高等数学常用概念及公式.docx
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高等数学常用概念及公式
高等数学常用概念及公式
●极限的概念
当x无限增大(x→∞)或x无限的趋近于x0(x→x0)时,函数f(x)无限的趋近于常数A,则称函数f(x)当x→∞或x→x0时,以常数A为极限,记作:
f(x)=A或f(x)=A
●导数的概念
设函数y=f(x)在点x0某邻域内有定义,对自变量的增量Δx=x-x0,函数有增量Δy=f(x)-f(x0),如果增量比当Δx→0时有极限,则称函数f(x)在点x0可导,并把该极限值叫函数y=f(x)在点x0的导数,记为f’(x0),即
f’(x0)==
也可以记为y’=|x=x0,|x=x0或|x=x0
●函数的微分概念
设函数y=f(x)在某区间内有定义,x及x+Δx都在此区间内,如果函数的增量
Δy=f(x+Δx)-f(x)可表示成Δy=AΔx+αΔx
其中A是常数或只是x的函数,而与Δx无关,α当Δx→0时是无穷小量(即αΔx这一项是个比Δx更高阶的无穷小),那么称函数y=f(x)在点x可微,而AΔx叫函数y=f(x)在点x的微分。
记作dy,即:
dy=AΔx=f’(x)dx
●不定积分的概念
原函数:
设f(x)是定义在某个区间上的已知函数,如果存在一个函数F(x),对于该区间上每一点都满足
F’(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx
则称函数F(x)是已知函数f(x)在该区间上的一个原函数。
不定积分:
设F(x)是函数f(x)的任意一个原函数,则所有原函数F(x)+c(c为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分,记作
求已知函数的原函数的方法,叫不定积分法,简称积分法。
其中“”是不定积分的记号;f(x)称为被积函数;f(x)dx称为被积表达式;x称为积分变量;c为任意实数,称为积分常数。
●定积分的概念
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,用分点
a=x0 In= 当分点无限增加(n→∞)且所有小区间长度中的最大值λ=max{Δxi}→0时,和式In的极限,叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作,即 = 其中f(x)称为被积函数,b和a分别称为定积分的上限和下限,区间[a,b]叫积分区间,x为积分变量。 ●极限的性质及运算法则 无穷小的概念: 若函数f(x)当x→x0(或x→∞)时的极限为零,则称f(x)当x→x0(或x→∞)时为无穷小量,简称无穷小。 须要注意的是,无穷小是变量,不能与一个很小的数混为一谈。 无穷小的性质: 性质1: 有限个无穷小的代数和也是无穷小。 性质2: 有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。 推论1: 常数与无穷小的乘积也是无穷小。 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小。 无穷大的概念: 若当x→x0(或x→∞)时,函数f(x)的绝对值无限增大,则称函数f(x)当x→x0(或x→∞)时为无穷大量,简称无穷大。 注意无穷大是变量,不能与一个绝对值很大的数混为一谈;另外,一个变量是无穷大,也不能脱离开自变量的变化过程。 无穷大与无穷小的关系: 定理: 在同一变化过程中,若f(x)为无穷大,则为无穷小;反之,若f(x)为无穷小,且f(x)≠0,则就为无穷大。 