数学竞赛平面几何讲座三角形的五心Word文档格式.docx

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将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3,易判断△KSO1≌△O2PO1,同时可

得△O1O2O3≌△O1KO3.∴∠O2O1O3=∠KO1O3=21

∠O2O1K

=21（∠O2O1S+∠SO1K=21（∠O2O1S+∠PO1O2=

2

1∠PO1S=∠A;

同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC.二、重心

三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心.掌握重心将每

条中线都分成定比2:

1及中线长度公式,便于解题.

例3.AD,BE,CF是△ABC的三条中线,P是任意一点.证明:

在△PAD,△

PBE,△PCF中,其中一个面积等于另外两个面积的和.

设G为△ABC重心,直线PG与AB

BC相交.从A,C,D,E,F分别作该直线的垂线,垂足为A′,C′,D′,E′,F′.易证AA′=2DD′,CC′=2FF′,2EE′=AA′+∴EE′=DD′+FF′.有S△PGE=S△PGD+S△PGF.

两边各扩大3倍,有S△PBE=S△PAD+S△PCF.

例4.如果三角形三边的平方成等差数列,那么该三角形和由它的三条中线围成

的新三角形相似.其逆亦真.

将△ABC简记为△,由三中线AD,BE,CF围成的三角形简记为△′.G

为重心,连DE到H,使EH=DE,连HC,HF,则△′就是△HCF.

（1a2,b2,c2成等差数列⇒△∽△′.若△ABC为正三角形,易证△∽△′.不妨设a≥b≥c,有CF=2

2221cba-+,BE=2

2221bac-+,AD=

222

1a

cb-+.

将a2

+c2=2b2,分别代入以上三式,得CF=

a

23,BE=

b23,AD=

c

23.

∴CF:

BE:

AD=

3:

b2

3

=a:

b:

c.

故有△∽△′.

（2△∽△′⇒a2,b2,c2成等差数列.当△中a≥b≥c时,△′中CF≥BE≥AD.∵△∽△′,∴

∆

∆SS'

=（

CF2.

据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的4

3”,有

A

A'

'

EPCBD

=

4

3.

∴

CF=

3⇒3a2=4CF2=2a2+b2-c2⇒

a2+c2=2b2.

三、垂心

三角形三条高的交战,称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等（外接圆三角形,给我们解题提供了极大的便利.

例5.设A1A2A3A4为⊙O内接四边形,H1,H2,H3,H4依次为

△A2A3A4,△A3A4A1,△A4A1A2,△A1A2A3的垂心.求证:

H1,H2,H3,H4四点共圆,并确定出该圆的圆心位置.

连接A2H1,A1H2,H1H2,记圆半径

为R.由△A2A3A4知

321

2sinHAAHA∠=2R⇒A2H1=2Rcos∠A3A2A4;

由△A1A3A4得

A1H2=2Rcos∠A3A1A4.

但∠A3A2A4=∠A3A1A4,故A2H1=A1H2.

易证A2H1∥A1A2,于是,A2H1A1H2,故得H1H2A2A1.设H1A1与H2A2的交点为M,故H1H2与A1A2关于M点

成中心对称.

同理,H2H3与A2A3,H3H4与A3A4,H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.

故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称,两者是全等四边形,H1,H2,H3,H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q,Q与O也关于M成中心对称.由O,M两点,Q点就不难确定了.

例6.H为△ABC的垂心,D,E,F分别是BC,CA,AB的中心.一个以H为圆

心的⊙H交直线EF,FD,DE于A1,A2,B1,B2,C1,C2.

求证:

AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.分析:

只须证明AA1=BB1=CC1即可.设BC=a,CA=b,AB=c,△ABC外接圆半径为R,⊙H的半径为r.

连HA1,AH交EF于M.A21

A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH

=r2+（AM2-MH2

①

又AM2-HM2=（

1AH12-（AH-2

AH12

=AH·

AH1-AH2=AH2·

AB-AH2

=cosA·

bc-AH2

②而

ABH

AH∠sin=2R⇒AH2=4R2cos2A,

∥=

H

BB

AABCC1

2111

22

E

asin=2R⇒a2=4R2sin2A.

