随机信号与系统第五章习题部分答案文档格式.docx
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假定输入x(t)是一零均值的高斯白噪声,其功率谱为Sx(f)=N0,试求该线性系统输出响应y(t)的功率谱和协方差函数。
系统的频率响应函数为
则
而输出响应y(t)的功率谱
,所以该线性系统输出响应y(t)的功率谱为
可见y(t)的功率谱不是常数,所以输出响应y(t)不再是白噪声。
y(t)的自相关函数为
∴直流分量功率
∴输出响应y(t)的协方差函数
5-4请分别用Levinson递推算法和Burg算法估计信号
的功率谱。
式中,f1=150Hz,f2=200Hz,f3=210Hz;
e(t)是方差为0.1的白噪声过程。
MATLAB程序如下:
f1=150;
f2=200;
f3=210;
%信号频率f1,f2,f3;
Fs=1000;
N=155;
%采样频率Fs,序列点数N;
k=0:
1/Fs:
N/Fs;
x=cos(2*pi*f1*k)+cos(2*pi*f2*k)+cos(2*pi*f3*k)+randn(size(k));
%xk序列
R=zeros(1,N+1);
%相关函数初始化,R0=R
(1)
%估计xk的相关函数
form=1:
N+1
RXm=0;
fork=1:
N+2-m
RX=x(k+m-1)*x(k);
RXm=RXm+RX;
end
R(m)=RXm/N;
end
a=zeros(N+1,N+1);
sigma2=zeros(1,N+1);
%参数ak和估计量方差k2
FPE=zeros(1,N+1);
%最终预测误差准则FPE
%计算一阶AR模型的未知参数
sigma2
(1)=R
(1);
a(1,1)=-R
(2)/R
(1);
sigma2
(2)=(1-(abs(a(1,1)))^2)*sigma2
(1);
FPE=sigma2
(2)*(N+2)/N;
%一阶AR模型的最终预测误差FPE
%Levinson递推算法
fork=2:
N
RXk=0;
form=1:
k-1
aRX=a(k-1,m)*R(k-m+1);
RXk=RXk+aRX;
a(k,k)=-(R(k+1)+RXk)/sigma2(k);
a(k,m)=a(k-1,m)+a(k,k)*a(k-1,k-m);
sigma2(k+1)=(1-(abs(a(k,k))^2))*sigma2(k);
FPE(k)=sigma2(k+1)*(N+k+1)/(N-k+1);
%k阶AR模型的最终预测误差FPE
%确定AR模型阶次
min=FPE
(1);
ifFPE(k)<
min
min=FPE(k);
p=k;
disp(‘输出模型阶次p'
);
disp(p);
disp(‘输出AR(p)模型参数a'
fork=1:
p
disp(a(p,k));
disp(‘估计量协方差sigma2'
disp(sigma2(p+1));
%AR谱估计
H=0;
W=0:
0.01:
pi;
H=H+a(p,k).*exp(-j*k*W);
Sx=sigma2(p+1)./((abs(1+H)).^2);
f=W*Fs/(2*pi);
%将角频率转化为频率
figure
(1);
plot(f,10*log10(Sx));
grid%打印对数功率谱
AR模型阶次p
AR模型参数a^k
估计量方差^e2
18
-0.07140.19570.26040.0682-0.0729-0.04420.0944
-0.0318-0.05080.04000.0610-0.01260.0217-0.0647
0.03560.15520.22560.1565
1.2218
Burg算法程序:
%信号频率f1,f2,f3;
%采样频率Fs,序列点数N;
%相关函数初始化,R0=R
(1)
%参数ak和估计量方差?
