《数学奥林匹克专题讲座》第10讲 应用Word文档格式.docx
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于是有
x=12,y=6。
例2如果将进货单价为40元的商品按50元售出,那么每个的利润是10元,但只能卖出500个。
当这种商品每个涨价1元时,其销售量就减少10个。
为了赚得最多的利润,售价应定为多少?
设每个商品售价为(50+x)元,则销量为(500-10X)个。
总共可以获利
(50+x-40)×
(500-10x)
=10×
(10+X)×
(50-X)(元)。
因(10+x)+(50-x)=60为一定值,故当10+X=50-X即X=20时,它们的积最大。
此时,每个的销售价为50+20=70(元)。
例3若一个长方体的表面积为54厘米2,为了使长方体的体积最大,长方体的长、宽、高各应为多少厘米?
设长、宽、高分别为x,y,z厘米,体积为V厘米3。
2(xy+yz+zx)=54,xy+yz+zx=27。
因为V2=(xyz)2=(xy)(yz)(zx),
故当xy=yz=zx即x=y=z=3时,V2有最大值,从而V也有最大值。
例4有一块长24厘米的正方形厚纸片,在它的四个角各剪去一个小正方形,就可以做成一个无盖的纸盒,现在要使做成的纸盒容积最大,剪去的小正方形的边长应为几厘米?
如上图,设剪去的小正方形的边长为x厘米,则纸盒的容积为
V=x(24-2x)(24-2x)
=2×
2x(12-x)(12-x)。
因为2x+(12-x)+(12-x)=24
是一个定值,故当
2x=12-x=12-x,
即x=4时,其乘积最大,从而纸盒的容积也最大。
二、两个量变化时,积一定的问题
两个变化着的量,如果在变化的过程中,它们的乘积始终保持不变,那么它们的差与和之间有什么关系呢?
两个变化着的量,如果在变化的过程中,乘积始终保持不变,那么它们的差越小,和就越小。
若它们能够相等,则当它们相等时,和最小。
例5长方形的面积为144cm2,当它的长和宽分别为多少时,它的周长最短?
设长方形的长和宽分别为xcm和ycm,则有
xy=144。
故当x=y=12时,x+y有最小值,从而长方形周长2(x+y)也有最小值。
例6用铁丝扎一个空心的长方体,为了使长方体的体积恰好是216cm3,长方体的长、宽、高各是多少厘米时,所用的铁丝长度最短?
设长方体的长、宽、高分别为xcm,ycm,zcm,则有xyz=216。
铁丝长度的和为4(x+y+z),故当x=y=z=6时,所用铁丝最短。
例7农场计划挖一个面积为432m2的长方形养鱼池,鱼池周围两侧分别有3m和4m的堤堰如下图所示,要想占地总面积最小,水池的长和宽应为多少?
如图所示,设水池的长和宽分别为xm和ym,则有
xy=432。
占地总面积为S=(x+6)(y+8)cm2。
于是
S=Xy+6y+8X+48=6y+8X+480。
我们知道6y×
8X=48×
432为一定值,故当6y=8X时,S最小,此时有6y=8X=144,故y=24,x=18。
例8某游泳馆出售冬季学生游泳卡,每张240元,使用规定:
不记名,每卡每次只限一人,每人只限一次。
某班有48名学生,老师打算组织学生集体去游泳,除需购买若干张游泳卡外,每次游泳还需包一辆汽车,无论乘坐多少名学生,每次的包车费均为40元。
若要使每个同学游8次,每人最少交多少钱?
设一共买了X张卡,一共去游泳y次,则共有
Xy=48×
8=384(人次),
总用费为(240x+40y)元。
因为240x×
40y=240×
40×
384是一定值,故当240x=40y,即y=6x时,和最小。
易求得x=8,y=48。
此时总用费为
240×
8+40×
48=3840(元),
平均每人最少交3840÷
48=80(元)。
三、利用不等关系来解答的应用题
例9某公司在A,B两地分别库存有某机器16台和12台,现要运往甲、乙两家客户的所在地,其中甲方15台,乙方13台。
已知从A地运一台到甲方的运费为500元,到乙方的运费为400元,从B地运一台到甲方的运费为300元,到乙方的运费为600元。
已知运费由公司承担,公司应设计怎样的调运方案,才能使这些机器的总运费最省?