∴AH2+a2=4R2,AH2=4R2-a2.③由①、②、③有A21

A=r2

+

bc

cb22

22-+·

bc-（4R2-a2

=

1（a2+b2+c2-4R2+r2.

同理,21BB=

1（a2+b2+c2-4R2+r2,

CC=

故有AA1=BB1=CC1.

四、内心

三角形内切圆的圆心,简称为内心.对于内心,要掌握张角公式,还要记住下面一个极为有用的等量关系:

设I为△ABC的内心,射线AI交△ABC外接圆于A′,则有A′I=A′B=A′C.换言之,点A′必是△IBC之外心（内心的等量关系之逆同样有用.

例7.ABCD为圆内接凸四边形,取

△DAB,△ABC,△BCD,△CDA的内心O1,O2,O3,O4.求证:

O1O2O3O4为矩形.

（1986,中国数学奥林匹克集训题

证明见《中等数学》1992;

4

例8.已知⊙O内接△ABC,⊙Q切AB,AC于EO内切.试证:

EF

中点P是△ABC之内心.

在第20届IMO中,美国提供的一道题实际上是例8的一种特例,但它增

加了条件AB=AC.当AB≠AC,怎样证明呢?

如图,显然EF中点P、圆心Q中点K都在∠BAC平分线上.易知

AQ=

α

sinr.

∵QK·

AQ=MQ·

QN,∴QK=AQ

QNMQ⋅

sin/2（rrrR⋅-=2（sinrR-⋅α.

由Rt△EPQ知PQ=r⋅αsin.

∴PK=PQ+QK=r⋅αsin+2（sinrR-⋅α=R2sin⋅α.∴PK=BK.α

利用内心等量关系之逆定理,即知P是△ABC这内心.

ABCDO234A

M

B

CK

NE

RQF

五、旁心

三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点,是旁切圆的圆心,称为旁心.旁心常常与内心联系在一起,旁心还与三角形的半周长关系密切.

例9.在直角三角形中,求证:

r+ra+rb+rc=2p.

式中r,ra,rb,rc分别表示内切圆半径及与a,b,c相切的旁切圆半径,

p表示半周.

设Rt△ABC中,c为斜边,先来证明一个特性:

p（p-c=（p-a（p-b.

∵p（p-c=21（a+b+c·

1（a+b-c

=41[（a+b2-c2]=

1ab;

（p-a（p-b=21（-a+b+c·

1（a-b+c

1[c2-（a-b2]=2

ab.

∴p（p-c=（p-a（p-b.①观察图形,可得ra=AF-AC=p-b,rb=BG-BC=p-a,rc=CK=p.而r=

=p-c.∴r+ra+rb+rc

=（p-c+（p-b+（p-a+p=4p-（a+b+c=2p.由①及图形易证.

例10.M是△ABC边AB上的任意一点.r1,r2,r分别是△AMC,△BMC,△

ABC内切圆的半径,q1,q2,q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆

半径.证明:

1qr·

2qr=

q

r.

（IMO-12

对任意△A′B′C′,由正弦定理可知

OD=OA′·

'

sin

=A′B′·

sin'

sin

BOAB·

2'

sinA

KrrOOO2

C

b

AB

OO'

A'

B'

⋅sin22，=A′B′·

A'

+B'

sin2A'

coscos22.O′E=A′B′·

sin2ODA'

B'

=tgtg.∴O'

E22亦即有sinr1rA∠CMA∠CNBB·

2=tgtgtgtgq1q22222=tgABrtg=.22q六、众心共圆这有两种情况：

（1同一点却是不同三角形的不同的心；

（2同一图形出现了同一三角形的几个心.ABCDEF（1例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE中，=BC，=DE，=FA.试证：

AD，BE，CF三条对角线交于一点；

（2AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF.分析：

连接AC，CE，EA，由已知可证AD，CF，EB是△ACE的三条内角平分线，I为△ACE的内心.从而有ID=CD=DE，IF=EF=FA，IB=AB=BC.易证BP，，是它的三条高，是它的垂心，DQFSI利用不再由△BDF，..等式有：

