届高考数学二轮复习文数数列推理与证明专题四 第3讲学案含答案全国通用.docx
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届高考数学二轮复习文数数列推理与证明专题四第3讲学案含答案全国通用
第3讲 数列的综合问题
1.数列的综合问题,往往将数列与函数、不等式结合,探求数列中的最值或证明不等式.
2.以等差数列、等比数列为背景,利用函数观点探求参数的值或范围.
3.将数列与实际应用问题相结合,考查数学建模和数学应用能力.
热点一 利用Sn,an的关系式求an
1.数列{an}中,an与Sn的关系
an=
2.求数列通项的常用方法
(1)公式法:
利用等差(比)数列求通项公式.
(2)在已知数列{an}中,满足an+1-an=f(n),且f
(1)+f
(2)+…+f(n)可求,则可用累加法求数列的通项an.
(3)在已知数列{an}中,满足=f(n),且f
(1)·f
(2)·…·f(n)可求,则可用累乘法求数列的通项an.
(4)将递推关系进行变换,转化为常见数列(等差、等比数列).
例1 (2017·运城模拟)正项数列{an}的前n项和为Sn,满足a+3an=6Sn+4.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=2nan,求数列{bn}的前n项和Tn.
解
(1)由a+3an=6Sn+4,①
知a+3an+1=6Sn+1+4,②
由②-①,得
a-a+3an+1-3an=6Sn+1-6Sn=6an+1,
即(an+1+an)(an+1-an-3)=0,
∵an>0,∴an+1+an>0,
∴an+1-an-3=0,即an+1-an=3.
又a+3a1=6S1+4=6a1+4,
即a-3a1-4=(a1-4)(a1+1)=0,∵an>0,∴a1=4,
∴{an}是以4为首项,以3为公差的等差数列,
∴an=4+3(n-1)=3n+1.
(2)bn=2nan=(3n+1)·2n,
故Tn=4·21+7·22+10·23+…+(3n+1)·2n,
2Tn=4·22+7·23+10·24+…+(3n+1)·2n+1,
∴-Tn=4·21+3·22+3·23+…+3·2n-(3n+1)·2n+1
=21+3(2+22+23+…+2n)-(3n+1)·2n+1
=21+3·-(3n+1)·2n+1
=-(3n-2)·2n+1-4,
∴Tn=(3n-2)·2n+1+4.
思维升华 给出Sn与an的递推关系,求an,常用思路:
一是利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.
跟踪演练1 (2017届湖南省娄底市二模)设数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2,数列{bn}满足bn=+22n-1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和Tn.
解
(1)当n=1时,a1=S1=2,
由Sn=2n+1-2,得Sn-1=2n-2(n≥2),
∴an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n(n≥2),
又a1也符合,∴an=2n(n∈N*).
(2)bn=+22n-1
=+22n-1
=+22n-1,
Tn=+(2+23+25+…+22n-1)
=+
=--.
热点二 数列与函数、不等式的综合问题
数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景,给出数列所满足的条件,通常利用点在曲线上给出Sn的表达式,还有以曲线上的切点为背景的问题,解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系,将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体,考查最值问题,不等关系或恒成立问题.
例2 设fn(x)=x+x2+…+xn-1,x≥0,n∈N,n≥2.
(1)求fn′
(2);
(2)证明:
fn(x)在内有且仅有一个零点(记为an),且0<an-<n.
(1)解 方法一 由题设fn′(x)=1+2x+…+nxn-1,
所以fn′
(2)=1+2×2+…+(n-1)2n-2+n·2n-1,①
则2fn′
(2)=2+2×22+…+(n-1)2n-1+n·2n,②
由①-②得,-fn′
(2)=1+2+22+…+2n-1-n·2n
=-n·2n=(1-n)2n-1,
所以fn′
(2)=(n-1)2n+1.
方法二 当x≠1时,fn(x)=-1,
则fn′(x)=,
可得fn′
(2)=
=(n-1)2n+1.
(2)证明 因为fn(0)=-1<0,
fn=-1=1-2×n
≥1-2×2>0,
所以fn(x)在内至少存在一个零点,
又f′n(x)=1+2x+…+nxn-1>0,
所以fn(x)在内单调递增,
因此fn(x)在内有且仅有一个零点an,
由于fn(x)=-1,
所以0=fn(an)=-1,
由此可得an=+a>,
故<an<,
所以0<an-=a<×n+1=n.
思维升华 解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点
(1)数列是一类特殊的函数,函数定义域是正整数,在求数列最值或不等关系时要特别重视.
(2)解题时准确构造函数,利用函数性质时注意限制条件.
(3)不等关系证明中进行适当的放缩.
跟踪演练2 (2016届浙江省宁波市期末)已知数列{an}满足a1=2,an+1=2(Sn+n+1)(n∈N*),令bn=an+1.
(1)求证:
{bn}是等比数列;
(2)记数列{nbn}的前n项和为Tn,求Tn;
(3)求证:
-<+++…+<.
(1)证明 a1=2,a2=2(2+2)=8,
an+1=2(Sn+n+1)(n∈N*)
an=2(Sn-1+n)(n≥2),
两式相减,得an+1=3an+2(n≥2).
经检验,当n=1时上式也成立,
即an+1=3an+2(n≥1).
