计算二重积分的几种方法.docx
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计算二重积分的几种方法
计算二重积分的几种方法
摘要二重积分的计算是数学分析中一个重要的内容,其计算方法多样、灵活,本文总结了二重积分的一般计算方法和特殊计算方法.其中,一般计算方法包括化二重积分为累次积分和换元法,特殊计算方法包括应用函数的对称性、奇偶性求二重积分以及分部积分法.
关键词二重积分累次积分法对称性分部积分法
1引言
本人在家里的职业教弃高中实习,发现这里有些专业的的学生要计算很多面积或者体积问题,已经略微涉及到大学的枳分问题,如曲顶柱体的体积,他们用最普遍的求而积/体积的方法求解,而用二重积分进行计算求解就会更容易理解,方法和步骤也带给学生一个新的认知领域。
职业教育的学生在大学知识中解决实际问题应用枳分的方法更频繁。
在解决一些几何、物理等的实际问题时,我们常常需要并种不同的多元实值函数的积分,而二重积分又是基本的、常见的多元函数积分,我针对自己在《数学分析》这门课程中的学习,总结了累次积分、根据函数对称性积分、元素法、分部积分法、极坐标下的积分等内容,以下是我对二重积分方法的总结。
2积分的计算方法
2.1化二重积分为两次定积分或累次积分法
定理1若函数f(xyy)在闭矩形域R(a ].泄积分 证明设区间[°,列与[e,d]的分点分别是 a=x() c=儿v儿v…v畑<九v…v九=d 这个分法记为T.于是,分法将T闭矩形域分成/»x个小闭矩形.小闭矩形记为 Rlk(Xi_{ i=1,2,・・・,h;&=1.2,・•・jn. 设%=sup{/(x,y)},m;jt=inf{/(x,y)}.V^.€环,齐],有叫 』(岳,刃心<陆4儿仏儿=”-儿.将ntm、・m 此不等式对£=12…〃z相加,有工叫△儿<工[/(《」)心△儿,英中JI—1'I1】 dmm d)g[/(他丽心),即若叫△以心”若%•蚁•再将此不等式乘以 itmntim △s然后对i=12・・"相加,有工工叫a△儿乂s工工MjQi;△儿•此不等式的 ■】&■】r-l/-I&■】 左右两端分别是分法T的小和$(门与大和5(7),即5(T)<^/(^)Arr (1) (-1 已知函数/(兀刃在R可积,根据左理有limS(T)=lim5(T)=ff/(x,y)dxdy,IPIH°J# 又不等式 (1),有卩出f/(§)山;=口/(俎)少加/八即 *'r.lD Jj*/(X,y“My=j/(x)e/.v=jJj*f(x,y)i/ypx.类似地’若f(x,y)在闭矩形域 R(a 在,且Jj/(x,y}dxdy=J: 『f(x,y)〃x]心• dy分别记为£dx^f(x,y)dy和 也可将累次积分J: [f/(x,y)M)*/x与J: [f/(x,y)dx f赵/(3)如 定义i设函数%a),®(x)在闭区间g,b]连续;函数妬(刃,02(刃在闭区间[c,〃]连续, 则区域{(x,y)|%(x)SyS%(x),xe[a,〃]}和{(x,y)”](y)Kp2(y)‘y已卜,〃]}分别称为x型区域和y型区域•如下图 (1)和 (2)所示^ -2- 立理2设有界闭区域R是兀型区域,若函数/(兀y)在R可积,且Vxe积分 /(x,)')t/y存在,则累次积分J空(■¥,)*"也存在,且 JJ7(x,y)dXdy=£心J;: ;f(x,y)cly. R 利用极坐标讣算二重积分公式: JJ/(x,y)dxdy=JJ/(rcos(p,rsin(p)rdrd(p RR 例1计算二重积分Jjsin(x+y)^y,其中/? [o rI22丿 解被积函数cos(x+y)任R连续,则有 jjcos(a+y)dxdy=£2t/y£2cos(x+y)dx =£2^/y£2(cosxcosy-sinxsiny)dx =£2(cosy+siny)cly =1+0-1 例2计算二重积分jj^clxdy,其中£>是由直线x=2,y=x和双曲线小=1所用成,D 既是X型区域又是y型区域.如图(3)所示. •3- 解先对y积分,后对x积分•将D投影在x轴上,得闭区间[1,2]・V"[1,2],关于y积分,在D内y的积分限是y=^~到y=x,然后在投影区间[1,2]上关于x积分,即 先对x积分,后对y积分•因为D的左侧边界不是由一个解析式给出,而是由两个解析式小=1和y=x给出的,所以必须将图(3)所示的区域D分成两个区域D&PRS)与D[(PRQ),分别在其上求二重积分,然后再相加,即 JJ护询=JJ^dxdy+岭如y=J;dyf令必+」如: 令心=斗 d>d2>y2yy>却 ■ 例3设函数/(兀)在[0,1]上连续,并设£2f(x”=B、求/=(x)f(y)心. 解因为 1=仙ff(x)/b)e=f创;f(a)/(y)dx =J: /b)心匸f(x)心=J: f(x)%: /b)e 所以 所以/=—. 