志鸿优化设计届高考数学一轮复习 考点规范练15Word文件下载.docx
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9.横梁的强度和它的矩形横断面的宽与高的平方的乘积成正比,要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁,求横断面的高和宽分别是多少.
10.已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求
m的取值范围.
11.(2014湖南,文9)若0<
x1<
x2<
1,则( )
A.>
lnx2-lnx1B.<
lnx2-lnx1
C.x2>
x1D.x2<
x1
12.
已知a,b为正实数,函数f(x)=ax3+bx+2x在[0,1]上的最大值为4,则f(x)在[-1,0]上的最小值为( )
A.-B.C.-3D.3
13.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在定义域x∈[-2,2]上表示的曲线过原点,且在x=±
1处的切线斜率均为-1.有以下命题:
①f(x)是奇函数;
②若f(x)在[s,t]内递减,则|t-s|的最大值为4;
③若f(x)的最大值为M,最小值为m,则M+m=0;
④若对∀x∈[-2,2],k≤f'
(x)恒成立,则k的最大值为2.其中正确命题的序号是 .
14.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(单位:
L)关于行驶速度x(单位:
km/h)的函数解析式可以表示为y=x3-x+8(0<
x≤120).已知甲、乙两地相距100km.
(1)当汽车以40km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地的耗油量最少?
最少为多少升?
15.已知函数f(x)=xlnx.
(1)求函数f(x)在[1,3]上的最小值;
(2)若存在x∈(e为自然对数的底数,且e=2.71828…)使不等式2f(x)≥-x2+ax-3成立,求实数a的取值范围.
##
1.D 解析:
因为f(x)=ex-x,所以f'
(x)=ex-1.令f'
(x)=0,得x=0.
当x>
0时,f'
(x)=ex-1>
0;
当x<
(x)=ex-1<
0,即函数在x=0处取得极小值,f(0)=1.又f(-1)=+1,f
(1)=e-1,综合比较得,函数f(x)=ex-x在区间[-1,1]上的最大值是e
-1.故选D.
2.C 解析:
由y=f'
(x)的图象易知当x<
0或x>
2时,f'
(x)>
0,故函数y=f(x)在区间(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增;
当0<
x<
0,故函数
y=f(x)在区间(0,2)上单调递减.
3.D 解析:
记g(x)=f(x)-3
x+15,
则g'
(x)=f'
(x)-3<
0,
可知g(x)在R上为减函数.
又g(4)=f(4)-3×
4+15=0,
则f(x)<
3x-15可化为f(x)-3x+15<
即g(x)<
g(4),结合其函数单调递减,故得x>
4.
4.D 解析:
由题意,设|MN|=F(t)=t2-lnt(t>
0),令F'
(t)=2t-=0,得t=或t=-(舍去).易知F(t)在上单调递减,在上单调递增,故t=时,F(t)=t2-lnt(t>
0)取得极小值,也为最小值,即|MN|达到最小,故选D.
5.D 解析:
由题意得,总成本函数为C=C(x)=20000+100x,
总利润P(x)=
又P'
(x)=
令P'
(x)=0,得x=300,易知x=300时,总利润P(x)最大.
6.A 解析:
令g(x)=x3-3x,x∈[0,2],则g'
(x)=3x2-3,令g'
(x)=0,得x=1,
1时,g'
当1<
2时,g'
0,所以g(x)在x=1处取得极小值,也是最小值,此时g
(1)=1-3=-2.又因为g(0)=0,g
(2)=8-6=2,所以g(x)的最大值为2.所以g(x)的值域为[-2,2],故选A.
7.f(-3)<
f
(2)<
f 解析:
由f(-x)=f(x)知,函数f(x)为偶函数,因此f(-3)=f(3).
又f'
(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx,当x∈时,f'
x∈时,f'
∴f(x)在区间上是减函数,
∴f>
f
(2)>
f(3)=f(-3).
8.32 解析:
令f'
(x)=3x2-12=0,
得x=-2或x=2.
列表得:
x
-3
(-3,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,3)
3
f'
(x)
+
-
f(x)
17
单调递
增↗
极大
值24
减↘
极小
值-8
-1
可知M=24,m=-8,
∴M-m=32.
