第八章一元一次不等式整章教案.docx
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第八章一元一次不等式整章教案
第八章一元一次不等式
8.1认识不等式
教学目标
1.知道不等式的定义。
2.理解不等式的解和方程的解的异同。
3.会根据问题列不等式。
4.会将实际问题抽象成数学问题,并用学到的知识解决问题,从而培养学生分析问题、解决问题的能力。
教学重难点
重点:
不等式的定义、不等式的解及列不等式。
难点:
总结归纳不等式及不等式的解。
教学过程
一、创设问题情境。
公园(或本地区的某个旅游景点)的票价是每人5元。
团体参观旅游优惠,一次购票满30张,每张票可少收1元。
某班有27名学生去公园进行参观活动,假如要你去买票,请问你打算买多少张?
你向每位学生收多少钱?
这里可先由学生自己思考,是买27张还是买30张?
然后让学生自己算一算。
买27张票,要付款:
5×27=135元。
买30张票,要付款:
4×30=120元。
引导学生:
你说是买30张票花钱少还是买27张票花钱少?
通过计算发现,用120元就可以买到30张票,而用135元却只能买到27张票,是什么原因?
列出两个不等式:
27张<30张,
135元>120元。
二、探索学习。
1.我们继续探讨上面的问题。
问题1:
我们只用120元买了30张票,我们是不是就买30张票?
请大家讨论。
如果买30张票,我们不仅省钱,而且多买了票,那剩下的票怎么办?
是卖掉?
扔掉?
还是送给困难的学生和门外的一些穷人?
从而培养学生怜贫悯苦的友爱之心。
(对学生进行思想教育。
)
问题2:
买30张票比买27张票付的款还要少,这是不是说多买票反而花钱少?
如果你一个人去参观,是不是也买30张呢?
请你计算10人、20人、21人、22人、23人、24人、25人、26人……去的时候,分别要付多少钱?
人数
10
20
21
22
23
24
25
26
27
所付钱数
50
100
105
110
115
120
125
130
135
从这些计算中,你能发现什么问题?
问题3:
至少要有多少人去参观,多买票反而便宜?
能否用数学知识来解决?
引导学生分析。
设有。
人要去公园参观。
(1)如果x≥30,则按实际人数买票,每张票只要付4元。
(2)如果x<30,那么:
按实际人数买票。
张,要付款5x元;买30张票要付款4×30=120元。
如果买30张票合算,则120<5x。
问题4:
x取哪些数值时,上式成立?
(1)你能否结合前面学的解方程的知识,尝试解这个不等式。
(2)列表计算。
X
5X
比较120与5X的大小
120<5X成立吗?
21
22
23
24
25
26
…
…
…
…
问题5:
由上表可知,当x=25,26,27,28,…时,也就是说,至少要有25人进公园时,买30张合算。
即当x>24时,5x,120。
2.概括总结。
(1)像上面出现的135>120,27<30,5x>20,x<30那样用不等号“<”或“>”表示不等关系的式子,叫做不等式。
不等号有:
<、>、≠、≤、≥。
(2)不等式120<5x中含有未知x。
能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。
不等式的解可以有无数个。
如上例中,x=25,26,27,…等都是120<5x的解,x=24,23,22,21则都不是不等式的解。
三、应用举例。
例1用不等式表示:
(1)x是负数;
(2)x是非负数;
(3)x的一半小于-1。
(4)x与4的和大于0.5。
(这几个题可先让学生同桌之间互相讨论,再指名学生回答,最后让学生自己纠正。
)
注意强调非负数的意义。
例2列不等式:
(1)一个数的绝对值不小于0。
(2)两数积的2倍不大于这两数的平方和。
注意:
“不大于、不小于”的意义,教学时应让学生熟悉其含义,并可让学生举几个例子。
四、巩固练习。
1.课本第56页练习的第l、2、3题。
五、课堂小结。
这节课你学了哪些内容?
你有哪些收获或感受?
还有哪些需要老师和同学们帮你解决的问题,
你有没有新的解法和思路要告诉大家?
你还有什么新的见解?
