高等代数例题全部.docx

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高等代数例题全部

高等代数例题

第一章多项式

23

1.P442

（1）m、p、q适合什么条件时，有x+mx_1x+px+q

2.P457设f（x^x3（1t）x22x2u,g（x^x3txu的最大公因式是一个二次多项式，求t、

u的值。

3.P4514证明：

如果（f（x）,g（x））=1，那么（f（x）g（x）,f（x）g（x））=1

3

4.P4518求多项式x-pxq有重根的条件。

5.%24证明：

如果（X—1）f（xn），那么（Xn—1）f（xn）

6.P4625证明：

如果（X2+x+1）|fjx3）+xf2（x3），那么（X—1）t（x）,（X—1）f2（x）

7.P4626求多项式xn-1在复数域内和实数域内的因式分解。

&P4628（4）多项式Xppx1（p为奇素数）在有理数域上是否可约？

9.P471设f/x）=af（x）bg（x）,g1（x^cf（x）dg（x），且ad-be=0。

求证：

（f（x）,g（x））=（f1（x）,g^x））。

10.P485多项式m（x）称为多项式f（x）,g（x）的一个最小公倍式，如果

（1）f（x）m（x）,g（x）m（x）；

（2）f（x）,g（x）的任意一个公倍式都是m（x）的倍式。

我们以［f（x）,g（x）］表示首项系数为1的那个最

小公倍式。

证明：

如果f（x）,g（x）的首项系数都为1,那么［f（x）,g（x）］f（x）g（x）

（f（x）,g（x））

11.设m、n为整数，

g（x）二xx1除f（x）二xx-2所得余式为。

12.求证：

如果d（x）|f（x）,d（x）|g（x），且d（x）是f（x）与g（x）的一个组合，那么d（x）是f（x）与

615

433

12

1

“\14

13

32,

f（x）=xX

-xX

X

-x-

g（x）x

X

xxT

2

2

2

2

4

4

4

g（x）的一个最大公因式。

13.

求f（x）,g（x）。

证：

g（x）|f（x）。

14.设f（x）=（x1）2m-x2n-2xT（m,n是正整数）,g（x）=x2x

第二章行列式

1.P965如果排列XMzIHXn/Xn的逆序数为k，排列xnxnX2X1的逆序数是多少?

b+c

c+a

a+b

a

b

c

5.P

9814

d+G

G+印

a^i+d

=2

a1

bi

C1

b2

c2+a2

a2+b2

a2

b

c2

（2）由行列式性质，求P（x）的根。

0III1■

0

0

IH

IH

0

2

1

0

0

0

2.P978（3）

+

+

+

►

1

h

■

■

■

+

+

+

n-1

川

0

0

0

0

川

0

0

n

（：

1）（：

1：

2）（：

1：

2：

3）=

10.若四阶行列式D的第二列的元素依次是-1,2,0,1,它们的余子式分别为5,3,-7,4,

则D-

X—2

X—1

x-2

x-3

2x-2

2x-1

2x-2

2x-3

若f（x）=

，则f（x）=0的根的个数为

3x-3

3x-2

4x—5

3x-5

4x

4x—3

5x-7

4x—3

（A）1

（B）

2

（C）

3

（D）

耳中扎

a2

a3

川

an

a1

a2+九

a3

川

an

计算行列式

Dn=

q

a2

a3十丸

川

an

III

III

III

in

HI

q

a2

a3

IH

an朴

4

1

0

0

0

a1

11.

12.

a2

an

的每个向量都可以被它们线性表示，证明an，川,叫是a仆〜川］,0^的一个极大线性无关组。

4.R5612证明：

如果向量组（I）可由向量组（n）线性表示，那么（I）的秩不超过（n）的秩。

+X2

+X3

=1

5.P|5719

（1）人取什么值时下列线性方程组有解，并求解：

{x1

+》必

+X1

=九

+X1

+?

^x1

=A

"咅+x2+

x3+

X4+

X5=

1

3为+2%十

X3+

X4—

3x5=

a

6.R5722a,b取什么值时，线性方程组<

X2+

2x3+

2x4+

6X5=

3

5%+4屜十

3x3+

3X4—

X5=

b

有解？

在有解的情形，求一般解。

7.R591设向量B可以经向量组％,。

2,川,％线性表示，证明：

表示法唯一的充分必要条件是

〉1,〉2」l|,〉r线性无关。

&R594已知两向量组有相同的秩，且其中之一可被另一个线性表示，证明：

这两个向量组等价。

anX1

821X1

+

+

812X2

822X2

+III

+III

+

+

a1nxn

a2nxn

=0

=0

9.R597线性方程组』

IH

_务~1,必

+

an42X2

+III

+

an-1,nXi

=0

f

如

a12III

a1n

a21

a22III

a2n

的系数矩阵为A=

*

■h

*

■F

■b

*

*

ian-4,1

a

気斗2HI

an4,n丿

设Mi是矩阵A中划去第i列剩下的（n-1）（n-1）矩阵的行列式。

（1）证明：

（M1,-M2」l|,（-1）nJMn）是方程组的一个解;

