平行线之间的动点问题含答案Word格式文档下载.docx
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∴∠1=
×
48°
=24°
∴MN与水平线的夹角为:
24°
+42°
=66°
;
(3)存在.
如图①,AB与CD在EF的两侧时,∵∠BAF=110°
∴∠ACD=180°
-60°
-3t=120°
-3t,
∠BAC=110°
-t,
要使AB∥CD,
则∠ACD=∠BAF,
即120°
-3t=110°
解得t=5;
此时(180°
)÷
3=40,
∴0<t<40,
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时,∵∠BAF=110°
∴∠DCF=360°
-3t-60°
=300°
则∠DCF=∠BAC,
即300°
解得t=95°
此时(360°
3=100,
∴40<t<100,
③CD旋转到与AB都在EF的左侧时,∵∠BAF=110°
∴∠DCF=3t-(180°
+180°
)=3t-300°
∠BAC=t-110°
即3t-300°
=t-110°
此时t>110,
∵95<110,
∴此情况不存在.
综上所述,t为5秒或95秒时,CD与AB平行.
解析:
(1)根据等角的补角相等求出∠3与∠4的补角相等,再根据内错角相等,两直线平行即可判定a∥b;
(2)根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等可得∠1=∠2,然后根据平角等于180°
求出∠1的度数,再加上42°
即可得解;
(3)分①AB与CD在EF的两侧,分别表示出∠ACD与∠BAC,然后根据两直线平行,内错角相等列式计算即可得解;
②CD旋转到与AB都在EF的右侧,分别表示出∠DCF与∠BAC,然后根据两直线平行,同位角相等列式计算即可得解;
③CD旋转到与AB都在EF的左侧,分别表示出∠DCF与∠BAC,然后根据两直线平行,同位角相等列式计算即可得解.
2、如图1,CE平分∠ACD,AE平分∠BAC,∠EAC+∠ACE=90°
(1)求证:
AB∥CD;
(2)如图2,由三角形内角和可知∠E=90°
,移动直角顶点E,使∠MCE=∠ECD,当直角顶点E点移动时,问∠BAE与∠MCD否存在确定的数量关系?
并证明;
(3)如图3,P为线段AC上一定点,点Q为直线CD上一动点,①当点Q在射线CD上运动时(点C除外)∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系?
猜想结论并说明理由.②当点Q在射线CD的反向延长线上运动时(点C除外)∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系?
猜想结论,不需说明理由.
证明:
(1)∵CE平分∠ACD,AE平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠EAC,∠ACD=2∠ACE,
∵∠EAC+∠ACE=90°
∴∠BAC+∠ACD=180,
∴AB∥CD;
(2)∠BAE+
∠MCD=90°
过E作EF∥AB,
∵AB∥CD,
∴EF∥∥AB∥CD,
∴∠BAE=∠AEF,∠FEC=∠DCE,
∵∠E=90°
∴∠BAE+∠ECD=90°
∵∠MCE=∠ECD,
∴∠BAE+
(3)如图3:
∴∠BAC+∠ACD=180°
∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°
∴∠BAC=∠PQC+∠QPC;
如图4:
∴∠BAC=∠ACQ
∵∠PQC+∠PCQ+∠ACQ=180°
∴∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°
.
(1)根据角平分线的性质可得∠BAC=2∠EAC,∠ACD=2∠ACE,再由∠EAC+∠ACE=90°
可得∠BAC+∠ACD=180,进而得到AB∥CD;
(2)过E作EF∥AB,证明EF∥∥AB∥CD,可得∠BAE=∠AEF,∠FEC=∠DCE,再由∠E=90°
,可得∠BAE+∠ECD=90°
,进而得到∠BAE+
(3)根据平行线的性质结合三角形内角和定理可得∠CPQ+∠CQP与∠BAC数量关系
3、
(1)如图1,AC平分∠DAB,∠1=∠2,试说明AB与CD的位置关系,并予以证明;
(2)如图2,在
(1)的条件下,AB的下方两点E,F满足∠EBF=2∠ABF,CF平分∠DCE,若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°
,求∠ABE的度数;
(3)如图3,在前面的条件下,若P是BE上一点,G是CD上任一点,PQ平分∠BPG,PQ∥GN,GM平分∠DGP,下列结论:
①∠DGP-∠MGN的值不变;
②∠MGN的度数不变.可以证明,只有一个是正确的,请你作出正确的选择并值.
(1)答:
AB∥CD.