设由A地运往甲方x台,则A地运往乙方(16-x)台,B地运往甲方(15-x)台,B地运往乙方(x-3)台。
于是总运价为:
S=500x+400(16-x)+300(15-x)+600(x-3)
=400x+9100。
显然,x要满足不等式3≤x≤15,于是当x=3时,总运价最省,为400×
3+9100=10300(元)。
调运方案为:
由A地运往甲方3台,A地运往乙方13台,B地运往甲方12台,B地运往乙方0台。
例10某校决定出版“作文集”,费用是30册以内为80元,超过30册的每册增加1.20元。
当印刷多少册以上时,每册费用在1.50元以内?
显然印刷的册数应该大于30。
设印刷了(30+x)册,于是总用费为(80+1.2x)元。
故有
80+1.2x≤1.5×
(30+x),
以内。
例11现有三种合金:
第一种含铜60%,含锰40%;
第二种含锰10%,含镍90%;
第三种含铜20%,含锰50%,含镍30%。
现各取适当数量的这三种合金,组成一块含镍45%的新合金,重量为1千克。
(1)求新合金中第二种合金的重量的范围;
(2)求新合金中含锰的重量的范围。
设第一种合金用量为x千克,第二种合金用量为y千克,第三种合金用量为z千克,依题意有
(1)如果不取第一种合金,即x=0,那么新合金中第二种合金重量最小。
解得y=0.25。
如果不取第三种合金,即z=0,那么新合金中第二种合金重量最大。
解得y=0.5。
新合金中第二种合金的重量范围是0.25克到0.5克。
(2)由①②可得z=1.5-3y,x=2y-0.5。
故新合金中含锰的重量为
S=40%x+10%y+50%z
=40%(2y-0.5)+10%y+50%(1.5-3y)
=0.55-0.6y。
因为0.25≤y≤0.5,所以0.25≤S≤0.4,即新合金中含锰的重量范围是0.25克到0.4克。
例12某商店需要制作如下图所示的工字形架100个,每个由三根长为2.3米、1.7米、1.3米的铝合金材料组装而成。
市场上可购得该铝合金材料的原料长为6.3米。
问:
至少要买回多少根原材料,才能满足要求(不计损耗)?
每根原材料的切割有下表的七种情况:
显然,④⑤⑥三种方案损耗较小。
④⑤⑥⑦方案依次切割原材料42根、14根、29根、1根,可得2.3米、1.7米、1.3米的材料各100根,共用原材料42+14+29+1=86(根)。
练习10
1.销售某种西服,当每件售价为100元时可售出1000件。
如果定价每下降1%,那么销售量将提高0.5%,又知道这批西服是每件80元成本购进的。
应如何定价才能使获利最大?
2.下图是一个面积为4m2的窗户,当a∶b的值是多少时,窗户的框架所用的材料最省?
3.有一个长为80cm、宽为40cm的木板,要以它为原材料做一个无盖的木盒,应该如何制作才能使木盒的容积最大?
最大的容积是多少?
4.某厂要建造一个无盖的露天水槽,其底为正方形,容量为64000m3。
在建造时,槽底的造价是四壁的2倍,这个水槽的底面边长和高的比例是多少时,造价最省?
5.A城有化肥200吨,B城有化肥300吨,现要将化肥运往C,D两村。
已知从A城运往C,D两村的运价分别是每吨20元和25元,从B城运往C,D两村的运价分别是每吨15元和22元。
某个体户承包了这项运输任务,请你帮他算一算,如何调运才能使运费最省?
