届高三数学上学期期中试题Word格式.docx
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本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
在△ABc中,角A,B,c的对边分别为a,b,c,且sin2cc=sinBb.
(1)求角c的值;
(2)若sin(B-π3)=35,求cosA的值.
16.(本小题满分14分)
已知k∈R,函数f(x)=x2+(1-k)x+2-k.
(1)解关于x的不等式f(x)<2;
(2)对任意x∈(-1,2),f(x)≥1恒成立,求实数k的取值范围.
17.(本小题满分14分)
(文)如图,已知点A(1,1),B(-1,1),过点A作直线l,使得直线l与y轴正半轴交于点c,与射线Bo交于点D.
(1)若直线l的斜率为-3,
①求oA→•Bc→的值;
②若oD→=λoA→+μoc→,求实数λ-μ的值;
(2)求△ocD面积的最小值及此时直线l的方程.
(理)已知函数f(x)=logax+log4x(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上为增函数.
(1)求实数a的取值范围;
(2)当a=4时,是否存在正实数,n(<n),使得函数f(x)的定义域为[,n],值域为2,n2?
如果存在,求出所有的,n;
如果不存在,请说明理由.
18.(本小题满分16分)
如图,郊外有一边长为200的菱形池塘ABcD,塘边AB与AD的夹角为60°
.拟架设三条网隔BE,BF,EF,把池塘分成几个不同区域,其中网隔BE与BF相互垂直,E,F两点分别在塘边AD和Dc上,区域BEF为荷花种植区域.记∠ABE=θ,荷花种植区域的面积为S2.
(1)求S关于θ的函数关系式;
(2)求S的最小值.
19.(本小题满分16分)
(文)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n,n∈N*,记bn=an+3.
(1)求证:
数列{bn}为等比数列;
(2)设数列{b2n}的前n项和为Tn,求证:
S2n+6nTn为定值;
(3)判断数列{2n-an}中是否存在三项成等差数列,并说明你的结论.
(1)若函数f(x)为奇函数,求实数a的值;
(2)若对任意的a∈[-1,1],不等式f(x)<在x∈[-1,1]恒成立,求实数的取值范围;
(3)若f(x)在x=x0处取得极小值,且x0∈(0,3),求实数a的取值范围.
20.(本小题满分16分)
已知函数f(x)=ex,g(x)=x2,∈R,e为自然对数的底数.
(1)如果函数h(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上单调递增,求的取值范围;
(2)若直线y=kx+1是函数y=f(x)图象的一条切线,求实数k的值;
(3)设x1,x2∈R,且x1<x2,求证:
f(x1)+f(x2)2>f(x2)-f(x1)x2-x1.
数学附加题
(满分40分,考试时间30分钟)
21.(本小题满分10分)
求曲线y=ln(x2-2x)在x=3处的切线方程.
22.(本小题满分10分)
已知n为自然数,当n≥4时,用数学归纳法证明:
2n>n2+3n+22.
23.(本小题满分10分)
已知,n是正整数,f(x)=(1+x)+(1+2x)n.
(1)当=2018,n=2019时,试求f(x)展开式中x的偶次幂项的系数之和;
(2)若f(x)的展开式中x的系数为11,试求x2的系数取最小值时n的值.
24.(本小题满分10分)
高三年级成立语文、数学、英语兴趣小组,学生是否参加哪个兴趣小组互不影响.已知某同学只参加语文兴趣小组的概率为0.08,只参加语文和数学兴趣小组的概率为0.12,至少参加一个兴趣小组的概率为0.88.若该学生参加的兴趣小组数为a,没有参加的兴趣小组数为b,记ξ=2a-b.
(1)求该同学参加数学兴趣小组的概率;
(2)求ξ的分布列和数学期望.