9.解:
如图所示,设矩形横断面的宽为x,高为y
.
由题意知:
当xy2取最大值时,横梁的强度最大.
∵y2=d2-x2,
∴xy2=x(d2-x2)(0<
d).
令f(x)=x(d2-x2)(0<
d),
则f'
(x)=d2-3x2.
(x)=0,
解得x=d或x=-d(舍去).
d时,f'
当d<
因此,当x=d时,f(x
)取得极大值,也是最大值.
此时y=d.
综上,当矩形横断面的高为d,宽为d时,横梁的强度最大.
10.解:
(1)f'
(x)=3x2-3a=3(x2-a),
当a<
0时,对x∈R,有f'
∴当a<
0时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞).
当a>
0时,由f'
0,解得x<
-或x>
由f'
0,解得-<
∴当a>
0时,f(x)的单调增区间为(-∞,-),(,+∞),单调减区间为(-).
(2)∵f(x)在x=-1处取得极值,
∴f'
(-1)=3×
(-1)2-3a=0,
∴a=1.
∴f(x)=x3-3x-1,
(x)=3x2-3.
(x)=0,解得x1=-1,x2=1.
由
(1)中f(x)的单调性可知,
f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,在x
=1处取得极小值f
(1)=-3.
∵直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,
结合如图所示f(x)的图象可知:
实数m的取值范围是(-3,1).
11.C 解析:
设f(x)=ex-lnx,则f'
(x)=.当x>
0且x趋近于0时,x·
ex-1<
当x=1时,x·
ex-1>
0,因此在(0,1)上必然存在x1≠x2,使得f(x1)=f(x2),因此A,B不正确;
设g(x)=,当0<
(x)=<
0,所以g(x)在(0,1)上为减函数.
所以g(x1)>
g(x2),即,所以x2>
x1.故选C.
12.A 解析:
∵f(x)=ax3+bx+2x,
(x
)=3ax2+b+2xln2
∵a,b为正实数,
∴函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,在区间[-1,0]上也单调递增,
即f
(1)=a·
13+b·
1+21=4,
∴a+b=2.
∴f(-1)=a·
(-1)3+b·
(-1)+2-1=-a-b+=-2+=-.
故函数f(x)在[-1,0]上的最小值为-.
13.①③ 解析:
由题意得函数f(x)过原点,则c=0.又f'
(x)=3x2
+2ax+b.
则必有
解得
所以f(x)=x3-4x.
(x)=3x2-4=0得x=±
则函数f(x)在[-2,2]上的最小值是负数.
由此得函数f(x)图象大致如图,
故①③正确;
②④错误.
14.解:
(1)当x=40时,汽车从甲地到乙地行驶了=2.5(h),
要耗油
×
2.5=17.5(L).
(2)当速度为xkm/h时,汽车从甲地到乙地行驶了h,
设耗油量为h(x)L,
依题意得h(x)=
=x2+(0<
x≤120),
h'
(x)=(0<
x≤120).
令h'
(x)=0得x=80.
当x∈(0,80)时,h'
0,h(x)是减函数;
当x∈(80,120)时,h'
h(x)是增函数.
所以当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25.
因为h(x)在(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值.
答:
当汽车以80km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地的耗油量最少为11.25L.
15.解:
(1)由f(x)=xlnx,
可得f'
(x)=lnx+1.
当x∈时,f'
0,f(x)单调递减;
0,f(x)单调递增.
所以函数f(x)在[1,3]上单调递增.
又f
(1)=ln1=0,
所以函数f(x)在[1,3]上的最小值为0.
(2)由题意知,2xlnx≥-x2+ax-3,则a≤2lnx+x+.
若存在x∈使不等式2f(x)≥-x2+ax-3成立,
只需a小于或等于2lnx+x+的最大值.
设h(x)=2lnx+x+(x>
0),则h'
(x)=+1-.
当x∈时,h'
0,h(x)单调递减;
当x∈(1,e]时,h'
0,h(x)单调递增.
由h
=-2++3e,h(e)=2+e+,h-h(e)
=2e--4>
可得h>
h(e).
所以,当x∈时,h(x)的最大值为h=-2++3e.
故a≤-2++3e.
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