六、布置作业。
1.课本第42页习题8.1的第1、2、3题。
8.2解一元一次不等式
1、不等式的解集
教学目标
1.理解不等式的解集和解不等式解集的概念,会用数轴表示不等式的解集。
2.通过观察、比较、归纳,培养学生分析解决问题的能力和数形结合能力。
3.培养学生认真探究问题的良好习惯。
教学重难点
重点:
不等式的解集和用数轴表示不等式的解集。
难点:
理解不等式的概念。
教学过程
一、复习活动。
1.什么是方程的解?
2.什么叫不等式?
3.判断0、1、2、3、0.5、100、-0.6是不是不等式2x-1>-3的解?
(通过复习旧知识,引入不等式解集,对比学习。
)
二、学习讨论。
我们通过上面的复习,你发现了什么问题?
指名学生回答,其他学生补充、归纳、总结不等式的解与一元一次方程的解的区别、联系。
(提出问题让学生自学、交流,养成良好的学习习惯。
让学生回答、交流,培养学生的“说数学的习惯。
)
三、学习探究。
1.问题:
不等式2x-1>-3有多少个解?
方程2x-1=-3有几个解?
让学生展开讨论、交流,找出其相同和不同之处。
不等式2x-1>-3的解既然有若干个,我们可以将这些解集合起来,组成这个不等式的解集。
2.归纳总结。
一个不等式的所有解,组成这个不等式的解的集合,简称为这个不等式的解集。
让学生形象地说明或解释不等式的解集。
3.什么叫解不等式?
类比什么叫解方程,得出:
求不等式的解集的过程,叫做解不等式。
4.我们学的有理数可以用数轴上的点来表示,那么x>3、x≤3、x<3、x≥3该分别怎样在数轴上表示出来?
由学生在黑板上演示,或用几何画板演示。
观察讨论x>3、x≤3、x<3、X≥3有什么区别?
在数轴上怎样表示?
三、应用举例。
例1比较两个不等式x≥2和x≤2的解集,它们有什么不同?
在数轴上表示它们的不同。
(由学生自由讨论,并在练习本上画出来。
)
例2你能看出在数轴上所表示的不等式的解集是什么吗?
(此两题的目的在于培养学生由数到形和由形到数结合的能力,发展学生的逆向思维能力和从多个角度思考问题的习惯。
)
四、巩固练习。
课本第44页练习第1、2、3题。
五、拓展延伸。
不等式-2 它有哪些整数解? 六、开放性练习。 请你在数轴上表示出不等式-3 七、课堂小结。 这节课你学习了哪些知识? 你有什么收获? 八、作业。 课本第49页的2题 补充习题。 2、不等式的简单变形 教学目标 1.掌握不等式的三个基本性质。 2.运用不等式的三个性质对不等式变形。 3.通过不等式基本性质的推导,培养学生观察、归纳的能力。 教学重难点 重点: 不等式的基本性质和简单不等式的解法。 难点: 不等式的性质3。 教学准备天平、重物 教学过程 一、复习活动。 1.方程的基本性质是什么? 2.解一元一次方程的一般步骤是什么? 二、创设问题情境。 1.一架倾斜的天平两边分别放有重物,其质量分别为a和b(虽然有 a>b),如果在两边盘内分别加上等量的砝码,则盘子仍然像原来那样倾斜。 若两边再加上和原来同样多的物体,天平的倾斜程度仍然不变。 即: a>ba+c>b+c, a>b2a>2b。 2.爸爸的年龄a比儿子的年龄b大,再过10年,爸爸的年龄仍比儿子年龄大,即: a>ba+10>b+10。 由这两个问题引入新课,也可根据另外一些实际问题或由学生举些类似的例子引入。 三、探索学习。 1.不等式的性质1如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c 用语言叙述为: 不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。 (由学生通过实际问题,研究、讨论其中所蕴含的数学思想、方法、规律,渗透概括、归纳的方法。 ) 2.问题1: 你能否用上面的实例说明如果a>b,那么a-c>b-c。 (在天平的两边都去掉等量的物体,天平的倾斜程度不变) 3.问题2: 不等式的两边都乘以(或除以)同一个不为。 的数,不等号的方向是否也不变呢? 探索观察。 将不等式5>2的两边都乘以同一个不为0的数,比较所得结果。 用“<”或“>”填空: 5×3()2×3,5×4()2×4,5×(-2)()2×(-2), 5×(-0.5)()2×(-0.5),5÷3()2÷3,5÷4()2÷4, 5÷(-2)()2÷(-2),5÷(-0.5)()2÷(-0.5), 提问: 你能从中发现什么? (不要急于拿出结论,而要给学生充分的计算、比较、分析、思考和讨论的时间,让学生充分认识到这个规律。 ) 4.概括得到以下二个不等式性质: 不等式的性质2如果a>b,并且c>0,那么ac>bc。 用语言表述为: 不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。 不等式的性质3如果a>b,并且c<0,那么ac<bc。 用语言表述为: 不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。 5.和方程的性质相比较。 6.问题4: “在不等式两边乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向不变。 ”请你举例说明是错误的。 (让学生充分举例,真正掌握不等式性质3。 ) 四、应用举例。 与解方程一样,解不等式的过程,就是求不等式的解集,即将不等式变形成x>a或x<a的形式。 例1解不等式: (1)x-7<8; (2)3x<2x-3。 (分别与解方程x-7=8,3x=2x-3相比较。 ) (让学生比较解方程和解不等式有什么区别? 有什么相同之处? ) 解不等式中的移项和解方程中的移项相同吗? 你能否用移项来进行不等式的变形? 例2解不等式: (1) x>-3; (2)-2x<6。 (让学生比较解方程和与解不等式有何相似或不同之处。 ) 不等式 (1)和 (2)有什么不同之处? 五、巩固练习。 1.课本第47页练习。 六、拓展延伸。 1.已知a>b,能否推出ac2>bc2? 2.已知ac2>bc2,能否推出a>b? 3.已知x>5,能否推出2x-3>7 4.已知x<2,能否推出3-2x>-1 培养学生逆向思维能力和从多个角度思考问题的能力 七、课堂小结。 不等式的基本性质是什么? 和方程的基本性质相比,有什么相同和不 同之处? 本节课有什么收获? 八、布置作业。 课本第49页的1、3题 补充作业。 3、解一元一次不等式 (1) 教学目标 1.了解什么是一元一次不等式。 1.掌握一元一次不等式的一般解法。 3,会在数轴上表示不等式的解集。 4.通过类比一元一次方程的解法和一般步骤,掌握一元一次不等式的解法和一般步骤,培养学生合情推理能力。 教学重难点 重点: 一元一次不等式和解一元一次不等式的一般步骤。 难点: 一元一次不等式的解法。 教学过程 一、复习活动。 1.什么叫一元一次方程? 2.已知(m-1)(x-1)m2+3=0是一元一次方程,则m=( )。 3.解一元一次方程的一般步骤是什么? 4.解方程: (1)2x-1=4x+13; (2)2(5x+3)=x-3(1-2x); (3) -1= 二、导入新课。 我们已经学习了一元一次方程和它的解法,那么什么是一元一次不等式? 怎样解一元一次不等式? 它和一元一次方程有什么区别和联系? 三、学习探索。 1.先让学生举出自己认为是一元一次不等式的例子? 并把它们写在黑板上,然后引导学生分析,哪些不是? 哪些是? 再分析所列不等式的特点,归纳得出一元一次不等式的定义。 (1)只含有一个未知数; (2)含有未知数的式子是整式; (3)未知数的次数是1。 符合这三个条件的不等式才是一元一次不等式。 举反例对比,加深学生印象。 如: 2x+y>3,2x2-3x-2<0, >x 2.怎样解一元一次不等式? 刚才你是怎样解的方程? 能否参照一元一次方程的解法,尝试解下列一元一次不等式? 例3解下列不等式,并将解集在数轴上表示出来。 (1)2x-1<4x+13; (2)2(5x+3)≤x-3(1-2x)。 3.练习巩固。 课本第48页练习第1题。 例4当x取何值时,代数式 的值与 的差不大于1? 4.总结概括。 (根据例3、例4讨论解一元一次不等式的一般步骤和系数化为1时应注意的问题。 ) 解一元一次不等式的一般步骤为: (1)去分母; (2)去括号; (3)移项; (4)合并同类项; (5)系数化为1。 四、巩固练习。 课本第48页练习第2、3题。 五、拓展延伸。 1.若ax-3>0的解集是x<-1,则x的值是多少? 2.怎样解不等式: - >1? (先利用分数的基本性质,把分子、分母都乘以100,再去分母。 ) 六、看谁做得又快又正确? 七、课堂小结。 这节课你学了哪些内容? 你有哪些收获或感受? 还有哪些需要老师和同学们帮你解决的问题? 你有没有新的解法和思路要告诉大家? 你还有什么新的见解? 八、布置作业。 