向心力。
有
①
②
且③
解得
可见,h随ω的增大而增大。
3.13质量为m的物体在黏性介质中由静止开始下落,介质阻力与速度成正比,即=βv,β为常量。
试
(1)写出物体的牛顿运动方程。
(2)求速度随时间的变化关系。
(3)其最大下落速度为多少?
(4)分析物体全程的运动情况。
[分析与解答]
(1)物体受向下的重力mg和向上的阻力F,则牛顿运动方程为
分离变量并积分
得-
整理后得
(3)当时,有最大下落速度
(4)由
有
物体由静止开始向下作加速运动,并逐渐趋近于最大速度为,此后趋于做匀速运动,物体在任意时刻开起点的距离由上式表示。
3.15质量为m的小球从点A由静止出发,沿半径为r的光滑圆轨道运动到点C(见图),求此时小球的角速度和小球对圆轨道的作用力。
[分析与解答]取小球为隔离体,受力情况如图。
取自然坐标系,由牛顿运动定律分别列出切向和法向运动方程为
-①
由于,代入式①并分离变量后积分
得③
则小球在c点的角速度为
将式③代入式②,得
其反作用力即为小球对轨道的作用力。
3.16如图所示,在密度为的液体上方有一悬挂的长为L,密度为的均匀直棒,棒的下方恰与液面接触。
今剪断挂线,棒在重力P和浮力F作用下竖直下沉,若>
求棒下落过程中的最大速度。
[分析与解答]按题设条件,剪断细线后,杆在下沉过程只受重力和浮力的作用(不计液体的黏滞阻力),随着杆往下沉,浮力逐渐增大,当重力和浮力相等时,杆下沉的加速度a=0,此时速度最大。
取x坐标向下如图,根据牛顿第二定律,有
①
式中,,浮力,故式①可写成
对式②分离变量并积分,有
得③
设杆的速度最大时,杆进入液体的长度为x=l,则式③中的v即为最大速度。
此时mg=F,即
得④
将式④代入式③,得杆的最大速度为
练习4守恒定律
4.4高空作业时系安全带是非常必要的,假如一质量为51.0kg的人,在操作时不慎从高空竖直跌落下来,由于安全带的保护,最终使他被悬挂起来。
知此时人离原处的距离为2.0m,安全带弹性缓冲作用时间为0.50s。
求安全带对人的平均冲力。
[分析与解答]可以对全过程和冲撞过程利用动量定理求解。
安全带对人的平均冲力为,重力为。
(1)对全过程和冲撞过程利用动量定理
安全带对人的平均冲力为,作用时间为;
重力为,作用时间为。
由动量定理,得
(2)对冲撞过程利用动量定理
冲撞前人的下落速度为
m/s,由动量定理,得
4.10如图所示,一根细绳跨过一质量可忽略且轴为光滑的定滑轮,两端分别拴有质量为m和M的物体A,B,且M稍大于m。
物体B静止在地面上,当物体A自由下落h距离后,绳子才被拉紧。
求绳子刚被拉紧时,两物体的速度及B能上升的最大高度。
质点的动量矩定理、动量矩守恒定律
[分析与解答]把整个过程分成三个阶段来处理。
第一阶段物体A自由下落。
物体A自由下落h距离时,正好拉紧绳子,此时物体A的速度为,方向向下。
第二阶段,绳子被拉紧,物体A和物体B同时受到绳子的冲力作用。
经过极短时间△t后,以共同的速度V运动,此时,物体的受力情况如图(B)所示。
如取竖直方向为正方向,则物体Ad的速度由-v增为-V,物体B的速度由0增为V。
根据动量原理得:
②题4.10图
由于作用时间极短,绳子冲力的冲量远大于重力的冲量,故式①,式②可简化为
因,解得:
第三阶段,绳子拉紧后,物体A向下运动,B向上运动,但由于M>
m,A和B都作减速运动,故有Mg-T=Ma,T-mg=ma求得
物体B以速度V上升,其加速度与速度方向相反。
设最后B上升的高度为H,则有故
4.14我国第1颗人造卫星—东方红1号沿椭圆轨道绕地球飞行,近地点439km,远地点2384km,已知在近地点的速度v1=8.1km/s,试求卫星在远地点的速度v2。