极限运算法则: 法则1: lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A+B 法则2: lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=A·B 特别的: limcf(x)=c·limf(x)=c·A(c为常数) 法则3: lim==(其中B≠0) 注意用法则3求极限时: 如果分子、分母均为无穷大,可先将其变成无穷小;如果均为无穷小,就用约分及分子分母有理化来解;以上情况均可用导数的应用中的罗必塔法则求解。 两个重要极限: 重要极限1: =1==》=1 重要极限2: (1+)x=e=》(1+)()=e或=e 等价无穷小(x→0): 在求极限过程中经常使用等价无穷小互相代替 ;;;;;; ;;. ●导数的性质、求导法则及常用求导公式 连续的概念: 若函数f(x)在x0的某邻域内有定义,当x→x0时,函数的极限存在,且极限值等于函数在x0处的函数值f(x0)即f(x)=f(x0)则称函数在x0处是连续的。 连续与可导的关系: 定理: 若函数f(x)在点x0处可导,则函数在点x0处连续。 (连续是可导的必要条件,其逆命题不成立,即函数在某一点连续,但在该点不一定可导) 导数的计算步骤(按定义计算): 第一步求增量,在x处给自变量增量Δx,计算函数增量Δy,即Δy=f(x+Δx)-f(x); 第二步算比值,写出并化简比式: =;(化简比式的关键是使分式中仅分母或分子中含有Δx项,避免出现或) 第三步取极限,计算极限=f’(x) 常用基本初等函数的导数公式: ;;; ;;; ;;; ;;; ;; 导数的四则运算法则: 设u=u(x),v=v(x),则 (u±v)’=u’±v’;(cu)’=cu’; (uv)’=u’v+uv’;()’=. 反函数的导数: y=f(x)是x=φ(y)的反函数,则 y’=,即f’(x)= 复合函数求导法则: 设y=f(u),u=φ(x),则复合函数y=f[φ(x)]的导数为 =或y’x=f’u·φ’x 隐函数求导方法: 隐函数的概念针对因变量y写成自变量x的明显表达式的函数y=f(x),这种函数叫显函数;而两个变量x和y的对应关系是由一个方程F(x,y)=0所确定,函数关系隐含在这个方程中,这种函数称为由方程所确定的隐函数。 求隐函数的导数,并不需要先化为显函数(事实上也很难都显化),只需把y看成中间变量y=y(x),利用复合函数求导法则,即可求出隐函数y对x的导数。 例: 求方程x2+y2=1所确定的函数的导数。 解在方程的两端对x求导,并将y2看作x的复合函数,则 (x2+y2)’= (1)’即2x+2yy’=0,yy’=-x 得y’=- 参数方程所表示函数的导数: 如下方程组,其中t为参数 x=φ(t) y=ψ(t) 设函数φ(t)和ψ(t)都可导,且函数φ(t)存在连续反函数t=φ-1(t),当φ-1(t)≠0时,这个反函数也可导;这时y是x的复合函数 y=ψ[φ-1(t)]=f(x) 它可导,由复合函数求导法则知 y’x==== 罗必塔法则: 当x→x0(或x→∞)时,函数f(x),g(x)同时趋向于零或同时趋向于无穷大,这时分式的极限可能存在,也可能不存在。 我们称其为未定式,并记作型或,这类极限将无法用“商的极限等于极限的商”这一极限法则求出。 未定式(罗必塔法则一): ==A(或无穷大)。 若其中x→∞时,结论仍然成立。 使用罗必塔法则时,分子分母分别求导之后,应该整理化简,如果化简后的分式还是未定式,可以继续使用这个法则。 未定式(罗必塔法则二): ==A(或无穷大)。 若其中x→∞时,结论也成立。 未定式0·∞型及∞-∞型: 这两类未定式可转化为型或型。 未定式00,∞0,1∞型: 该类未定式可以通过对数转化为前面的未定式。 ●微分的运算及法则 由微分的的概念dy=f’(x)dx可知,求一个函数的微分,只要求出导数f’(x)再乘以dx就得到微分dy,因此不难由导数公式做出相应的微分公式。 例,对于y=sinx,有y’=cosx,从而dy=cosxdx。 