配套K12数列的函数特性教学案Word格式.docx
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若数列是以解析式的形式给出的,则数列的图像是相应函数图像上的一系列孤立的点.
数列是一类离散函数,它是刻画离散过程的重要数学模型,有很广泛的应用.
列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系,比较直观,但是它只能表示有限个元素间的对应关系.
数列的单调性
递增数列:
一般地,一个数列{an},如果从第2项起,每一项都大于它前面的一项,即an+1>
an,那么这个数列叫做递增数列.
递减数列:
一般地,一个数列{an},如果从第2项起,每一项都小于它前面的项,即an+1an 递增 an+11即可.
[解析] ∵f=2x-2-x,f=-2n,
∴2log2an-2-log2an=-2n,an-=-2n,
∴an2+2nan-1=0,解得an=-n±
.
∵an>
0,∴an=-n.
=
=0,则数列{an}是递增数列;
若an+1-an1,则数列{an}是递增数列;
若0,
∴an+10,即230-100×
1.05n-2>
0时,1.05n-20,其实对非零实数a应分a>
0和a0时,an-an-10,∴an>
an-1,
∴数列{an}是递增数列.
课堂巩固训练
一、选择题
已知数列{an},a1=1,an-an-1=n-1,则a6=
A.7
B.11
c.16
D.17
[答案] c
[解析] ∵a1=1,an-an-1=n-1,
∴a2-a1=1,∴a2=a1+1=2,
∴a3-a2=2,∴a3=a2+2=4,
∴a4-a3=3,∴a4=a3+3=7,
∴a5-a4=4,∴a5=a4+4=11,
∴a6-a5=5,∴a6=a5+5=16.
数列{an}中,an=-n2+11n,则此数列最大项的值是
A.
B.30
c.31
D.32
[答案] B
[解析] an=-n2+11n=-2+,
∵n∈N+,∴当n=5或6时,an取最大值30,故选B.
一给定函数y=f的图像在下列图中,并且对任意a1∈,由关系式an+1=f得到数列{an}满足an+1>
an,则该函数的图像是
[答案] A
[解析] 由关系式an+1=f得到数列{an}满足an+1>
an,可得f>
an,即f>
x.故要使该函数y=f图像上任一点都满足y>
x,图像必在直线y=x的上方,所以A正确.
说明:
借用函数的图像与性质来研究数列时,要注意函数的一般性及数列的特殊性之间的关系,不可不加区分,混为一谈,表达时要清楚明白,数列问题有时用图像来处理,往往可以使问题巧妙、简捷地获得解决.
二、填空题
已知f=2,f=,则f=
[答案]
[解析] ∵f=2,f=,
∴f==,
f===,
f===.
已知数列{an}中,an=an+满足a1=2,a2=4,则a3=
[答案] 2
=a+a=2a=-1
[解析] ∵a1=2,a2=4,∴,∴或,
=a2+=0=3
∴a3=3+3=2.
三、解答题
证明数列{}是递减数列.
[证明] 令an=,
∴an+1-an=-
=-
=-0可知an+1>
an,
所以数列{an}是递增数列.
设an=-n2+10n+11,则数列{an}的最大项为
A.5
c.10或11
D.36
[答案] D
[解析] ∵an=-n2+10n+11=-2+36,
∴当n=5时,an取最大值36.
数列{an}中,a1=0,以后各项由公式a1•a2•a3•…•an=n2给出,则a3+a5等于
B.
c.
D.
[解析] ∵a1•a2•a3•…•an=n2,
∴a1•a2•a3=9,a1•a2=4,∴a3=.
同理a5=,∴a3+a5=+=.
已知数列{an}的通项公式an=lg1536-lg2,则使得an1536,代入验证得答案为D.
已知数列{an}中,a1=1,a2=3,an=an-1+,则a5=
c.4
D.5
[答案] A
[解析] a3=a2+=3+1=4.
a4=a3+=4+=.
a5=a4+=+=.
在数列{an}中,a1=1,an•an-1=an-1+n,则的值是
[答案] c
[解析] ∵a1=1,∴a2=1+1=2,a3a2=a2+3=2+=1,∴a3=,
又a3a4=a3+4,∴a4=3,
∵a4a5=a4+5=2,∴a5=,
∴==.
已知S表示数列的前项和,且S+S+1=a+1,那么此数列是
A.递增数列
B.递减数列
c.常数列
D.摆动数列
[解析] ∵a+1=S+1-S=S+S+1,
∴S=0.
可知此数列每一项均为0,
即an=0是常数列.
已知数列{an}的通项公式为an=n-1[n-1-1],则关于an的最大项,最小项叙述正确的是
A.最大项为a1,最小项为a3
B.最大项为a1,最小项不存在
c.最大项不存在,最小项为a3
D.最大项为a1,最小项为a4
[解析] 令t=n-1,则它在N+上递减且0a3,故选A.
已知数列{an}的通项公式an=n2-4n-12,则
这个数列的第四项是
;
5是这个数列的第
项;
这个数列从第
项起以后各项为正数.
[答案] -12 11 7
[解析] a4=42-4×
4-12=-12.
令65=n2-4n-12,∴n2-4n-77=0,
∴n=11或n=-7.
故65是这个数列的第11项.
令n2-4n-12>
0,得n>
6或nan
[解析] ∵a,b,c均为实数,f==在上是增函数,故数列an=在n∈N+时为递增数列,∴an-3
[解析] 由{an}为递增数列,得an+1-an=2+λ-n2-λn=2n+1+λ>
0恒成立,
即λ>
-2n-1在n≥1时恒成立,
令f=-2n-1,fax=-3.
只需λ>
fax=-3即可.
若数列{an}的通项公式为an=-2n2+13n,关于该数列,有以下四种说法:
该数列有无限多个正数项;
该数列有无限多个负数项;
该数列的最大项就是函数f=-2x2+13x的最大值;
-70是该数列中的一项.
其中正确的说法有
[答案]
[解析] 令-2n2+13n>
0,得00,∴an+1>
an.故数列{an}为递增数列.
根据数列的通项公式,写出数列的前5项,并用图像表示出来.
an=n+2;
an=.
[解析] a1=1,a2=3,a3=1,a4=3,a5=1.图像如图1.
a1=2,a2=,a3=,a4=,a5=.图像如图2.
已知数列{an},a1=2,an+1=2an,写出数列的前4项,猜想an,并加以证明.
[证明] 由a1=2,an+1=2an,得
a2=2a1=4=22,a3=2a2=2•22=23,
a4=2a3=2•23=24.
猜想an=2n.
证明如下:
由a1=2,an+1=2an,
得==…===2.
∴an=•…••a1=2•2…2•2=2n.
已知函数f=,设f=an.求证:
≤an0,即an+1>
an,
所以数列{an}是递增数列.
所以an的最小值为a1=,即an≥.
所以≤an<
1.
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