版理科数学一轮复习高考帮试题第15章 推理与证明Word下载.docx
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10
立方体
8
12
猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是 .
题组2 直接证明与间接证明
5.[2017北京,20,13分][理]设{an}和{bn}是两个等差数列,记cn=max{b1-a1n,b2-a2n,…,bn-ann}(n=1,2,3,…),其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs这s个数中最大的数.
(Ⅰ)若an=n,bn=2n-1,求c1,c2,c3的值,并证明{cn}是等差数列;
(Ⅱ)证明:
或者对任意正数M,存在正整数m,当n≥m时,>
M;
或者存在正整数m,使得cm,cm+1,cm+2,…是等差数列.
6.[2015江苏,20,16分][理]设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列.
(1)证明:
,,依次构成等比数列;
(2)是否存在a1,d,使得a1,,,依次构成等比数列?
并说明理由;
(3)是否存在a1,d及正整数n,k,使得,,,依次构成等比数列?
并说明理由.
题组3 数学归纳法
7.[2014安徽,21,13分][理]设实数c>
0,整数p>
1,n∈N*.
(Ⅰ)证明:
当x>
-1且x≠0时,(1+x)p>
1+px;
(Ⅱ)数列{an}满足a1>
an+1=an+.证明:
an>
an+1>
.
A组基础题
1.[2018郑州一中高三入学测试,12]数学上称函数y=kx+b(k,b∈R,k≠0)为线性函数.对于非线性可导函数f(x),在点x0附近一点x的函数值f(x),可以用如下方法求其近似代替值:
f(x)≈f(x0)+f'
(x0)(x-x0).利用这一方法,m=的近似代替值( )
A.大于mB.小于mC.等于mD.与m的大小关系无法确定
2.[2018吉林百校联盟联考,5]甲、乙、丙三人参加某公司的面试,最终只有一人能够被该公司录用,得到面试结果以后,甲说:
丙被录用了;
乙说:
甲被录用了;
丙说:
我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误,则下列结论正确的是( )
A.丙被录用了B.乙被录用了
C.甲被录用了D.无法确定谁被录用了
3.[2017南昌市三模,4]已知13+23=()2,13+23+33=()2,13+23+33+43=()2,…,若13+23+33+43+…+n3=3025,则n=( )
A.8B.9C.10D.11
4.[2017长春市高三第二次质量监测,14]将1,2,3,4,…这样的正整数按如图15-2所示的方式排成三角形数组,则第10行左数第10个数为 .
图15-2
5.[2017甘肃兰州高考实战模拟,14]观察下列式子:
1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,…,由以上可推测出一个一般性结论:
对于n∈N*,则1+2+…+n+…+2+1= .
6.[2017郑州市高三第三次质量预测,13][数学文化题]中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放有纵横两种形式,如下表:
表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位、百位、万位数用纵式表示,十位、千位、十万位用横式表示,以此类推,例如6613用算筹表示就是
则5288用算筹可表示为 .
B组提升题
7.[2017长沙市五月模拟,7]某班级有一个学生A在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步,每52秒跑完一圈,在学生A开始跑步时,在教室内有一个学生B,往操场看了一次,以后每50秒他都往操场看一次,则该学生B“感觉”到学生A的运动是( )
A.逆时针方向匀速前跑
B.顺时针方向匀速前跑
C.顺时针方向匀速后退
D.静止不动
8.[2017沈阳市高三三模,9][数学文化题]“杨辉三角”又称“贾宪三角”,是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算,而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中,辑录了贾宪三角形数表,并称之为“开方作法本源”图.下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”.该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数是( )
2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 1
4033 4031 4029……………11 9 7 5 3
8064 8060……………………20 16 12 8
16124…………………………36 28 20
…………………………
A.2017×
22016B.2018×
22015C.2017×
22015D.2018×
22016
9.[2018山东省东明一中模拟,15]古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为,记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:
三角形数:
N(n,3)=n2+n;
正方形数:
N(n,4)=n2;
五边形数:
N(n,5)=n2-n;
六边形数:
N(n,6)=2n2-n,…,由此推测N(8,8)= .
10.[2017长春市高三第四次质量监测,16]有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师,期间他们做了一个游戏,张老师的生日是m月n日,张老师把m告诉了甲,把n告诉了乙,然后张老师列出来如下10个日期供选择:
2月5日,2月7日,2月9日,5月5日,5月8日,8月4日,8月7日,9月4日,9月6日,9月9日.看完日期后,甲说:
“我不知道,但你一定也不知道.”乙听了甲的话后,说:
“本来我不知道,但现在我知道了.”甲接着说:
“哦,现在我也知道了.”请问,张老师的生日是 .