[分析与解答]
(1)求:
如图所示,地球的中心点O位于椭圆轨道的一个焦点上。
设卫星运动时仅受地球引力的作用,由于该引力总指向O点,故卫星在运动的全过程中对O点的动量矩守恒。
即:
由于两者的方向一致,式①可直接用大小来表示,
有:
4.18一倔强系数为K的轻弹簧,竖直放置,下端悬一质量为m的小球。
先使弹簧为原长,而小球恰好与地接触。
再将弹簧上端缓慢地提起,直到小球刚能脱离地面为止。
求在此过程中外力所作的功。
解答:
先建立坐标系,弹簧为原长处为坐标零点,向上为正,
外力
小球刚能脱离地面时,弹簧伸长x,有
则
外力所作的功为:
4.20求解下列各题:
(1)质量为m的物体自静止出发沿x轴运动,设所受外力为Fx=bt,b为常量,求在时间T(s)内此力所做的功。
(2)物体在外力Fx=5+10x(SI)作用下,由x=0沿x轴方向运动到x=3m处,求外力所做的功。
(3)一物体在介质中的运动方程为x=ct3,c为常量。
设介质对物体的阻力正比于速度的二次方,即。
试求物体由x0=0运动到x=时,阻力所做的功。
[分析与解答]
(1)由加速度
得:
由动能定理
由于v0=0,得
(2)有变力做功的计算方法,有
(3)按题意,阻力欲求功,必须把它变换为f(x)。
为此,有得,又由,
故:
则阻力做功为==-
4.29如图所示,质量为m,速度为v的钢球,射向质量为m′置于光滑水平面上的靶,靶中心有一小孔,内有劲度系数为k的弹簧。
此靶最初处于静止状态,求钢球射入靶内弹簧后,弹簧被压缩的最大x。
[分析与解答]建立如图所示的x坐标,这是一个沿x方向的一维碰撞问题。
碰撞的全过程是指小球刚与弹簧接触,直至弹簧被压缩到最大,小球与靶刚好共同达到共同速度为止的运动过程。
在这过程中,小球和靶组成的系统在x方向不受外力作用,因此,在此方向上动量守恒。
即
式中,为小球与靶碰后的共同速度。
在此过程中,除了弹性力(保守内力)做功以外,没有其他外力和非保守力做功。
故系统的机械能守恒,取弹簧原长时的O点为弹性势能零点,则有
解式①,式②得
4.30如图所示,在光滑的斜面上置一弹簧振子,弹簧原长为l0,劲度系数为k,小球的质量为m。
沿斜面方向取x坐标,并取小球的平衡位置O为坐标原点,当小球坐标为x时。
(1)小球沿x方向所受的合外力;
(2)系统的势能。
[分析与解答]小球处于平衡位置O点时,弹簧已伸长了,可知:
(1)当小球坐标为X值时,在斜面方向上有重力的分力和弹性力,并考虑到式①,可得它们的合力为
(2)取O点为弹性势能与重力势能零点,则小球坐标为x时,系统的弹性势能
为
其重力势能为
故系统的势能为
题4.30图题4.31图
4.31如图所示,弹簧下面悬挂着质量分别为m1,m2的两个物体A和B,设弹簧的劲度系数k=8.9N/m,m1=0.5kg,m2=0.3kg。
开始时它们都处于静止状态。
若突然把A,B之间的连线剪断,求物体A的最大速度是多少?
[分析与解答]在A,B连线被剪断前,系统在位置处于平衡(如图b),此时弹簧伸长,则
在A,B连线剪断后,弹簧下端只挂了物体A,系统将在位置处于平衡,则有即
根据运动分析,连线剪断后,物体A将以为平衡位置上下来回振动,可见物体A通过位置时,具有最大速率。
由于在运动中物体A与弹簧组成的系统只受弹性力和重力的作用,故机械能守恒,取O点(即弹簧原长处)为重力势能和弹性势能的零点,对A位于及处两状态时总机械能相等,则有
解得
4.32在劲度系数为k的轻弹簧两端各固定一质量均为m′的木块A和B,置于光滑水平台面上,并保持静止(如图)。
今有一颗质量为m、速度为v0的子弹,沿弹簧的轴线方向射入木块A内并一起运动。
试求此后弹簧的最大压缩长度为多少?