6.有两个学生参加4次数学测验,他们的平均分数不同,但都是低于90分的整数。
他们又参加了第5次测验,这样5次的平均分数都提高到了90分,求第5次测验二人的得分(满分为100分)。
7.某机械厂要把一批长7300毫米的钢筋截成长290毫米、210毫米和150毫米的钢筋各一段组成一套钢筋架子。
现在做100套钢筋架子,至少要用去长为7300毫米的钢筋多少根?
8.下表所示为X,Y,Z三种食品原料的维生素含量(单位:
单位/千克)及成本:
现在要将三种食物混合成100千克的混合物,要求混合物至少需含44000单位的维生素A及48000单位的维生素B0如果所用的食物中x,Y,Z的重量依次为X千克、y千克、Z千克,那么请定出X,y,Z的值,使得成本为最少。
练习10
1.91元。
设定价为每件(100-x)元,则销售量为1000(1+0.5%x)件。
利润为
(100-x-80)×
1000(1+0.5%x)
=500×
(20-x)(2+x)。
因为(20-x)+(2+x)=22为一定值,故当20-x=2+x即x=9时利润最高。
此时每件定价为100-9=91(元)。
2.2∶3。
窗户的框架长为3a+2b,而ab=4是一个定值,从而3a×
2b=6ab=24也是一个定值,故当3a=2b即a∶b=2∶3时窗户框架所用材料最省。
3.32000cm3
设木盒的长、宽、高分别为xcm,ycm,zcm,则它的容积为V=xyzcm3。
因为
xy+2xz+2yz=40×
80=3200
为一定值,故它们的积
xy×
2xz×
2yz=4(xyz)2=4V2,
在xy=2xz=2yz时最大,从而V也最大,此时有x=y=2z。
经计算得x=40,y=40,z=20。
具体制作方式如下:
先取原木板的一半(40cm×
40cm)作为木盒的底面,再将剩下的一半分成20cm×
40cm大小的四等份,每份作为木盒的一个侧面就可以了。
4.1∶1。
设四壁的造价是a元/m2,则底面造价为2a元/m2。
又设其底面边长为xm,高为ym,则有
x2y=64000。
总造价为
a×
4xy+2a×
x2
=2a(2xy+x2)=2a(xy+xy+x2)。
因为xy×
xy×
x2=(x2y)2=640002为一定值,故当xy=xy=x2即x∶y=1∶1时,总造价最省。
5.解:
设A城化肥运往C村x吨,则运往D村(200-x)吨;
B城化肥运往C村(220-x)吨,运往D村(80+x)吨,总运费y元,则
y=20x+25(200-x)+15(220-x)+22(80+x)
=2x+10060。
又易知0≤x≤200,故当x=0时,运费最省,为10060元。
运输方案如下:
A城化肥运往C村0吨,运往D村200吨;
B城化肥运往C村220吨,运往D村80吨。
6.98,94。
设某一学生前4次的平均分为x分,第5次的得分为y分,则其5次总分为
4x+y=5×
90=450。
于是y=450-4x。
显然90<y≤100,故
90<450-4x≤100,
解得87.5≤x<90。
于是两个学生前4次的平均分分别为88分和89分。
第5次得分分别为450-4×
88=98(分)和450-4×
89=94(分)。
7.90根。
每一根7300毫米的钢筋有如下三种损耗较小的截法:
290×
2+150×
1=7300,①
210×
2=7200,②
2+290×
2=7100。
③
设按方案①截得的钢筋有x根,按方案②截得的钢筋有y根,按方案③截得的钢筋有z根,则长为290,210,150毫米各有100根,即
2x+z=x+2y=2y+2z=100。
于是x=40,y=30,z=20。
一共至少用去长为7300毫米的钢筋90根。
8.30,20,50。
x+y+z=100,①
400x+600y+400z≥44000,②
800x+200y+400z≥48000。
由②得2x+3y+2z≥220。
④
由③得4x+y+2z≥240。
⑤
由④-①×
2,得y≥20。
由⑤-①×
2,得2x-y≥40。
由①得z=100-x-y。
成本为
6x+5y+4z
=6x+5y+4(100-x-y)
=400+2x+y
=400+2y+(2x-y)≥400+40+40=480。
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