sinA=
所以tanA==×=,tan2A=
又tanB=2,
所以tan2B=
于是tan(2A+2B)=
例3、求cos36°cos72°.的值.
解:
原式==.
例4.已知cosα=,cos(α-β)=,且0<β<α<,
(1)求tan2α的值;
(2)求β.
解:
(1)由cosα=,0<α<,得sinα==
∴tanα===4.于是tan2α=
(2)由0<α<β<,得0<α-β<.
又∵cos(α-β)=,∴sin(α-β)=
由β=α-(α-β),得
cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×+=.
∴β=.
例5化简
解:
原式=
或解:
原式=
例6已知,求函数的值域
解:
∵∴
∴∴函数y的值域是
例7已知,求的值
解:
∵
即:
∵∴
从而
而
∴
例8已知求证tanα=3tan(α+β)
证:
由题设:
即
∴
∴tanα=3tan(α+β)
例9已知,,,求sin2α的值
解:
∵
∴∴
∴
又∴
∴sin2α=
=
例10求证:
tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°=1
选题意图:
考查两角和与差的正切变形公式的应用
证明:
左端=
说明:
可在△ABC中证明
课时对点练
一、选择题
1.函数y=2cos-1是( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数
D.最小正周期为的偶函数
2.tan70°+tan50°-tan70°·tan50°=( )
A.B.C.-D.-
3.若3sinx-cosx=2sin(x-φ),φ∈(-π,π),则φ=( )
A.-B.C.D.-
4.(2010·烟台调研)已知sin=,则sin2x的值为( )
A.B.C.D.
5.已知cos=,则sin-cos的值是( )
A.B.-
C.D.
二、填空题
6.函数y=2cosx+sin2x的最小值是________.
7.(2010·汕头二模)若0<α<<β<π,且cosβ=-,
sin(α+β)=,则cosα=________.
8.已知α、β为锐角,且cosα=,cos(α+β)=-,则β的值为________.
三、解答题(本题共2小题,每小题10分,共20分)
9.已知tan=.
(1)求tanα的值;
(2)求的值.
10.(2010·湖南卷)已知函数
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的集合.
11.如图在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐
角α、β,它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点.已
知A、B两点的横坐标分别为、.
(1)求tan(α+β)的值;
(2)求α+2β的大小.
12.(2010·珠海质量检测)已知函数.
(1)求f的值;
(2)当x∈时,求g(x)=f(x)+sin2x的最大值和最小值.
答案
1解析:
y=2cos-1=cos=sin2x∴周期为π的奇函数.答案:
A
2解析:
tan70°+tan50°-tan70°·tan50°=tan120°(1-tan70°·tan50°)-tan70°·tan50°=-.答案:
D
3解析:
2sin(x-φ)=2(sinxcosφ-cosxsinφ)=3sinx-cosx,∴cosφ=,sinφ=.又φ∈(-π,π),
∴φ=.答案:
B
4解析:
sin2x=cos=cos2=1-2sin
=1-2×=.答案:
A
5解析:
sin-cos=1-cos2+cos=.答案:
A
6解析:
y=(2cosx-1)+sin2x+1=cos2x+sin2x+1=sin+1∴y的最小值为1-.答案:
1-
7解析:
∵0<α<<β<π,∴<α+β<,∴sinβ=,
cos(α+β)=-,∴cosα=cos[(α+β)-β]
=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ
=×+×=.答案:
8解析:
cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=×+×=.∴β=.答案:
9解:
(1)由tan==.解得tanα=-.
(2)==tanα-=-.
“碧芝”隶属于加拿大的beadworks公司。
这家公司原先从事首饰加工业,自助首饰的风行也自西方,随着人工饰品的欣欣向荣,自制饰品越来越受到了人们的认同。
1996年'碧芝自制饰品店'在迪美购物中心开张,这里地理位置十分优越,交通四八达,由于是市中心,汇集了来自各地的游客和时尚人群,不用担心客流量问题。
迪美有300多家商铺,不包括柜台,现在这个商铺的位置还是比较合适的,位于中心地带,左边出口的自动扶梯直接通向地面,从正对着的旋转式楼拾阶而上就是人民广场中央,周边4、5条地下通道都交汇于此,从自家店铺门口经过的90%的顾客会因为好奇而进看一下。
10解:
(1)因为f(x)=sin2x-(1-cos2x)=sin-1.
然而影响我们大学生消费的最主要的因素是我们的生活费还是有限,故也限制了我们一定的购买能力。
因此在价格方面要做适当考虑:
我们所推出的手工艺制品的价位绝大部分都是在50元以下。
一定会适合我们的学生朋友。
所以函数f(x)的最小正周期为T==π.
(2)由
(1)知,当2x+=2kπ+,即x=kπ+(k∈Z)时,f(x)取最大值-1.因此函数f(x)取最大值时x的集合为
图1-2大学生购买手工艺品可接受价位分布.
11、解:
(1)由已知条件及三角函数的定义可知,cosα=,cosβ=.
附件
(一):
因为α为锐角,故sinα>0,
从而sinα==,同理可得sinβ=,
因此tanα=7,tanβ=.
Beadwrks公司还组织各国的“芝自制饰品店”定期进行作品交流,体现东方女性聪慧的作品曾在其他国家大受欢迎;同样,自各国作品也曾无数次启发过中国姑娘们的灵感,这里更是创作的源泉。
所以tan(α+β)===-3.
(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]==-1.
一、消费者分析又0<α<,0<β<,故0<α+2β<,从而由tan(α+2β)=-1得α+2β=.
12解:
f(x)=
二、大学生DIY手工艺制品消费分析=
=2cosx+1-2=2cosx-1=cos2x.
当然,在竞争日益激烈的现代社会中,创业是件相当困难的事。
我们认为,在实行我们的创业计划之前,我们首先要了解竞争对手,吸取别人的经验教训,制订相应竞争的策略。
我相信只要我们的小店有自己独到的风格,价格优惠,服务热情周到,就一定能取得大多女孩的信任和喜爱。
(1)f=cos2=cos=cos=.
(2)g(x)=cos2x+sin2x=sin.
上述所示的上海经济发展的数据说明:
人们收入水平的增加,生活水平的提高,给上海的饰品业带来前所未有的发展空间,为造就了一个消费额巨大的饰品时尚市场提供了经济基础。
使大学生对DIY手工艺品的时尚性消费,新潮性消费,体验性消费成为可能。
由0≤x<,故≤2x+<,
大学生个性化消费增多是一种趋势。
当前社会、经济飞速发展,各种新的消费品不断增多,流行文化时尚飞速变化,处于校园与社会两者之间的大学生肯定会受影响。
目前在大学校园,电脑、手机、CD、MP3、录音笔被称为大学生的“五件武器”。
除了实用,这也是一种表明自己生活优越的炫耀性的东西。
现下很大一部分大学生中的“负债消费”表现的典型的超前享乐和及时行乐——其消费项目多半是用于奢侈浪费的非必要生活消耗。
如举办生日宴会、打网球、保龄球、上舞厅跳舞、进夜总会唱“卡拉OK”等。
“负债消费”使很多学生耽于物欲,发展严重者轻则引起经济纠纷,动武斗殴,影响同窗友谊,重则引发犯罪事件,于社会治安不利。
∴≤sin≤1,1≤sin≤.
即g(x)的最小值是1,最大值是.