答案
1.B 若袋中有两个球,则红球、黑球各一个,若红球放在甲盒,则黑球放在乙盒,丙盒中没有球,此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球,乙盒中黑球比丙盒中红球多,故可排除A,D;
若袋中有四个球,则红球、黑球各两个,若取出两个红球,则红球一个放在甲盒,余下一个放在乙盒,再取出余下的两个黑球,一个放在甲盒,则余下一个放在丙盒,所以甲盒中一红一黑,乙盒中一个红球,丙盒中一个黑球,此时乙盒中红球比丙盒中红球多,排除C,选B.
2.4n-1 第一个等式,n=1,而右边式子为40=41-1;
第二个等式,n=2,而右边式子为41=42-1;
第三个等式,n=3,而右边式子为42=43-1;
第四个等式,n=4,而右边式子为43=44-1;
归纳可知,第n个等式的右边为4n-1.
3. 解法一 直接递推归纳:
等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2,所以AB=AC=a1=2,AA1=a2=,A1A2=a3=1,…,A5A6=a7=a1×
()6=.
解法二 求通项:
等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2,所以AB=AC=a1=2,AA1=a2=,…,An-1An=an+1=sin·
an=an=2×
()n,故a7=2×
4.F+V-E=2 三棱柱中5+6-9=2;
五棱锥中6+6-10=2;
立方体中6+8-12=2,由此归纳可得F+V-E=2.
5.(Ⅰ)c1=b1-a1=1-1=0,
c2=max{b1-2a1,b2-2a2}=max{1-2×
1,3-2×
2}=-1,
c3=max{b1-3a1,b2-3a2,b3-3a3}=max{1-3×
1,3-3×
2,5-3×
3}=-2.
当n≥3时,(bk+1-nak+1)-(bk-nak)=(bk+1-bk)-n(ak+1-ak)=2-n<
0,
所以bk-nak关于k∈N*单调递减.
所以cn=max{b1-a1n,b2-a2n,…,bn-ann}=b1-a1n=1-n.
所以对任意n≥1,cn=1-n,于是cn+1-cn=-1,
所以{cn}是等差数列.
(Ⅱ)设数列{an}和{bn}的公差分别为d1,d2,则
bk-nak=b1+(k-1)d2-[a1+(k-1)d1]n
=b1-a1n+(d2-nd1)(k-1),
所以cn=
①当d1>
0时,
取正整数m>
则当n≥m时,nd1>
d2,因此cn=b1-a1n.
此时,cm,cm+1,cm+2,…是等差数列.
②当d1=0时,对任意n≥1,
cn=b1-a1n+(n-1)max{d2,0}=b1-a1+(n-1)(max{d2,0}-a1).
此时,c1,c2,c3,…,cn,…是等差数列.
③当d1<
当n>
时,有nd1<
d2,
所以=
=-nd1+d1-a1+d2+
≥-nd1+d1-a1+d2-|b1-d2|.
对任意正数M,取正整数m>
max{,},则当n≥m时,>
M.
6.
(1)因为==2d(n=1,2,3)是同一个常数,
所以,,,依次构成等比数列.
(2)令a1+d=a,则a1,a2,a3,a4分别为a-d,a,a+d,a+2d(a>
d,a>
-2d,d≠0).
假设存在a1,d,使得a1,,,依次构成等比数列,
则a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4.
令t=,则1=(1-t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4(-<
t<
1,t≠0),
化简得t3+2t2-2=0 ①;
且t2=t+1.将t2=t+1代入①式,得
t(t+1)+2(t+1)-2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则t=-.
显然t=-不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立,
因此不存在a1,d,使得a1,,,依次构成等比数列.
(3)假设存在a1,d及正整数n,k,使得,,,依次构成等比数列,则(a1+2d)n+2k=(a1+d)2(n+k),且(a1+d)n+k(a1+3d)n+3k=(a1+2d)2(n+2k).
分别在两个等式的两边同时除以及,并令t=(t>
-,t≠0),
则(1+2t)n+2k=(1+t)2(n+k),且(1+t)n+k(1+3t)n+3k=(1+2t)2(n+2k).
将上述两个等式两边取对数,得(n+2k)ln(1+2t)=2(n+k)ln(1+t),
且(n+k)ln(1+t)+(n+3k)ln(1+3t)=2(n+2k)ln(1+2t).
化简得2k[ln(1+2t)-ln(1+t)]=n[2ln(1+t)-ln(1+2t)],且3k[ln(1+3t)-ln(1+t)]=n[3ln(1+t)-ln(1+3t)].
再将这两式相除,化简得ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t) ②.
令g(t)=4ln(1+3t)ln(1+t)-ln(1+3t)ln(1+2t)-3ln(1+2t)ln(1+t),
则g'
(t)=.
令φ(t)=(1+3t)2ln(1+3t)-3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2ln(1+t),
则φ'
(t)=6[(1+3t)ln(1+3t)-2(1+2t)ln(1+2t)+(1+t)ln(1+t)].