补充作业。 课本第50页的4、5题 4、解一元一次不等式 (2) 教学目标 1.复习巩固一元一次不等式的解法。 2.应用解不等式知识解决实际问题。 3.通过解不等式的知识在实际中的应用,培养学生分析解决问题的能力和数学建模能力。 教学重难点 重点: 解一元一次不等式。 难点: 列一元一次不等式及分类讨论的思想。 教学过程 一、复习活动。 1.举例说明什么样的不等式是一元一次不等式? 2.解下列不等式: (])-4x≥-16; (2)-3x-5≥2x; (3) ≤ +1 (4)已知ax-a≤0的解集是x≤1,则a的取值范围是()。 (让学生独立练习、解答,教师指导纠正。 ) 二、导入新课。 我们已经学会了解一元一次不等式,那么就可用解不等式的知识解决一些问题。 三、探究学习。 1.探索。 例1求不等式 +x<5的正整数解。 2.讨论,总结。 求不等式的特殊解的方法和步骤是什么? 你能不能用自己的话来叙述一下? 通过讨论得出这类题目的解法是: 先求出不等式的解集,再从中找出正整数解或负整数解、非负整数解等。 四、巩固练习。 在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题,对于每一道题,答对得10分,答错或不答扣5分,总得分不少于80分者通过预选赛。 育才中学25名学生通过了预选赛,他们分别可能答对了多少道题? 先让学生自己思考,怎样解决这个问题? 再和学生一起操讨,然后在班内交流解题的方法。 最后教师引导指出可以用列表进行分析的方法;(也可以用先猜测,然后验证的方法。 也可以采取逐个验证的方法。 ) (1)列表分析。 题目 对 错或不答 合计 个数 x 20-x 20 分数 10x 5(20-x) 10x-5(20-x) (2)逐个验证。 对的道数 错或不答的道数 分数 20 0 200 19 1 185 18 2 170 17 3 155 … … … 五、拓展延伸。 火车站有某公司待运的甲种货物1530吨,乙种货物1150吨,现计划用50节A、B两种型号的货厢将这批货物运至北京。 巳知每节A型货厢的运费是0.5万元,每节B型货厢的运费是0.8万元;甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢,甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢。 按此要求安排A、B两种货厢的节数,共有哪几种方案? 请你设计出来,并说明哪种方察的运费最少? 六、巩固练习。 课本第49页练习第1、2题。 七、课堂小结。 如何求不等式的特殊解? 应用解不等式解决实际问题的方法和步骤是什么? 谈自己的收获和体会。 八、布置作业。 课本第50页的6、7题。 13.3一元一次不等式组 教学目标 1.掌握一元一次不等式组和一元一次不等式组的解集的概念。 2.会求一元一次不等式组的解集,并会把解集在数轴上表示出来。 3.会列一元一次不等式组解应用题。 4.通过方程与不等式的解集及其解法的对比,培养学生观察及分析和解决问题的能力。 教学重难点 重点: 一元一次不等式组及其解集的概念和解法。 难点: 一元一次不等式组的解法及其应用。 课时安排 2课时 教学过程 第一课时 一、复习活动。 1一什么叫方程的解? 2.解一元一次不等式的一般步骤是什么? 3.解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来。 (1)3x-1>2x+1; (2)3-x≤1。 (为解不等式组做铺垫。 ) 二、导入新课。 让学生看课本中的问题3。 用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水,估计积存的污水在1200吨到1500吨之间,那么大约需要多少时间才能将污水抽完? 三、探索学习。 1.分析。 因为每分钟抽水30吨,所以设需要。 分钟才能将污水抽完,则x分钟抽的水是30x吨。 由题意可知,积存的污水在1200吨到1500吨之间,因此可列不等式组为: 1200≤30x≤1500 或 30x≥1200 30x≤1500 (这个过程可以让学生自己来说,如果有的学生说不明白,可让其他学生补充,或者教师点拨、启发。 ) 2.引人一元一次不等式组的概念。 由两个或两个以上的一元一次不等式合在一起,就得到了一个一元一次不等式组。 注意: (1)1200≤30x≤1500是不等式组的另一种形式。 (2)一元一次不等式组中的不等式可以有多个,但必须都是一元一次不等式。 3.不等式组的解集。 不等式组的解应使不等式组中各个不等式都成立。 因此不等式组的解 集应是不等式组中各个不等式的解集的公共部分。 4.练习。 让学生分别求出上面所列的不等式组中各个不等式的解集,并把各个解集在数轴上表示出来。 解: 解不等式①得: x≥40 解不等式②得: x≤50。 那么,这个不等式组的解集是什么? (让学生展开讨论,然后总结出不等式组的解集庄为两个不等式解集的公共部分。 这个解集可以通过数轴直观地表示出来。 ) 让学生画数轴表示这两个不等式的解集的公共部分,找出不等式组的解集。 这两个不等式的解集在数轴上表示为: 因此这个不等式组的解集为: 40≤x≤50 即所提问题的答案为: 大约需要40到50分钟才能将污水抽完。 5.概括总结。 (1)几个不等式的解集的公共部分,叫做由它们所组成的不等式组的解集。 把下列不等式组中两个不等式的解集分别在同一数轴上表示出来,并观察其公共部分 x>2 x≤3 x<3 X<1 线段型(2 结论: 几个不等式解集的公共部分叫做由它们所组成不等式组的解集。 (2)解一元一次不等式组的方法。 步骤: 先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分。 找公共部分时,可以借助于数轴来帮助我们直观表示一元一次不等式组的解集。 四、举例及应用。 例1解不等式组: 3x-1>2x+1 ① 2x>8 ② 分析思路点拨: 此题实际上是求各个不等式的解集的公共部分,故应先分别求出每个不等式的解集,而后在数轴上表示出每个不等式的解集,确定出不等式组的解集。 解: 解不等式①,得x>4 解不等式②,得x>-2 在数轴上表示不等式①,②的解集 (观察: 数轴上解集的公共部分) 所以,原不等式组的解集是x>4 让学生板演。 练习: 解不等式组: 五、看谁做得又快又对。 课本第52页练习第1、2、3、4题。 六、拓展延伸。 五: 反馈测评 六、课堂小结。 一元一次不等式组的概念,一元一次不等式组的解集和解法。 七、布置作业。 课本第54页题第1题。 第二课时 一、复习活动。 把下列不等式组的解集在数轴上表示出来。 二、导入新课。 我们已经知道不等式组以及如何解不等式组,那么不等式组在数学中和实际中又有哪些应用呢? 三、新课学习。 1、例2 解不等式组: 2x+1<-1 ① 3-x≤-1 ② 根据上节课学习的解一元一次不等式组的步骤,让学生自己练习,求出这个不等式组的解集。 指名学生到黑板板演。 解集为: 因为两个不等式的解集没有公共部分,所以这个不等式组的解集是空集,或者说这个不等式组无解。 2.练习。 (完善解题步骤。 ) 3.课本第66页的问题4。 我们已经会解不等式组,那么请你用所学知识解答该问题。 小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板,爸爸体重为72千克,坐在跷跷板的一端;体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端。 这时,爸爸的一端仍然着地。 后来。 小宝借来一副质量为6千克的哑铃,加在他和妈妈坐的一端,结果,爸爸被跷起离地。 猜猜小宝的体重约是多少千克? (精确到1千克) 教师引导分析得出: 妈妈的体重;小宝的体重的2倍, 妈妈的体重+小宝的体重<爸爸的体重, 妈妈的体重+小宝的体重+6千克哑铃>爸爸的体重。 然后让学生列不等式组求解。 解: 设小宝的体重为x千克,则妈妈的体重为2x千克。 由题意得: x+2x<72 ① x+2x+6>72 ② 解不等式①得: x<24 解不等式②得: x>22 在数轴上表示为: 所以不等式组的解集为: 22<x<24。 所以小宝的体重约为13千克。 (也可以让学生用算术法解这个题。 让学生自己讨论、思考,发表自己的见解和自己的解法。 ) 三、巩固练习。 三角形的三边长分别是4、7、1-2a,求a的取值范围。 四、拓展延伸。 已知y=2x-1,当y取什么值时,-3≤x≤7? 五、课堂小结。 1.不等式组的解集的四种情况。 2.用数轴表示不等式组的解集。 3.解不等式组在实际中的应用。 六、布置作业。 课本第54页习题的第2、3题。
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