[分析与解答]可分为两个运动过程。
第一过程:
子弹射入木块A内并一起运动,由于作用时间极短,可视为完全非弹性碰撞过程。
取A与子弹为系统,并设两者碰后的共同速度为V,根据动量守恒定律,有
第二过程:
A与子弹一起以速度V运动,压缩弹簧并推动B也开始运动。
当A与B达到相同速度时,弹簧将达到最大压缩长度。
取A,B与子弹为系统,三者的共同速度为u,系统仍满足动量守恒定律,有
同时,在此过程中,系统的机械能守恒,即
③
求解联立方程①,②,③可得
题4.32图题4.33图
4.33如图所示,在光滑的水平面上,有一轻质弹簧,其劲度系数为k,它的一端题固定,另一端系一质量为m1的滑块,最初滑块静止,弹簧呈自然长度l0,今有一质量为m2的子弹以速度v0沿水平方向并垂直于弹簧轴线射向滑块且留在其中,滑块在水平面内滑动,当弹簧被拉伸至长度为l时,求滑块速度的大小和方向。
[分析与解答]子弹射入滑块,可看作完全非弹性碰撞过程,取子弹与滑块为一系统,由动量守恒,有
式中,为碰撞后系统的共同速度。
子弹与滑块碰后以共同速度运动,由于弹簧不断伸长,系统在弹性力(法向力)作用下沿弧线运动。
在此过程中,系统的动量守恒,即②
式中,是滑块到达B点的速度。
取子弹,滑块和弹簧为系统,由机械能守恒,有
③
联立解式①,式②,式③,得速度的大小和方向分别为
练习5刚体的定轴转动
5.8如图所示,长为l的均质细杆左端与墙用铰链A连接,右端用一铅直细绳B悬挂,杆处于水平静止状态,若绳B被突然烧断,则杆右端的加速度为多少?
[分析与解答]烧断绳时,杆将在重力矩的作用下,绕A轴转动。
由转动定律有
则右端的加速度为。
5.10一细绳绕在半径为r的定滑轮边缘,滑轮对转轴O的转动惯量为I,滑轮与轴承间的摩擦不计,今用恒力F拉绳的下端(见图(a))或悬挂一重量P=F的物体(见图(b)),使滑轮自静止开始转动。
分别求滑轮在这两种情况下的角加速度。
[分析与解答]如图(a)情况下,绳子的张力。
按转动定律有
故
在图(b)情况下,有
解得
5.11一个组合轮轴由两个同轴的圆柱体固结而成,可绕光滑的水平对称轴OO′转动。
设大小圆柱体的半径分别为R和r,质量分别为M和m,绕在两圆柱体的上细绳分别与质量为m1和m2(m1>
m2)的物体A、B相连(如图)。
(1)两物体的加速度;
(2)绳子的张力;
(3)轮轴的角加速度。
[分析与解答]分别对物体A,B和轮轴作受力分析(见图b),根据牛顿运动定律和转动定律,有
对A:
对B:
②
对轮轴:
I=④
⑤
⑥
解式①~⑥方程组得
,
5.12两皮带轮A和B,质量和半径分别为mA、RA和mB、RB,并都视为均质圆盘。
轮A用电动机拖动,并施以力矩M,轮B上有负载力矩M’如图所示。
皮带与轮间无滑动,且不计皮带质量和轴的摩擦,
(1)两轮的角加速度βA和βB;
(2)若将同一力矩M作用在B轮上,A轮的负载力矩为M’,再求两轮的角加速度βA’和βB’。
[分析与解答]
(1)A,B两轮的受力情况如图(b)所示,分别绕各自的轴转动,由转动定律有
由于皮带和轮间不打滑,故两轮与轮缘各点的
线速度和切向加速度应相等,故有:
题5.12图
④
联立求解式①,式②,式③,式④,并考虑到,得:
(2)按题意,两轮受力情况如图(c)所示,则转动方程有
⑤
且⑦
联立式⑤,式⑥,式⑦,解得
5.16如图所示,有一半径为R的水平圆转台,可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动,转动惯量为I,开始时转台以匀角速度ω0转动,此时有一质量为m的人站在转台中心,随后人沿半径向外跑去,当人到达转台边缘时转台的角速度为多少?