微分的法则: 设u=u(x),v=v(x),则 d(cu)=cdu;d(u±v)=du±dv; d(uv)=udv+vdu;d()= ●不定积分的性质、基本公式及计算方法 由不定积分定义及微分知识,可直接推出不定积分的性质: 性质一: []’=f(x)或d[]=f(x)dx; 性质二: =F(x)+c; 性质三: =k(k是不为0的常数); 性质四: =±。 不定积分的基本公式(均应加上常数C): =c;;; ;;; ;; ;; ;;; ;;; ;; ;。 第一换元积分法: 设函数u=φ(x),且f(u)有原函数F(u), ∴du=φ’(x)dx(即dx=du/φ’(x))《=参见微分概念及计算 ∴==F(u)+c=F[φ(x)]+c 注意: 该公式有一个隐含的条件,即要求原积分公式中已含有φ’(x),方可在换元时代入dx=du/φ’(x)并约去φ’(x)。 提示: 该积分法的步骤是先找出适当的u=φ(x),将函数转化为关于u的积分公式,再求出关于u原函数,最后根据u与x的关系代入x。 第二换元积分法: 设函数x=φ(t)单调可微且φ’(t)≠0, ∴dx=φ’(t)dt《=参见微分概念及计算 ∴==F(t)+c=F[φ-1(x)]+c 提示: 该积分法的步骤是先找出适当的x=φ(t),将函数转化为关于t的积分公式,再求出关于t原函数,最后根据x与t的关系代入x。 分部积分法: 设函数u=u(x),v=v(x)具有连续导数,则 =uv-《=解题时这个为u不行就换那个为u 提示: 运用此公式有时可以使难求的不定积分转化为易求的不定积分,从而得所求结果。 ●定积分的性质及计算方法: 性质一: =k(k为常数); 性质二: =b-a; 性质三: =±; 性质四: 若把区间[a,b]分为两个区间[a,c]与[c,b],则 19、细胞也是生物最基本的功能单位,生物的呼吸、消化、排泄、生长、发育、繁殖、遗传等生命活动都是通过细胞进行的。 =+ 注意: c有任意性,可在[a,b]之外; 性质五: 若f(x)与g(x)在[a,b]上有f(x)≤g(x),则 8、对生活垃圾进行分类和分装,这是我们每个公民应尽的义务。 ≤; 性质六: 若M,m分别是f(x)在[a,b]上的最大值和最小值,则 m(b-a)≤≤M(b-a)《=估值定理 性质七: 若f(x)在[a,b]上连续,则至少有一点ξ∈(a,b),使得 14、在显微镜下观察物体有一定的要求。 物体必须制成玻片标本,才能在显微镜下观察它的精细结构。 =f(ξ)(b-a)《=定积分中值定理,求平均值。 19、细胞也是生物最基本的功能单位,生物的呼吸、消化、排泄、生长、发育、繁殖、遗传等生命活动都是通过细胞进行的。 牛顿—莱布尼兹公式: 若f(x)在[a,b]上连续,F(x)是f(x)的一个原函数,则 =F(x)=F(b)-F(a) 1、世界是由物质构成的。 我们身边的书、橡皮、电灯、大树、动物、植物包括我们自己都是由物质构成的。 可见,计算定积分,先用不定积分的方法求出一个原函数,然后把上、下限a,b代入原函数作减法运算。 换元积分法: 设函数x=φ(t),则dx=φ’(t)dt,若满足: (1)、当t=α时,x=a;当t=β时,x=b; 答: 我们在水中可发现变形虫、鼓藻、草履虫、船形硅藻等。 (2)、当t在[α,β]上取值时,φ(t)的变化单调且范围是[a,b],则 答: 可以,馒头中也含有淀粉,淀粉在咀嚼的过程中发生了变化,变得有甜味了。 ==F(t) 9、淡水是我们人类和其他生物生存的必需品,但是地球上的淡水资源十分有限,地球上的多数地区缺水。 提示: 运用此公式时,要同时换上下限,新的积分上、下限代入自变量t的原函数相减即可,不必再回到原来的积分变量x。 2、1969年7月,美国的“阿波罗11号”载人飞船成功地在月球上着陆。 分部积分法: 设函数u(x),v(x)在[a,b]上有连续的导数u’(x)、v’(x),则 =[u(x)v(x)]- 23、我国是世界上公认的火箭的发源地,早在距今1700多年前的三国时代
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