所以an+1+1=3(an+1),即bn+1=3bn,且b1=3.
故{bn}是等比数列.
(2)解 由
(1)得bn=3n.
Tn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n,
3Tn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1,
两式相减,得
-2Tn=3+32+33+…+3n-n×3n+1
=-n×3n+1,
化简得Tn=×3n+.
(3)证明 由=>,
得+++…+>++…+
==-×.
又==
<
=,
所以+++…+
<+
=+
=+-×<,
故-<+++…+<.
热点三 数列的实际应用
用数列知识解相关的实际问题,关键是合理建立数学模型——数列模型,弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型,它的首项是什么,项数是多少,然后转化为解数列问题.求解时,要明确目标,即搞清是求和,还是求通项,还是解递推关系问题,所求结论对应的是解方程问题,还是解不等式问题,还是最值问题,然后进行合理推算,得出实际问题的结果.
例3 自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来,在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园,台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务,某台商第一年年初到大陆就创办了一座120万元的蔬菜加工厂M,M的价值在使用过程中逐年减少,从第二年到第六年,每年年初M的价值比上年年初减少10万元,从第七年开始,每年年初M的价值为上年年初的75%.
(1)求第n年年初M的价值an的表达式;
(2)设An=,若An大于80万元,则M继续使用,否则须在第n年年初对M更新,证明:
必须在第九年年初对M更新.
(1)解 当n≤6时,数列{an}是首项为120,公差为-10的等差数列,故an=120-10(n-1)=130-10n,
当n≥7时,数列{an}从a6开始的项构成一个以a6=130-60=70为首项,以为公比的等比数列,
故an=70×n-6,
所以第n年年初M的价值an=
(2)证明 设Sn表示数列{an}的前n项和,由等差数列和等比数列的求和公式,得
当1≤n≤6时,Sn=120n-5n(n-1),
An==120-5(n-1)=125-5n≥95>80,
当n≥7时,由于S6=570,
故Sn=570+(a7+a8+…+an)=570+70××4×=780-210×n-6.
因为{an}是递减数列,所以{An}是递减数列.
因为An==,
A8=≈82.734>80,
A9=≈76.823<80,
所以必须在第九年年初对M更新.
思维升华 常见数列应用题模型的求解方法
(1)产值模型:
原来产值的基础数为N,平均增长率为p,对于时间n的总产值y=N(1+p)n.
(2)银行储蓄复利公式:
按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期的利率为r,存期为n,则本利和y=a(1+r)n.
(3)银行储蓄单利公式:
利息按单利计算,本金为a元,每期的利率为r,存期为n,则本利和y=a(1+nr).
(4)分期付款模型:
a为贷款总额,r为年利率,b为等额还款数,则b=.
跟踪演练3 一弹性小球从100m高处自由落下,每次着地后又跳回原来高度的再落下,设它第n次着地时,共经过了Sn,则当n≥2时,有( )
A.Sn的最小值为100B.Sn的最大值为400
C.Sn<500D.Sn≤500
答案 C
解析 第一次着地时,经过了100m;第二次着地时共经过了m;第三次着地时共经过了m;…;以此类推,第n次着地时共经过了;所以Sn=100+100××2+100×2×2+…+100×n-1×2=100+=100+400,显然Sn是关于n的单调增函数,所以当n=2时,Sn取得最小值S2=,且Sn<100+400=500,故选C.
真题体验
1.(2016·浙江)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=______,S5=______.
答案 1 121
解析 由解得a1=1,a2=3,
当n≥2时,由已知可得
an+1=2Sn+1,①
an=2Sn-1+1,②
由①-②,得an+1-an=2an,∴an+1=3an,又a2=3a1,
∴{an}是以a1=1为首项,以q=3为公比的等比数列.
∴S5==121.
2.(2017·山东)已知{xn}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2.
(1)求数列{xn}的通项公式;
(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2),…,Pn+1(xn+1,n+1)得到折线P1P2…Pn+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=xn+1所围成的区域的面积Tn.
解
(1)设数列{xn}的公比为q.
由题意得
所以3q2-5q-2=0,
由已知得q>0,
所以q=2,x1=1.
因此数列{xn}的通项公式为xn=2n-1.
(2)过P1,P2,…,Pn+1向x轴作垂线,垂足分别为Q1,Q2,…,Qn+1.
由
(1)得xn+1-xn=2n-2n-1=2n-1,
记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn,
由题意得bn=×2n-1=(2n+1)×2n-2,
所以Tn=b1+b2+…+bn
=3×2-1+5×20+7×21+…+(2n-1)×2n-3+(2n+1)×2n-2,①
则2Tn=3×20+5×21+7×22+…+(2n-1)×2n-2+(2n+1)×2n-1,②
由①-②,得
-Tn=3×2-1+(2+22+…+2n-1)-(2n+1)×2n-1
=+-(2n+1)×2n-1.
所以Tn=.
押题预测
已知数列{an}的前n项和Sn满足关系式Sn=kan+1,k为不等于0的常数.
(1)试判断数列{an}是否为等比数列;
(2)若a2=,a3=1.
①求数列{an}的通项公式及前n项和Sn的表达式;
②设bn=log2Sn,数列{cn}满足cn=+bn+2·2bn,数列{cn}的前n项和为Tn,当n>1时,求使Tn
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