2018秋高三期中考试试卷
(一)(镇江)
数学参考答案及评分标准
1.{2} 2.∃x>0,x2<0 3.2 4.(-∞,1)∪(3,+∞) 5.(文)22 (理)62
6.(文)4x-3y+2=0 (理)310 7.(文)[12,+∞) (理)e 8.(文)π4 (理)[12,+∞)
9.(文)-32 (理)3π8 10.-22 11.92 12.(0,1100)∪(100,+∞) 13.78 14.<-3
15.解:
(1)在△ABc中,因为sin2cc=sinBb,由bsinB=csinc得(1分)
2sinccoscsinc=sinBsinB,(2分)
所以cosc=12.(4分)
又c∈(0,π),(5分)
所以c=π3.(6分)
(2)因为c=π3,B∈(0,2π3),B-π3∈(-π3,π3),则cos(B-π3)>0.(8分)
又sin(B-π3)=35,则cos(B-π3)=1-sin2(B-π3)=1-(35)2=45.(10分)
又A+B=2π3,即A=2π3-B,
所以cosA=cos(2π3-B)=cosπ3-(B-π3)(12分)
=cosπ3•cos(B-π3)+sinπ3•sin(B-π3)=12×
45+32×
35=4+3310.(14分)
16.解:
(1)由f(x)<2得不等式可变形为(x-k)(x+1)<0,(1分)
①若k=-1,则(x+1)2<0,解集为∅;
(3分)
②若k>-1,解集为(-1,k);
(5分)
③若k<-1,解集为(k,-1).(7分)
(2)由对任意x∈(-1,2),f(x)≥1恒成立,即x2+(1-k)x+1-k≥0恒成立,
即x2+x+1≥k(x+1),对任意x∈(-1,2)恒成立,(8分)
k≤(x+1)2-(x+1)+1x+1=(x+1)+1x+1-1.(10分)
因为(x+1)+1x+1-1≥2(x+1)•1x+1-1=2-1=1.(12分)
当x+1=1x+1,即x=0∈(-1,2)时,(13分)
(x+1)+1x+1-1in=1,故实数k的取值范围是(-∞,1].(14分)
17.(文)解:
(1)因为直线l过A(1,1),且斜率为-3,
所以直线l:
y-1=-3(x-1),即y=-3x+4.(1分)
令x=0得c(0,4);
令y=-x得D(2,-2).(2分)
①因为oA→=(1,1),Bc→=(1,3),所以oA→•Bc→=1×
1+1×
3=4.(4分)
②因为oD→=λoA→+μoc→,则(2,2)=λ(1,1)+μ(0,4),(5分)
即2=λ,-2=λ+4μ,则λ=2,μ=-1,(6分)
所以λ-μ=3.(7分)
(2)由图中两直线相交位置可得,直线l的斜率k存在,且k<-1,(8分)
设直线l:
y-1=k(x-1).
令x=0得c(0,1-k);
令y=-x得D(k-1k+1,1-kk+1).(9分)
则S△ocD=12oc•|xD|=12•(1-k)2-1-k(10分)
=12(-k-1)+4-k-1+4≥122(-k-1)•4(-k-1)+4=4,(13分)
当且仅当-k-1=4-k-1,即k=-3∈(-∞,-1)时,(S△ocD)in=4.
此时直线l:
y=-3x+4.(14分)
(理)解:
(1)(解法1)因为f(x)在(0,+∞)上为增函数,
则f′(x)=1xlna+1xln4=1x(1lna+1ln4)≥0在(0,+∞)上恒成立.(2分)
则1lna+1ln4≥0,ln4alna•ln4≤0,解得a>1或0<a≤14.(4分)
又当a=14时,f(x)=0为常数函数,不合题意.(5分)
所以a>1或0<a<14.(6分)
(解法2)因为f(x)=logax+log4x=log4xlog4a+log4x=log4x(1log4a+1),(2分)
又f(x)在(0,+∞)上为增函数,则1log4a+1>0,即1+log4alog4a>0,
所以log4a<-1或log4a>0,(4分)
即a>1或0<a<14.(6分)
(2)当a=4时,f(x)=2log4x在(0,+∞)上为增函数.(7分)
因为函数f(x)在定义域为[,n],值域为2,n2,
则有f()=2log4=2,f(n)=2log4n=n2,
所以,n为方程log2x=x2在(0,+∞)上的两个不等的实数解.(9分)
显然=2,n=4符合方程.(11分)
令h(x)=log2x-x2,由h′(x)=1xln2-12=2-xln22xln2=0,得x=2ln2.(12分)
当x∈(0,2ln2)时,h′(x)>0,h(x)为增函数,在(0,2ln2)上至多有一个零点;
当x∈(2ln2,+∞)时,h′(x)<0,h(x)为减函数,在(2ln2,+∞)上至多有一个零点.