ErdosABI+DI+FI≥2·

（IP+IQ+IS.F不难证明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS.BQ∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC.IPE∴AB+BC+CD+DE+EF+FAS=2（BI+DI+FIC≥（IA+IE+IC+（BI+DI+FID=AD+BE+CF.I就是一点两心.例12．△ABC的外心为O，AB=AC，D是AB中点，E是△ACD的重心.证明OE丄CD.A分析：

设AM为高亦为中线，取AC中点F，E必在DF上且DE:

EF=2:

1.设EFDCD交AM于G，G必为△ABC重心.G连GE，MF，MF交DC于K.易证：

OKBC

111DG:

GK=DC:

（−DC=2:

1.323∴DG:

GK=DE:

EF⇒GE∥MF.∵OD丄AB，MF∥AB，∴OD丄MF⇒OD丄GE.但OG丄DE⇒G又是△ODE之垂心.易证OE丄CD.例13．△ABC中∠C=30°

，O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB.求证：

OI丄DE，OI=DE.分析：

辅助线如图所示，作∠DAO平分线交BC于K.易证△AID≌△AIB≌△EIB，∠AID=∠AIB=∠EIB.DAC30°

利用内心张角公式，有OKI1FE∠AIB=90°

+∠C=105°

，2B∴∠DIE=360°

-105°

×

3=45°

.1∵∠AKB=30°

+∠DAO21=30°

+（∠BAC-∠BAO21=30°

+（∠BAC-60°

21=∠BAC=∠BAI=∠BEI.2∴AK∥IE.由等腰△AOD可知DO丄AK，∴DO丄IE，即DF是△DIE的一条高.同理EO是△DIE之垂心，OI丄DE.由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE.例14．锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外，重心到三边距A离和为d重，垂心到三边距离和为d垂.H3求证：

1·

d垂+2·

d外=3·

d重.G3O2O3G2分析：

这里用三角法.设△ABC外接圆H2OG半径为1，三个内角记为A，B，IBC.易知d外=OO1+OO2+OO3CO1G1H1=cosA+cosB+cosC，∴2d外=2（cosA+cosB+cosC.①∵AH1=sinB·

AB=sinB·

（2sinC=2sinB·

sinC，同样可得BH2·

CH3.∴3d重=△ABC三条高的和=2·

（sinB·

sinC+sinC·

sinA+sinA·

sinB②BH=2，∴sin∠BCH

∴HH1=cosC·

BH=2·

cosB·

cosC.同样可得HH2，HH3.∴d垂=HH1+HH2+HH3=2（cosB·

cosC+cosC·

cosA+cosA·

cosB③欲证结论，观察①、②、③，须证（cosB·

cosC+cosC·

cosA+cosA·

cosB+（cosA+cosC=sinB·

sinB.即可.cosB+练习题1.I为△ABC之内心，射线AI，BI，CI交△ABC外接圆于A′，B′，C′.则AA′+BB′+CC′＞△ABC周长.2.△T′的三边分别等于△T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.3.I为△ABC的内心.取△IBC，△ICA，△IAB的外心O1，2，3.求证：

1O2O3OO△O与△ABC有公共的外心.（4.AD为△ABC内角平分线.取△ABC，△ABD，△ADC的外心O，O1，O2.则△OO1O2是等腰三角形.5.△ABC中∠C＜90°

，从AB上M点作CA，CB的垂线MP，MQ.H是△CPQ的垂心.当M是AB上动点时，求H的轨迹.（IMO-716.△ABC的边BC=（AB+AC，取AB，AC中点M，N，G为重心，I为内心.2试证：

过A，M，N三点的圆与直线GI相切.7.锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3.已知：

H1，H2，H3，求作△ABC.8.已知△ABC的三个旁心为I1，I2，I3.求证：

△I1I2I3是锐角三角形.9.AB，AC切⊙O于B，C，过OA与BC的交点M任作⊙O的弦EF.求证：

（1△AEF与△ABC有公共的内心；

（2△AEF与△ABC有一个旁心重合.