[分析与解答]取人和转台为研究对象,在人从中心走向边缘的过程中,系统所受合外力矩为零,则系统的动量矩守恒。
5.17在杂技节目跷板中,演员甲从h高的跳台上自由下落到跷板的一端A,并把跷板另一端的演员乙弹了起来。
设跷板是匀质的,长度为l,质量为m′,支撑点在板的中部C点,跷板可绕点C在竖直平面内转动(如图)。
演员甲、乙的质量均为m。
假定演员甲落到跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞。
(1)碰后跷板的角速度ω(也是甲、乙的角速度);
(2)演员乙被弹起的高度h′。
[分析与解答]
(1)甲由h高处自由下落,至与板碰撞前的速度为
碰撞前后,取甲,乙和板为系统,满足动量矩守恒条件,即
(2)碰后,乙被向上弹起的初速度为
则乙被弹起的高度可由求出
5.18在一项微型技术中,用一根质量很小、长度为l的均匀细杆作为微型机器人的输送通道,细杆可绕通过其中心点O并与纸面垂直的轴转动(如图),当杆静止于水平位置时,微型机器人以速率v0垂直落在距O点为1l/4处,并向细杆端点A运动。
设杆与机器人的质量均为m。
(1)机器人刚落到杆上时,细杆的角速度ω;
(2)欲使细杆以此恒定的角速度转动,求微型机器人向A端运动的速率随时间变化的规律。
(1)取机器人与杆为系统,机器人落到杆上前后,满足动量矩守恒的条件。
(2)设机器人运动到P点,OP=r,此时对杆和机器人系统而言,只受到地球对机器人的重力矩作用,即
此时系统对O轴的转动惯量为
根据动量矩定理,并考虑保持不变,有
即
以代入,得
5.20如图所示,一长为l=0.40m,质量为M=1kg的均质杆,铅直悬挂。
当质量为m=8×
10-3kg的子弹以水平速度v=200m·
s-1,在距转轴O为3l/4处射入杆内时,此杆的角速度和最大摆角。
[分析与解答]求解此题可按两个过程分别处理:
(1)由子弹射入杆到两者一起开始摆动。
此过程可视为完全非弹性碰撞过程。
取子弹和杆为系统,满足动量矩守恒,有①
由式①可求得子弹与杆开始一起摆动时的角速度
(2)由系统开始摆动到摆至最大α角。
此过程中,由子弹,杆和地球构成的系统满足机械能守恒的条件,取杆直悬时的质心位置C为重力势能零点,则
由②式可求得最大摆角为
5.21质量为m’,半径为R的圆盘,可绕一垂直通过盘心的光滑水平轴转动,盘上绕有轻绳,一端悬挂质量为m的物体(如图)。
(1)物体由静止下落高度h时,其速度v的大小是多少?
(2)若物体自由下落h高,其速度v’为多少?
说明两种速度有差异的原因。
(1)物体受重力和绳子张力,有①
滑轮变张力矩,有②
③
联立①②③解得
(2)由自由落体规律
练习6静电场
6.7水平放置的均匀带电细棒,长为l,电荷为q。
试求其自身延长线上离棒中心为r处一点的电场强度E。
[分析与解答]取dx,其上带电荷
dq在p点激发的电场强度dE为
则整个细杆所带电荷在p点的电场强度E为
6.7
(2)电荷元d=d=d,2分
在棒的垂直平分线上,d=,方向如图。
2分
由对称性分析:
d=2dsinsin2分
=2分
6.9由题意:
两平板相距很近,故两平板都可视为无限大带电平板。
(1)求无限大带电平板的场
由均匀带电圆环在轴线上一点的场:
将平面视为许多同心的半径为从0→的细圆环组成,取任一个以为中心,半径在
之间的细圆环为点电荷元,d2分
2分
故整个带电平面在点的场为:
2)B板受力大小:
3)同上可讨论A板受力。
6.11如图所示,OCD是以B为圆心、R为半径的半圆,AB=2R,A处有-Q,B处有+Q,现引进试验电荷±
q。
请填空并回答问题。
(1)+q在点O时系统的电势能W0=,在点D时系统的电势能
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