高考高考数学理一轮复习真题演练第5章 54 平面向量应用举例Word格式.docx
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A.13B.15
C.19D.21
A
∵⊥,故以A为原点,AB,AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系.不妨设B,C(t,0),则=+=(4,1),
故点P的坐标为(4,1).
·
(t-4,-1)=-4t-+17
=-+17≤-2+17=13.
当且仅当4t=,即t=时(负值舍去)取得最大值13.
3.[2015·
天津卷]在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°
.动点E和F分别在线段BC和DC上,且=λ,=,则·
的最小值为________.
在等腰梯形ABCD中,由AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°
,可得AD=DC=1.
建立平面直角坐标系如图所示,
则A(0,0),B(2,0),C,D,
=-(2,0)=,
=-=(1,0).
∵=λ=,
∴E.
∵==,∴F.
∴·
=+λ=++λ
≥+2=,
当且仅当=λ,即λ=时等号成立,符合题意.∴·
的最小值为.
4.[2016·
江苏卷]如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,·
=4,·
=-1,则·
的值是________.
解法一:
以D为坐标原点,BC所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,
设B(-a,0),C(a,0),A(b,c),
则E,F,=(b+a,c),
=(b-a,c),=,
=,=,
=,
=b2-a2+c2=4,
=-a2+=-1,
解得b2+c2=,a2=,
则·
=(b2+c2)-a2=.
解法二:
设=a,=b,则·
=(a+3b)·
(-a+3b)=9|b|2-|a|2=4,·
=(a+b)·
(-a+b)=|b|2-|a|2=-1,解得|a|2=,|b|2=,则·
=(a+2b)·
(-a+2b)=4|b|2-|a|2=.
课外拓展阅读
巧解平面向量高考题的5种方法
向量是既有大小又有方向的量,具有几何和代数形式的“双重性”,常作为工具来解决其他知识模块的问题.在历年高考中都会对该部分内容进行考查,解决这些问题多可利用平面向量的有关知识进行解决.基于平面向量的双重性,一般可以从两个角度进行思考:
一是利用其“形”的特征,将其转化为平面几何的有关知识进行解决;
二是利用其“数”的特征,通过坐标转化为代数中的有关问题进行解决.下面对辽宁省的一道高考试题采用5种不同的求解方法进行解答.
[典例] 若a,b,c均为单位向量,且a·
b=0,(a-c)·
(b-c)≤0,则|a+b-c|的最大值为( )
A.-1B.1
C.D.2
目标不等式法
[思路分析]
[解析] 因为|a|=|b|=|c|=1,a·
b=0,
所以|a+b|2=a2+b2+2a·
b=2,
故|a+b|=.
展开(a-c)·
(b-c)≤0,得
a·
b-(a+b)·
c+c2≤0,
即0-(a+b)·
c+1≤0,
整理,得(a+b)·
c≥1.
而|a+b-c|2=(a+b)2-2(a+b)·
c+c2=3-2(a+b)·
c,
所以3-2(a+b)·
c≤3-2×
1=1.
所以|a+b-c|2≤1,即|a+b-c|≤1.
[答案] B
向量基底法
[解析] 取向量a,b作为平面向量的一组基底,设c=ma+nb.
由|c|=1,即|ma+nb|=1,
可得(ma)2+(nb)2+2mna·
b=1,
由题意知,|a|=|b|=1,a·
b=0.
整理,得m2+n2=1.
而a-c=(1-m)a-nb,b-c=-ma+(1-n)b,
故由(a-c)·
[(1-m)a-nb]·
[-ma+(1-n)b]≤0,
展开,得m(m-1)a2+n(n-1)b2≤0,
即m2-m+n2-n≤0.
又m2+n2=1,故m+n≥1.
而a+b-c=(1-m)a+(1-n)b,
故(a+b-c)2=[(1-m)a+(1-n)b]=(1-m)2a2+2(1-m)(1-n)a·
b+(1-n)2b2
=(1-m)2+(1-n)2=m2+n2-2(m+n)+2
=3-2(m+n).
又m+n≥1,所以3-2(m+n)≤1.
故|a+b-c|2≤1,即|a+b-c|≤1.
解法三:
坐标法
[解析] 因为|a|=|b|=1,a·
所以〈a,b〉=.
设=a,=b,=c,
因为a⊥b,所以OA⊥OB.
分别以OA,OB所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示,
则a=(1,0),b=(0,1),则A(1,0),B(0,1).
设C(x,y),则c=(x,y),且x2+y2=1.
则a-c=(1-x,-y),b-c=(-x,1-y),
(1-x)×
(-x)+(-y)×
(1-y)≤0,
整理,得1-x-y≤0,即x+y≥1.
而a+b-c=(1-x,1-y),
则|a+b-c|=
=.
因为x+y≥1,
所以3-2(x+y)≤1,即|a+b-c|≤1.
所以|a+b-c|的最大值为1.
解法四:
三角函数法
则a=(1,0),b=(0,1),
则A(1,0),B(0,1).
因为|c|=1,设∠COA=θ,
所以C点的坐标为(cosθ,sinθ).
则a-c=(1-cosθ,-sinθ),b-c=(-cosθ,1-sinθ),故由(a-c)·
(1-cosθ)×
(-cosθ)+(-sinθ)×
(1-sinθ)≤0,
整理,得sinθ+cosθ≥1.
而a+b-c=(1-cosθ,1-sinθ),
因为sinθ+cosθ≥1,
所以3-2(sinθ+cosθ)≤1,即|a+b-c|≤1.
解法五:
数形结合法
[解析] 设=a,=b,=c,
因为|a|=|b|=|c|=1,
所以点A,B,C在以O为圆心、1为半径的圆上.
易知=a-c,=b-c,|c|=||.
由(a-c)·
(b-c)≤0,
可知·
≤0,
则≤∠BCA<
π(因为A,B,C在以O为圆心的圆上,所以A,B,C三点不能共线,即∠BCA≠π),
故点C在劣弧AB上.
由a·
b=0,得OA⊥OB,
设=a+b,如图所示,
因为a+b-c=-=,
所以|a+b-c|=||,
即|a+b-c|为点D与劣弧AB上一点C的距离,
显然,当点C与A或B点重合时,CD最长且为1,即|a+b-c|的最大值为1.
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