（2）如果A的秩为n—1,那么方程组的解全是（Mi,-M2,|l|,（-1）n」Mn）的倍数。

10•求＞1，〉2，〉3，〉4的一个极大线性无关组，并将其它向量用极大线性无关组线性表示:

：

1=（1,0,2,3,4）,:

2=（6,1,10,15,-24）,:

3=（7,1,12,0,-34）,:

4

11•设四^=[1,2,0,:

2=（1,a2,-3a）,:

3=（-1,—b—2

=（1,4,一6,0,-1）

a2b），匕=（1,3,-3）。

讨论a、b为何值时

13•设：

-1/-2,…，亠是齐次线性方程组AX=0的基础解系，向量［不是AX=0的解,

即A「0。

证明：

-,■「’，“，“，-：

＞2ts线性无关。

14•若1,2,川，s是非齐次线性方程组AX「r-0）的s个解，则t11“22•川-tss是AX八

的解的充要条件是t|t2・|||ts=1.

n

15.设整系数方程组7aijXj二bi,i=1,2,|l|,n，对任何b1,b2，…，bn均有整数解。

jT

求证：

方程组的系数矩阵A=（%）可逆，且A=1.

第四章矩阵

0）

（D）1

0

6.设A为对称矩阵，B为反对称矩阵，则下列矩阵中为反对称矩阵的是

（A）

A的列向量线性相关，

B的行向量线性相关

（B）

A的列向量线性相关,

（C）

A的行向量线性相关，

B的行向量线性相关

（D）

A的行向量线性相关,

-11x

8.

设口为3维列向量，若

GLCL'=

-1

1-1

，则Of&

—

；1

-11丿

7•设A、B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有

B的列向量线性相关

B的列向量线性相关

10-10'

9.A=100,P为三阶可逆矩阵，BuP^AP，贝UB2012—2A=

<00-b

々01、

10•设A=030,f（x）=2x3—7x2+4x+4，求f（A）

J02>

（102^

11.设A为4x3矩阵，B=

020

，若r（A）=2，则r（AB）

I-103丿

2

12•已知方阵A满足A—2A+3E=0

则（A+2E）-1=

[EEl

13•设E为n阶单位矩阵，求2n阶矩阵A=的逆矩阵A」。

「EE丿

14.设A、B分别是sn和nm矩阵，若AB=0，求证r（A）•r（B）乞n。

15•设n（n_2）阶矩阵A的伴随矩阵是A，求证：

A二An」。

nr（A）=n

16•设n（n_2）阶矩阵A的伴随矩阵是A，求证：

r（A”）二1r（A）二n-1。

I

0r（A）：

：

n—1

17".设A、B分别是sn和nm矩阵，求证r（AB）乞r（A）•r（B）-n。

18*•设A、B分别是mxn和n>

|九Em—AB=En—BA。

第五章二次型

广1

0

2%

1•求二兀二次型f（X1,X2,X3）=（X1,X2,X3）

0

-2

0

X2

的矩阵。

1°

4

0丿

lX3丿

2.两个矩阵的秩相等是它们合同的条件。

222

X2

=C

y2

3.用配方法求二次型f（捲兀出）=Xi-2X27X3-2xm6X1X3的标准形。

4.用初等变换法求下列二次型的标准形，并求非退化的线性变换

（1）f（x「x2,x3）=2x；4x1x^2x1x3-2x2x33x32

（2）f（Xl,X2,X3）--4X1X32X1X2-X2X3

5.设A为n级实对称矩阵，A正定的充分必要条件是

（A）存在实n维列向量X=0，使XAX0

（B）对任意的所有分量都不为零的实n维列向量X，都有XAX0

（C）

（D）存在n级正定矩阵C,使A=C

A的主对角线上的元素aH0,i-1,2jl|,n

6.矩阵A是正定的，下列结论错误的是

（A）A的主对角兀全为正数

（B）A的兀素全为正数

（C）A的特征值全为正数

（D）A的顺序主子式全为正数

fA、

1.在实数域上，下列矩阵中，与A-

3

合同的是

<一2」

2

■2、

*1）

匚1）

（A）

—1

（B）

3

（C）

3

（D）

-3

<6

<2」