电磁场基础钟顺时习题答案.doc
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第1章矢量分析
1.1/1.1-1矢径与各坐标轴正向的夹角分别为,,。
请用坐标(x,y,z)来表示,,,并证明
[解]
得证.
1.2/1.1-2设xy平面上二矢径、与x轴的夹角分别为、,请利用证明。
[解]设
则
因、夹角为,如图所示,有
比较上二式得,得证.
1.3/1.1-3,,求:
(a);(b);(c)
[解](a)=
(b)=
(c)
1.4/1.1-4用两种方法求1.1-3题矢量和的夹角。
[解1]
[解2]
[解3]
1.5/1.1-5设,,若使(a),或(b),则b和c应为多少?
[解](a),则
(b),则,故
得b=3,c=-8
1.6/1.1-6设,为使,且的模B=1,请确定a、b、c。
[解],则,故
即
又因,得
1.7/1.1-7已知三个矢量如下:
,,,请用两种方法计算(a);(b);(c)。
[解](a)1.
2.
(b)1.
2
.
(c)1.
2.
1.8/1.2-1已知,,在点(2,1,2)处,试求:
(a);(b);(c)。
[解](a)
(b)
(c)
1.9/1.2-2设,,请用两种方法计算在(1,2,3)点的值。
[解]1.
2.
1.10/1.2-3已知矢径,,试证:
(a);
(b)。
[证](a)
(b)
1.11/1.2-4设电场强度,对直角坐标系第一象限内的正立方体,每边均为单位长,其中一个顶点位于坐标原点,请验证散度定理成立。
[证]参看图1.2-5,但各边长为1,则
上二积分结果相同,故
1.12/1.2-5应用散度定理计算下述积分:
s是z=0和所围成的半球区域的外表面,球坐标体积元为。
[解]
1.13/1.3-1设,求点(1,0,0)处的旋度及沿方向和方向的环量面密度。
[解]
1.14/1.3-2求下列矢量场的旋度:
(a);(b)。
[解](a)
(b)
1.15/1.3-3设常矢量,矢径,试证
[证]
1.16/1.3-4已知,,试证(a);
(b),,是r的函数。
[证](a)
(b)
1.17/1.3-5设,试计算面积分,s为xy平面第一象限内
半径为3的四分之一圆,即x的积分限为(0,),y的积分限为(0,3),并验证斯托克斯定理。
[解]
又
由上,,斯托克斯定理成立.
1.18/1.4-1求标量场在点(2,2,0)处的梯度及沿方向的方向导数。
[解]
1.19/1.4-2求标量场在点P(2,2,1)处的最大变化率值及沿方向的方向导数。
[解]
1.20/1.4-3已知,试求:
(a),n为正整数;(b),是r的函数。
[解](a)
(b)
1.21/1.4-4已知c为常数,和为常矢量,矢径
。
试证:
(a);(b);(c)。
[证](a)
(b),
(c)1.22/1.6-1已知P点的直角坐标为(2,2,1),请确定其柱坐标和球坐标。
[解]柱坐标:
球坐标:
or
1.23/1.6-2已知z=0平面上源点的矢径为,场点位于其矢径为,且有、,试证源点至场点距离为。
注:
当,。
[证]
1.24/1.6-3在r=1和r=2两个球面之间的区域存在电通量密度,请计算:
(a);(b);(c)验证散度定理。
[解](a)
(b)
(c)由(a)、(b)可见散度定理成立.
1.25/1.6-4若(a),(b),请解出满足方程的。
[解](a)
故,,,
,得
(b)
故
1.26/1.6-5试求和设:
(a);(b);
(c)+。
[解](a)
(b)
(c)
1.27/1.6-6设,k=常数,试证:
。
[证]
1.28/1.6-7证明下列函数满足拉普拉斯方程(a),
;(b);(c)。
[证](a)
(b)
(c)
得证
第2章电磁场基本方程
2.1/2.1-1设空气中有一半径为a的电子云,其中均匀充满着密度为ρv的电荷。
试求球内(ra)任意点处的电通密度和电场强度及和。
[解]应用高斯定理,取半径为r的同心球面为高斯面.