k2
%一阶AR模型的最终预测误差FPE
%k阶AR模型的最终预测误差FPE
order=p;
nfft=1024;
pburg(x,order,nfft,Fs);
disp('
输出模型阶次p'
输出AR(p)模型参数a'
估计量协方差sigma2'
%将角频率转化为频率
figure
(1);
21
-0.08940.22980.17810.0509-0.02290.07120.05520.0289-0.0208-0.04470.04460.0561-0.1492-0.1268-0.0370-0.0770-0.01040.1107-0.2329-0.1407-0.1359
1.4160
5-5分别考虑表p5-1和表p5-2所给出的时间序列值。
(1)已知表p5-1所给出序列的数学模型为
式中,ek是均值为零、方差为0.5的高斯白噪声。
试分别按DFT和AR谱估计方法,估计该时间序列的功率谱,并比较二者的异同之处。
(2)已知表p5-2所给出序列的数学模型为
式中,ek是均值为零、方差为0.7的高斯白噪声。
表p5-1(习题5-5)
序列号k
序列值xk
1
2
3
4
5
6
4.200
5.800
6.900
7.620
5.570
3.340
2.000
7
8
9
10
11
12
13
1.700
2.020
2.710
3.630
5.180
7.110
8.260
14
15
16
17
19
20
7.960
6.780
5.070
5.040
6.020
7.610
10.320
表p5-2(习题5-5)
10.5
10.1
8.8
9.9
11.3
12.2
9.8
9.7
9.5
8.9
8.2
10.2
8.4
9.6
10.6
11.1
4.7
(1)DFT法估计该序列的功率谱程序如下:
x=[4.2005.8006.9007.6205.5703.3402.0001.7002.0202.7103.6305.1807.1108.2607.9606.7805.0705.0406.0207.61010.320];
Nfft=21;
Fs=100;
XN=fft(x,Nfft);
Pxx=10*log10(abs(XN.^2)/(Nfft+1));
f=Fs*(0:
length(Pxx)-1)/length(Pxx);
plot(f,Pxx);
xlabel('
频率'
),ylabel('
功率/dB'
),title('
功率谱'
grid;
得到的功率谱图像为
由数学模型,知该序列为MA
(1)序列,AR法估计该序列的功率谱程序如下:
N=20;
x=[4.2005.8006.9007.6205.5703.3402.0001.7002.0202.7103.6305.1807.1108.2607.9606.7805.0705.0406.0207.61010.320];
R=zeros(1,3);
RXm=0;
fork=1:
RX=x(k+m-1)*x(k);
RXm=RXm+RX;
end
R(m)=RXm/(N+1-m);
a=zeros(2,2);
sigma2=zeros(1,3);
a(2,2)=-(R(3)+a(1,1)*R
(2))/sigma2
(2);
a(2,1)=a(1,1)+a(2,2)*a(1,1);
sigma2(3)=(1-(abs(a(2,2))^2))*sigma2
(2);
H=H+a(2,k).*exp(-j*k*W);
Sx=sigma2(3)./((abs(1+H)).^2);
grid
与DFT法相比,图像更为平滑。
(2)DFT法估计该序列的功率谱程序如下:
x=[10.510.18.89.911.312.211.39.89.79.5108.98.210.28.88.49.610.210.611.14.7];
由数学模型,知该序列为MA
(1)序列,MA法估计该序列的功率谱程序如下:
x=[10.510.18.89.911.312.211.39.89.79.5108.98.210.28.88.49.610.210.611.14.7];
R=zeros(1,2);
fork=2:
RX=x(k+1-m)*x(k);
R(m)=RXm/N;
b=-(2*sqrt((R
(1))^2-(R
(2))^2)-2*R
(1))/(2*R
(2));
sigma2=R
(1)+0.5*b*R
(2);
W=0:
H=b.*exp(-j*W);
Sx=sigma2.*((abs(1+H)).^2);
5-6设观测方程为
其中,ek是均值为零、方差为1的高斯白噪声。
试用最小二乘法估计随机序列xk的AR模型参数(模型阶次分别取4和6);
并分别用DFT和AR谱估计方法,估计正弦信号分量的频率及其统计结果(均值和方差)。
程序如下(利用burg算法实现)
clearall
N=512;
f1=0.20;
f2=0.215;
n=1:
N;
x(n)=6*sin(2*pi*n*f1)+sin(2*pi*n*f2)+randn(size(n));
subplot(2,1,1);
plot(n,x(n));
n'
ylabel('
x(n)'
title('
两个正弦信号与白噪声叠加的时域波形'
p=input('
InputaNumber>
'
)
ef=zeros(p,N);
eb=zeros(p,N);
de=zeros(p,p);
ef(1,:
)=x(n);
eb(1,:
cov
(1)=x*x'
/N;
k
(1)=0;
form=2:
p+1
mol=0;
den=0;
forn=m:
mol=mol+(-2)*ef(m-1,n)*eb(m-1,n-1);
den=den+(ef(m-1,n))^2+(eb(m-1,n-1))^2;
k(m)=mol./den;
de(m,m)=k(m);
h
(1)=cov
(1)*(1-de(1,1)^2);
ef(m,n)=ef(m-1,n)+k(m).*eb(m-1,n-1);
eb(m,n)=eb(m-1,n-1)+k(m).*ef(m-1,n);
k=k(1,2:
p+1);
de=de(2:
p+1,2:
fori=1:
m-1
de(m,i)=de(m-1,i)+k(m)*de(m-1,m-i);
h(m)=h(m-1)*(1-k(m)^2);
z=de(p,:
s=[1,z];
n=(0:
511)/512;
Hw=fft(s,512);
subplot(2,1,2);
plot(n,h(p)./abs(Hw).^2);
频率(Hz)'
10log(PSD)'
基于burg算法的功率谱估计'
运行结果:
P=4
P=6
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- 随机 信号 系统 第五 习题 部分 答案
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