2 2.2换元法 求二重积分,由于某些积分区域的边界曲线比较复杂,仅仅将二重积分化为累次枳分并不能得到计算结果•如果经过适当的换元或变换可将给左的积分区域变为简单的区域,从而简化了重积分的计算. -4- (2) 定理3若函数f(x,y)在有界闭区域R连续,函数组x=x(«,v),y=y(w,v) 将"平而上区域X变换为小平而上区域/? ・且函数组⑵在用上对“与对「存在连续偏导数, V(w,v)e/? \ 证明用任意分法T将区域R分成n个小区域: 心R"••也•设其而积分别是△b厂Aq,…,Aq. 于是,在用上有对应的分法厂,它将尺对应地分成n个小区域心足,・尽・设其面积分别是 心皿)已心在心对应唯一一点(冬也),而&=玫%卩)g=y(a沙0)• 于是,£/(鼻久肚^2乞/用%,0』,),(%,0」]卩(%0」|2;.⑷J】A-1 因为函数组 (2)在有界闭区域/? 上存在反函数组«=//(%,y)^=v(x,y)*并且此函数组在尺一致连续,所以当|卩||—0时,也有旷||tO.对⑷取极限(||T|pO),有 JJ7(x,y"xz/y=JJf[x(z/,v),y(“,*)]卩仏”)|dudv RR 例4计算两条抛物线y2=WLV与y—肚和两条直线y=Q与y=px所囤成R区域的而积 -5- 设//=—,v=-.这个函数将小平而上的区域R变换为“平而上的区域/? /? 是由直线XX u=m.u=n和u=a.v=p所围成的矩形域. 由左理3可知, 斤=\\dxt,y=0dMlv=认貯" __n2-m2rPdv_”一肿)(0、-a') 本题是典型的运用换元法解决二重积分求而积的问题。 2.3极坐标下的换元法 例5计算二重积分JJxydxdy,其中D={(x,刃\y>O,x2+y2>l,x2+y2-2xS0}如图(5)D 所示. 解由于区域D由圆的一部分组成,所以可以用极坐标变换来求解. 设x=rcosO,y=rsin09则在极坐标下,被积函数为Xcos&sinC积分区域为&型区域. jr 则有D=<(r^)i ”xydxdy=匸〃&厂&r2cos0sinOrdr=扰(16cos40-1)cos&sinOdO= 此题是应用极坐标换元法求解的. 2.4应用函数的对称性求二重积分 ・6・ 左理4[1]如果积分区域D关于y轴对称,被积函数/(x,y)是关于x的偶函数,Q是D的 位于y轴右侧的部分,则有JJ/(x,y)dxdy=2jjf(x,y)dxdy DDj [2]如果积分区域£>关于x轴对称,被积函数/(x,y)是关于y的偶函数,卩是D的位于x轴上侧的部分,则有Jjf(x,y)dxdy=2JJ/(x,y)dxdy Dq 证明[1]由于D关于y轴对称,不妨设D={(x,y)|-^(>') 域D分为Q和D-则由二重积分对区域的可加性,得 [|7(忑y)dxdy=Jjf(匕y)dxdy+JJf(忑y)dxdy (5) DD]D2 对积分\\f^y)dxdy作换元,即令x==则my而的区域Q对应而上的区域 D…如图(6)所示 6={(x,y)\~ (v),c 又因为/(x.y)是关于x的偶函数,于是可得 Jj7(x,yM〃y=JJ7(-11.V\ludv=jjf(u.v\hu/v=|jf(x9y)dxcly D>DVa, 将上式带入(5)式得jj/(x,y)dxdy=2jjf(x,y)dxdy用完全类似的方法可证明泄理的第D厶 二部分. 立理5如果积分区域D关于x轴、y轴都对称,被积函数关于x、y都是偶函数,卩是D中 第一象限的部分,贝ijJJf(%,y)dxdy=4口/(x,y\lxdy. Dl\ ・7- 证明由于D关于y轴对称,不妨设D为D的位于y轴右侧部分,又因为/(x,y)是关于x的偶函数,由泄理4得f(x.y)dxdy=2^f(x,y)dxdy(6) db 由条件知D又关于x轴对称,若。 是D的位于x轴上侧的部分,且因被积函数是关于y的偶函数,由泄理4的第二部分得: JJ/(忑y)dxdy=2口f(圮y\lxdy (7)由上而(6)(7)式可得 ITD, J”(x,yyixdy=4JJf(x.y)clxdy DDj 定理6如果积分区域£>关于y轴(或兀轴)对称,被积函数是关于x(或y)的奇函数,则\\f(^y)dxdy=O D 证明由左理4的证明过程得 JJ/(忑y^lxdy=JJf(-“,哄皿=-/(山邛皿=-口/(x,y\lxdy 6X6・M 将上式代入(5)式得 JJ/(X,ypxdy=JJ/(X,y\lxdy-^/(x,y)dxdy=0 DD、D( ■ 例6求圆锥亡=c2(x2+y2)截圆柱而x2+b=2y所得有界部分立体的体积. 解立体在平而上的投影为D.x2+y2<2y根据积分区域是关于y轴对称并且被积函数 g(x)=心+),是y的偶函数,那么所得立体体积为 V=2cyjx2+y2clx,令x=rcos0yy=rsin0, 则D变为{(r,^)|0<6><^,0 V=2jjc^x2+y2dx=2J;〃&广7曲•=导J: sin,Odd=^c
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