1)r 2)r>a: 2.2/2.1-2设空气中内半径a、外半径b的球壳区域内均分布着体密度为ρv的电荷。 试求以下三个区域的电场强度及: (a)rb. [解]应用高斯定理,取半径为r的同心球面为高斯面. (a)r (b)a (c)r>b: 2.3/2.1-3一半径等于3cm的导体球,处于相对介电常数εr=2.5的电介质中,已知离球心r=2m处的电场强度E=1mv/m,求导体球所带电量Q。 [解]由高斯定理知, 2.4/2.1-4一硬同轴线内导体半径为a,外导体内外半径分别为b、c,中间介质为空气(题图2-1)。 当内外导体分别通过直流I和-I时,求: (a)内导体( [解](a) 应用安培环路定律, 题图2-1同轴线横截面图 , (b) (c) 2.5/2.2-1一矩形线圈与载有电流I的直导线同平面,如题图 2-2所示。 求下述情况下线圈的感应电动势: a)线圈静止,I=I0sinωt; b)线圈以速度向右边滑动,I=I0。 [解](a)应用安培环路定律, 题图2-2载流直导线与矩形线圈 (b) 2.6/2.2-2一平行板电容器由两块导体圆片构成,圆片半径为a,间距为d,d< 在电容器中心加一正弦电压U=U0sinωt。 (a)求介质中的电场强度和磁场强度;(b)求介质中位移电流总值,并证明它等于电容器的充电电流;(c)设介质电导率为σ,求介质中传导电流与位移电流之比。 若εr=5.5,σ=10-3S/m,f=3×106Hz,此比值多大? [解](a) (b) .得证. (c)振幅 振幅 2.7/2.3-1麦克斯韦方程组为什么不是完全对称的? [答]自然界中存在电荷和电流,但并无单独存在的磁荷及磁流;电场是有散场而磁场是无散场,因而不对称. 2.8/2.3-2试由表2.3-1中麦克斯韦方程组(b)(c)导出电流连续性方程(e)。 [解]由 将式(c)代入上式得,此即电流连续性方程(e) 2.9/2.3-3已知真空中无源区域有时变电场。 a)由表2.3-1的麦克斯韦 方程(a)求时变磁场;b)证明。 [解](a) 时变场中无恒定成分,故C=0,得 (b)由Maxwell方程(b), 又, 从而得 2.10/2.3-4设,请导出矢量波动方程(2.3-2)的三个标量方程。 [解] 式中 由 2.11/2.3-5试证: 在简单媒质中存在场源时,电场强度和磁场强度分别满足非齐次矢量波动方程(2.3-4)和(2.3-5)。 [证]由Maxwell方程组(a)、(b)及(c)得 由Maxwell方程组(a)、(b)及(c)可得 2.12/2.3-6应用麦氏方程组导出RLC并联电路的下述电流方程: [解]由Maxwell方程组(), 对a端环线所围截面S,有 故U 对R: 对L: 对C: 令得 2.13/2.4-1验证2.1-1题r=a处的电场边界条件。 [证]处有.满足边界条件 2.14/2.4-2验证2.1-2题r=a和r=b处电场边界条件 [证]处有 处有.满足边界条件 2.15/2.4-3验证2.1-4题ρ=a、ρ=b、ρ=c处和的边界条件。 [解]处: 处: 处: 2.16/2.5-1半径为a的圆形平行板电容器间距为d< (a)求介质中的电场强度和磁场强度;(b)求介质中的功率密度,并证明总损耗功率的公式与电路理论中相同。 [解](a) 题2.5-1图 (b) 上式即电路理论中的欧姆损耗,R为欧姆电阻。 又, 可见,输入电容器的功率等于有耗介质中的欧姆损耗功率。 2.17/2.5-2对例2.5-2的同轴线,若外导体圆筒的外半径为c,即圆筒壁厚为(c-b),而且它是良导体,σ≠0,试求其内表面处的坡印廷矢量,并证明流入外导体的电磁功率等于其内部
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