所以h(x)=log2x-x2至多只有两个实数解.(13分)
故存在唯一正实数=2,n=4符合题意.(14分)
18.解:
(1)在△ABE中,∠ABE=θ,∠A=π3,则∠AEB=2π3-θ.
由ABsin∠AEB=BEsinA,得BE=1003sin(2π3-θ).(2分)
在△BcF中∠c=π3,∠cBF=π6-θ,则∠BcF=π2+θ.
同理可得,BF=1003cosθ.(4分)
则S=12BE•BF=15000cosθsin(2π3-θ).(7分)
(2)设f(θ)=cosθ•sin(2π3-θ)=cosθ•(sin2π3cosθ-cos2π3sinθ)
=32cos2θ+12sinθcosθ=32•1+cos2θ2+14sin2θ=34+12sin(2θ+π3).(11分)
因为π2+θ<2π3,所以θ∈(0,π6).(12分)
则当θ=π12时,f(θ)ax=2+34,则Sin=150002+34=60000(2-3).(14分)
答:
(1)函数关系式为S=3000032+sin(2θ+π3);
(2)当θ=π12时,面积S的最小值为60000(2-3)2.(16分)
19.(文)
(1)证明:
因为Sn=2an-3n ①,当n=1时,a1=2a1-3,则a1=3.
当n≥2时,有Sn-1=2an-1-3(n-1) ②,
①-②得an=2an-2an-1-3n+3(n-1),即an=2an-1+3,(2分)
则an+3=2(an-1+3),即bn=2bn-1,又b1=a1+3=6≠0,(3分)
所以数列{bn}是以6为首项,2为公比的等比数列.(4分)
(2)证明:
由
(1)知bn=6×
2n-1=3×
2n,an+3=bn=3×
2n,则有an=3×
2n-3.
同时b2n=9×
4n,即数列{b2n}是以3为首项,4为公比的等比数列,(5分)
得Tn=36(1-4n)1-4=12(4n-1).(6分)
因为Sn=2an-3n,所以S2n=2a2n-6n=6(4n-1)-6n,(8分)
则S2n+6nTn=6×
(4n-1)12(4n-1)=12为定值.(10分)
(3)解:
令cn=2n-an=3-2n,若存在<p<n,使得c,cp,cn成等差数列,
则cp-c=cn-cp,2cp=c+cn,即2•2n=2+2p (*).(12分)
等式两边同时除以2得2n+1-=1+2p-.
因为<p<n,所以n+1-,p-均为正整数,(14分)
故(*)式左边为偶数,而右边为奇数,所以(*)式不能成立.
故数列{2n-an}中不存在三项成等差数列.(16分)
(1)(解法1)因为函数f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x)对一切实数恒成立,
即x3+3ax2+(3-6a)x+12a=-[(-x)3+3a(-x)2+(3-6a)(-x)+12a],
即6a(x2+4)=0对一切实数x恒成立,(2分)
所以a=0.(3分)
(解法2)因为函数f(x)为奇函数,且函数的定义域为R,
所以f(0)=0,得a=0.(1分)
此时f(x)=x3+3x,f(-x)=(-x)3+3(-x)=-x3-3x=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数,故a=0.(3分)
(2)f(x)=x3+3ax2+(3-6a)x+12a=a(3x2-6x+12)+x3+3x.