令φ1(t)=φ'
(t),则φ1'
(t)=6[3ln(1+3t)-4ln(1+2t)+ln(1+t)].
令φ2(t)=φ1'
(t),则φ2'
(t)=>
0.
由g(0)=φ(0)=φ1(0)=φ2(0)=0,φ2'
(t)>
知φ2(t),φ1(t),φ(t),g(t)在(-,0)和(0,+∞)上均单调.
故g(t)只有唯一零点t=0,即方程②只有唯一解t=0,故假设不成立.
所以不存在a1,d及正整数n,k,使得,,,依次构成等比数列.
7.(Ⅰ)用数学归纳法证明:
①当p=2时,(1+x)2=1+2x+x2>
1+2x,原不等式成立.
②假设p=k(k≥2,k∈N*)时,不等式(1+x)k>
1+kx成立.
当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>
(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2>
1+(k+1)x,
所以p=k+1时,原不等式也成立.
综合①②可得,当x>
-1且x≠0时,对一切整数p>
1,不等式(1+x)p>
1+px均成立.
(Ⅱ)解法一 先用数学归纳法证明an>
①当n=1时,由题设a1>
知an>
成立.
②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式ak>
由an+1=an+易知an>
0,n∈N*.
当n=k+1时,=+=1+(-1).
由ak>
>
0得-1<
-<
(-1)<
由
(1)中的结论得()p=[1+(-1)]p>
1+p·
(-1)=.
因此>
c,即ak+1>
所以n=k+1时,不等式an>
也成立.
综合①②可得,对一切正整数n,不等式an>
均成立.
再由=1+(-1),可得<
1,即an+1<
an.
综上所述,an>
n∈N*.
解法二 设f(x)=x+x1-p,x≥,则xp≥c,并且
f'
(x)=+(1-p)x-p=(1-)>
0,x>
由此可得f(x)在[,+∞)上单调递增,因而,当x>
时,f(x)>
f()=.
①当n=1时,由a1>
0,即>
c可知
a2=a1+=a1[1+(-1)]<
a1,并且a2=f(a1)>
从而a1>
a2>
故当n=1时,不等式an>
ak+1>
成立,则
当n=k+1时,f(ak)>
f(ak+1)>
f(),即ak+1>
ak+2>
所以n=k+1时,原不等式也成立.
1.A 依题意,取f(x)=,则f'
(x)=,则≈+(x-x0).令x=4.001,x0=4,则≈2+×
0.001,注意到(2+×
0.001)2=4+0.001+(×
0.001)2>
4.001,即m=的近似代替值大于m,故选A.
2.C 若乙的说法错误,则甲、丙的说法都正确,而两人的说法互相矛盾,据此可得,乙的说法是正确的,即甲被录用了.故选C.
3.C 13+23=()2=()2,
13+23+33=()2=()2,
13+23+33+43=()2=()2,
…
由此归纳可得13+23+33+43+…+n3=[]2,
因为13+23+33+43+…+n3=3025,
所以[]2=3025,所以n2(n+1)2=(2×
55)2,所以n=10,故选C.
4.91 由三角形数组可推断出,第n行共有2n-1个数,且最后一个数为n2,所以第10行共19个数,最后一个数为100,左数第10个数是91.
5.n2 由1=12,1+2+1=4=22,1+2+3+2+1=9=32,1+2+3+4+3+2+1=16=42,…,归纳猜想可得1+2+…+n+…+2+1=n2.
6.
根据题意知,5288用算筹表示,从左到右依次是横式的5,纵式的2,横式的8,纵式的8,即
7.C 令操场的周长为C,则学生B每隔50秒看一次,学生A都距上一次学生B观察的位置(弧长),并在上一次位置的后面,故学生B“感觉”到学生A的运动是顺时针方向匀速后退的.
8.B 从给出的数表可以看出,该数表每行都是等差数列,其中第一行从右到左是公差为1的等差数列,第二行从右到左的公差为2,第三行从右到左的公差为4,…,即第n行从右到左的公差为2n-1,而从右向左看,每行的第一个数分别为1=2×
2-1,3=3×
20,8=4×
21,20=5×
22,48=6×
23,…,所以第n行的第一个数为(n+1)×
2n-2.显然第2017行只有一个数,其值为(2017+1)×
22017-2=
2018×
22015.故选B.
9.176 由题意可得,
N=(n,3)=n2+n;
N=(n,4)=n2+0n;
N=(n,5)=n2-n;
N(n,6)=n2-n;
由此归纳可得N(n,k)=n2+n,
故N(8,8)=×
82-×
8=176.
10.8月4日 根据甲说的“我不知道,但你一定也不知道”,可排除5月5日、5月8日、9月4日、9月6日、9月9日;
根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道,但现在我知道了”,可排除2月7日、8月7日;
根据甲接着说的“哦,现在我也知道了”,可以得知张老师生日为8月4日.
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