学年度最新苏教版高中数学苏教版必修一学案312 指数函数一Word文件下载.docx
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③ax的系数必须为1;
④指数函数等号右边不会是多项式,如y=2x+1不是指数函数.
知识点二 指数函数的图象和性质
思考 函数的性质包括哪些?
如何探索指数函数的性质?
梳理 指数函数y=ax(a>
0,且a≠1)的图象和性质
a>
1
0<
a<
图象
性质
(1)定义域:
R
(2)值域:
(0,+∞)
(3)图象过定点(0,1)
(4)在(-∞,+∞)上是单调增函数
在(-∞,+∞)上是单调减函数
类型一 求指数函数的解析式
例1 已知指数函数f(x)的图象过点(3,π),求函数f(x)的解析式.
反思与感悟
(1)根据指数函数的定义,a是一个常数,ax的系数为1,且a>
0,a≠1.指数位置是x,其系数也为1,凡是不符合这些要求的都不是指数函数.
(2)要求指数函数f(x)=ax(a>
0,且a≠1)的解析式,只需要求出a的值,要求a的值,只需一个已知条件即可.
跟踪训练1 已知指数函数y=(2b-3)ax经过点(1,2),求a,b的值.
类型二 求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域
命题角度1 f(ax)型
例2 求下列函数的定义域、值域.
(1)y=
;
(2)y=4x-2x+1.
反思与感悟 解此类题的要点是设ax=t,利用指数函数的性质求出t的范围.从而把问题转化为y=f(t)的问题.
跟踪训练2 求下列函数的定义域与值域.
(2)y=
(a>
0,且a≠1).
命题角度2 af(x)型
例3 求函数y=
的定义域、值域.
反思与感悟 y=af(x)的定义域即f(x)的定义域,求y=af(x)的值域可先求f(x)的值域,再利用y=at的单调性结合t=f(x)的范围求y=at的范围.
跟踪训练3 求下列函数的定义域、值域.
(1)y=0.3
(2)y=3
.
类型三 指数函数图象的应用
命题角度1 指数函数整体图象
例4 试画出y=2x+1的图象,指出它与y=2x的图象的关系.
反思与感悟 函数y=ax的图象主要取决于0<
1还是a>
1.但前提是a>
0且a≠1.在此基础上通过平移、伸缩对称等变换,可得到一些常遇到的函数图象.
跟踪训练4 已知函数f(x)=4+ax+1的图象经过定点P,则点P的坐标是________.
命题角度2 指数函数局部图象
例5 若直线y=2a与函数y=|2x-1|的图象有两个公共点,求实数a的取值范围.
反思与感悟 指数函数是一种基本函数,与其他函数一道可以衍生出很多函数,本例就体现了指数函数图象的“原料”作用.
跟踪训练5 试画出函数y=a|x|(a>
1)的图象.
1.下列各函数中,为指数函数的是________.(填序号)
①y=(-3)x;
②y=-3x;
③y=3x-1;
④y=(
)x.
2.若函数y=(2a-1)x(x是自变量)是指数函数,则a的取值范围是________.
3.函数y=3-x2的值域是________.
4.函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b均为常数,则a,b的取值范围分别是________.
5.函数f(x)=
+
的定义域为________.
1.判断一个函数是不是指数函数,关键是看解析式是否符合y=ax(a>0,且a≠1)这一结构形式,即ax的系数是1,指数是x且系数为1.
2.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的性质分底数a>1,0<a<1两种情况,但不论哪种情况,指数函数都是单调的.
3.由于指数函数y=ax(a>
0,且a≠1)的定义域为R,即x∈R,所以函数y=af(x)(a>0,且a≠1)与函数f(x)的定义域相同.
4.求函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的值域的方法如下:
(1)换元,令t=f(x),并求出函数t=f(x)的定义域;
(2)求t=f(x)的值域t∈M;
(3)利用y=at的单调性求y=at在t∈M上的值域.
答案精析
问题导学
知识点一
思考 y=2x.它的底为常数,自变量为实数,在指数位置,而y=x2恰好反过来.
梳理 函数y=ax(a>
0,a≠1) R
知识点二
思考 函数的性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性.可以通过描点作图,先研究具体的指数函数性质,再推广至一般.
题型探究
例1 解设f(x)=ax,将点(3,π)代入,得到f(3)=π,
即a3=π,解得a=
,于是f(x)=
跟踪训练1 解 由指数函数定义可知2b-3=1,即b=2.
将点(1,2)代入y=ax,得a=2.
例2 解
(1)函数的定义域为R(∵对一切x∈R,3x≠-1).
∵y=
=1-
,
又∵3x>
0,1+3x>
1,
∴0<
<
1,∴-1<
-
0,
1-
1,∴值域为(0,1).
(2)函数的定义域为R,
y=(2x)2-2x+1=(2x-
)2+
∵2x>
0,∴2x=
,即x=-1时,y取最小值
,同时y可以取一切大于
的实数,
∴值域为[
,+∞).
跟踪训练2 解
(1)∵1-
x≥0,∴
x≤1,解得x≥0,
∴原函数的定义域为[0,+∞).
令t=1-
x(x≥0),则0≤t<
∴0≤
∴原函数的值域为[0,1).
(2)原函数的定义域为R.
方法一 设ax=t,则t∈(0,+∞).
y=
=
∵t>
0,∴t+1>
1,∴-2<
∴-1<
1.
即原函数的值域为(-1,1).
方法二 由y=
0,且a≠1),得ax=-
∵ax>
0,∴-
>
0,∴-1<
y<
∴原函数的值域是(-1,1).
例3 解 要使函数有意义,
则x应满足32x-1-
≥0,
即32x-1≥3-2.
∵y=3x在R上是单调增函数,
∴2x-1≥-2,解得x≥-
故所求函数的定义域为
当x∈
时,
32x-1∈
∴32x-1-
∈[0,+∞).
∴原函数的值域为[0,+∞).
跟踪训练3 解
(1)由x-1≠0,得x≠1,
所以函数定义域为{x|x≠1}.
由
≠0,得y≠1,
所以函数值域为{y|y>
0且y≠1}.
(2)由5x-1≥0,得x≥
所以函数定义域为{x|x≥
}.
≥0,得y≥1,所以函数值域为{y|y≥1}.
例4 解 y=2x+1的图象如图,它是由y=2x的图象向左平移1个单位得到.
跟踪训练4 (-1,5)
解析 方法一 当x+1=0,即x=-1时,ax+1=a0=1,为常数,此时f(x)=4+1=5.即点P的坐标为(-1,5).
方法二 y=ax过定点(0,1),它向左平移1个单位,再向上平移4个单位可得y=ax+1+4的图象.
∴f(x)的图象过定点P(-1,5).
例5 解 y=|2x-1|=
图象如下:
由图可知,要使直线y=2a与函数y=|2x-1|的图象有两个公共点,需
2a<
1,即0<
跟踪训练5 解 函数y=a|x|是偶函数,当x>
0时,y=ax.由已知a>
1,图象如图.
当堂训练
1.④ 2.a>
,且a≠1 3.(0,1]
4.0<
1,b<
0 5.(-3,0]
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