设函数g(a)=(3x2-6x+12)a+x3+3x,
因为3x2-6x+12=3(x-1)2+9>0,所以函数g(a)在[-1,1]上单调递增.
令h(x)=g(a)ax=g
(1)=x3+3x2-3x+12,(5分)
由h′(x)=3x2+6x-3=3[x+(1+2)][x-(2-1)],令h′(x)=0得x=2-1.
当x∈(-1,2-1)时,h′(x)<0,函数h(x)为减函数;
当x∈(2-1,1)时,h′(x)>0,函数g(x)为增函数.(7分)
而h
(1)=13,h(-1)=17,所以h(x)ax=17,则>17.(8分)
(3)因为f(x)在x=x0∈(0,3)处取得极小值 (*),
则令f′(x)=3[x2+2ax+(1-2a)]=0,令s(x)=x2+2ax+(1-2a) ①.
则方程①有两个不相等的实根x1,x2,不妨设x1<x2,
所以Δ=4a2-4(1-2a)>0,解得a>-1+2或a<-1-2 ②.(9分)
设s(x)=(x-x1)(x-x2),则f′(x)=3(x-x1)(x-x2).
当x∈(-∞,x1)时,f′(x)>0,f(x)为增函数;
当x∈(x1,x2)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;
当x∈(x2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数,
所以f(x)的极小值在较大根x2处取得,令x2=x0∈(0,3).(10分)
(解法1)1°
当x1<0,x0∈(0,3)时,
因为x1<0<x0<3,则s(0)=x1x0=1-2a<0,s(3)=(3-x1)(3-x0)=10+4a>0,
解得a>12.(11分)
反之,当a>12时,Δ=4a2-4(1-2a)>0,方程①有两个实根x1,x0;
且满足s(0)=1-2a<0,s(3)=10+4a>0,则方程在区间(0,3)上必有一根x0;
又s(0)=x1x0=1-2a<0,而x0>0,所以x1<0.
所以满足条件(*).此时a>12 ③.(12分)
2°
当x1,x0∈(0,3)时,s(x)的对称轴为x=-a=x0+x12∈(0,3) ④,
s(x)在(0,-a)上为减函数,在(-a,3)上为增函数.
因为0<x1<-a<x0<3,所以s(0)=1-2a>s(x1)=0,s(3)=10+4a>s(x0)=0.
结合②④,解得-52<a<-1-2.(13分)
反之,当-52<a<-1-2时,Δ>0,方程①必有两不相等的根x1,x0.
又1+2<-a<52,所以对称轴x=-a∈(0,3),而函数s(x)in=s(-a)<0,
因为s(x)在(0,-a)上为减函数,且s(0)=1-2a>0,则s(x)在(0,-a)上必有一根x1;
s(x)在(-a,3)上为增函数,且s(3)=10+4a>0,则s(x)在(-a,3)上必有一根x0,
显然x1<x0.所以满足条件(*).此时-52<a<-1-2 ⑤.(14分)
3°
当方程有一根分别为0时,此时s(x)的两根分别为-1,0,不合题意.(15分)
综上,由③⑤得-52<a<-1-2或a>12.(16分)
(解法2)此时方程s(x)=0有两个实根x1,x0,x1<x0,
则x1=-a-a2+2a-1<x0=-a+a2+2a-1,(12分)
则0<-a+a2+2a-1<3,即a<a2+2a-1<3+a ⑥.
1°
当a>-1+2时,⑥平方得a2<a2+2a-1<(3+a)2,解得a>12.(13分)
当a<-1-2时,a<a2+2a-1恒成立.
由a2+2a-1<3+a,平方解得-52<a<-1-2.(15分)
综上,由1°
,2°
可得a>12或-52<a<-1-2.(16分)
20.
(1)解:
因为h(x)=f(x)-g(x)=ex-x2在(0,+∞)上为增函数,
则h′(x)=ex-2x≥0在(0,+∞)上恒成立,即2≤exx恒成立.(2分)
设函数k(x)=exx,x∈(0,+∞),则k′(x)=ex(x-1)x2=0,得x=1.
x(0,1)1(1,+∞)
k′(x)—0+
k(x)
所以k(x)in=k
(1)=e,所以≤e2.(4分)
(2)解:
设切点为(x0,ex0).因为f′(x)=ex,所以ex0=k,ex0=kx0+1,(6分)
所以ex0(x0-1)+1=0.令l(x)=ex(x-1)+1,l′(x)=ex•x=0,得x=0.
x(-∞,0)0(0,+∞)
l′(x)—0+
l(x)
所以l(x)in=l(0)=0,所以x0=0,所以k=1.(8分)
(3)证明:
因为f(x)=ex在(-∞,+∞)上单调递增,且x2-x1>0,ex2-ex1>0,(9分)
所以f(x1)+f(x2)2>f(x2)-f(x1)x2-x1⇔ex1+ex22>ex2-ex1x2-x1⇔x2-x12>ex2-ex1ex2+ex1
⇔12(x2-x1)>ex2-x1-1ex2-x1+1⇔12(x2-x1)>1-2ex2-x1+1 (*).(12分)
令x2-x1=t>0,F(t)=t2+2et+1-1,F′(t)=12-2et(et+1)2=(et-1)22(et+1)2.(14分)
因为t>0,所以F′(t)>0,所以F(t)在(0,+∞)上单调递增,
所以F(t)>F(0)=0,(*)式成立,则f(x1)+f(x2)2>f(x2)-f(x1)x2-x1.(16分)
数学附加题参考答案及评分标准
21.解:
y′=1x2-2x(x2-2x)′=2x-2x2-2x,(4分)
则切线在x=3处的斜率k=2×
3-232-2×
3=43.(6分)
当x=3时,y=ln3,(8分)
则切线方程为y-ln3=43(x-3),即4x-3y-12+3ln3=0.(10分)
22.证明:
①当n=4时,24=16>42+3×
4+22=15,则结论成立.(2分)
②假设当n=k(k≥4)时,满足2k>k2+3k+22,(4分)
则当n=k+1时,2k+1=2×
2k>2×
k2+3k+22=2k2+6k+42.(6分)
因为k≥4,
则2k2+6k+42-(k+1)2+3(k+1)+22=k2+k-22>0,
所以2k2+6k+42>(k+1)2+3(k+1)+22.(8分)
即当n=k+1时,有2n>n2+3n+22成立.(9分)
综合①②,当n≥4,n∈N时,有2n>n2+3n+22.(10分)
23.解:
(1)记f(x)=a0+a1x+a2x2+…+a2019x2019.
令x=-1,得f(-1)=a0+a1(-1)+a2(-1)2+…+a2019(-1)2019=-1,
即a0-a1+a2-a3+…+a2018-a2019=-1 ①.(2分)
令x=1,得f
(1)=a0+a1+a2+…+a2019=22018+32019,
即a0+a1+a2+…+a2019=22018+32019 ②.(4分)
由①+②得2(a0+a2+…+a2018)=-1+22018+32019,
则a0+a2+…+a2018=12(22018+32019-1).(6分)
(2)根据题意得c1+2c1n=11,则+2n=11,(7分)
则x2的系数为c2+22c2n=(-1)2+2n(n-1)(8分)
=2-2+(11-)(11-2-1)=(-214)2+35116.(9分)
因为∈N*,所以=5时,x2的系数取得最小值22,此时n=3.(10分)
24.解:
(1)设该同学参加了语文、数学、英语兴趣小组的事件分别为A,B,c,
对应的概率分别为P(A)=x,P(B)=y,P(c)=z.(1分)
因为该同学只参加语文兴趣小组的概率为0.08,
则P(AB c)=P(A)P(B)P(c)=x(1-y)(1-z)=0.08 ①;
(2分)
因为该同学只参加语文和数学兴趣小组的概率为0.12,
则P(ABc)=P(A)P(B)P(c)=xy(1-z)=0.12 ②;
因为该同
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- 届高三 数学 学期 期中 试题