(2)解:
设∠ABF=x,则∠EBF=2x,
∴∠ABE=∠ABF+∠EBF=x+2x=3x,
根据三角形的内角和定理可得,∠E+∠EBF=∠F+∠ECF,
根据三角形的外角性质,∠1=∠E+∠ABE=∠E+3x,
∴∠1=∠DCE,
∵CF平分∠DCE,
∴∠ECF=
∠DCE=
∠1=
(∠E+3x),
∴∠E+2x=∠F+
整理得,2∠F-∠E=x①,
∵∠F的2倍与∠E的补角的和为190°
∴2∠F+180°
-∠E=190°
②,
①代入②得,x+180°
=190°
∴x=10°
∴∠ABE=3x=30°
(3)解:
如图,根据三角形的外角性质,∠1=∠BPG+∠B,
∵PQ平分∠BPG,GM平分∠DGP,
∴∠GPQ=
∠BPG,∠MGP=
∠DGP,
∴∠1=∠DGP,
∴∠MGP=
(∠BPG+∠B),
∵PQ∥GN,
∴∠NGP=∠GPQ=
∠BPG,
∴∠MGN=∠MGP-∠NGP=
(∠BPG+∠B)-
∠BPG=
∠B,
根据前面的条件,∠B=30°
∴∠MGN=
30°
=15°
∴①∠DGP-∠MGN的值随∠DGP的变化而变化;
②∠MGN的度数为15°
不变.
解
(1)根据内错角相等,两直线平行证明即可;
(2)设∠ABF=x,则∠ABE=3x,根据三角形内角和定理整理得到∠E+∠EBF=∠F+∠ECF,再根据两直线平行,内错角相等以及角平分线的定义表示出∠ECF=
∠1,然后整理得到∠E、∠F的关系式,再根据∠F与∠E的补角的关系列出等式,然后整理即可求出x,从而得解;
(3)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1=∠BPG+∠B,再根据平行线的性质以及角平分线的定义表示出∠MGP、∠DPQ,根据两直线平行,内错角相等可得∠NGP=∠GPQ,然后列式表示出∠MGN=
∠B,从而判定②正确.
4、长方形OABC,O为平面直角坐标系的原点,OA=5,OC=3,点B在第三象限.
(1)求点B的坐标;
(2)如图1,若过点B的直线BP与长方形OABC的边交于点P,且将长方形OABC的面积分为1:
4两部分,求点P的坐标;
(3)如图2,M为x轴负半轴上一点,且∠CBM=∠CMB,N是x轴正半轴上一动点,∠MCN的平分线CD交BM的延长线于点D,在点N运动的过程中,的值是否变化?
若不变,求出其值;
若变化,请说明理由.
(1)∵四边形OABC为长方形,OA=5,OB=3,且点B在第三象限,
∴B(-5,-3).
(2)若过点B的直线BP与边OA交于点P,依题意可知:
AB×
AP=
OA×
OC,
即
3×
5×
3,
∴AP=2
∵OA=5,
∴OP=3,
∴P(-3,0),
若过点B的直线BP与边OC交于点P,依题意可知:
BC×
PC=
∴PC=
∵OC=3,
∴OP=
∴P(0,-).
综上所述,点P的坐标为(-3,0h或(0,-
).
(3)延长BC至点F,
∵四边形OABC为长方形,
∴OA∥BC.
∴∠CBM=∠AMB,∠AMC=∠MCF.
∵∠CBM=∠CMB,
∴∠MCF=2∠CMB.
过点M作ME∥CD交BC于点E,
∴∠EMC=∠MCD.
又∵CD平分∠MCN,
∴∠NCM=2∠EMC.
∴∠D=∠BME=∠CMB-∠EMC,
∠CN7=∠NCF=∠MCF-∠NCM=2∠BMC-2∠DCM=2∠D,
∴
=
.
(1)根据第三象可点的坐标性质得出答案;
(2)利用长方形OABC的面积分为1:
4两部分,得出等式求出AP的长,即可得出P点坐标,再求出PC的长,即可得出OP的长,进而得出答案;
(3)标先求出∠MCF=2∠CMB,即可得出∠CNM=部NCF=∠MCF-∠NCM=2∠BMC-2∠DCM,得出答案.
5、如图,已知直线AB∥CD,∠A=∠C=100°
,E、F在CD上,且满足∠DBF=∠ABD,BE平分∠CBF.
(1)直线AD与BC有何位置关系?
请说明理由.
(2)求∠DBE的度数.
(3)若平行移动AD,在平行移动AD的过程中,是否存在某种情况,使∠BEC=∠ADB?
若存在,求出其度数;
若不存在,请说明理由.
(1)AD∥BC.
∴∠A+∠ADC=180°
又∵∠A=∠C
∴∠ADC+∠C=180°
∴AD∥BC;
∴∠ABC=180°
-∠C=80°
∵∠DBF=∠ABD,BE平分∠CBF,
∴∠DBE=
∠ABF+
∠CBF=
∠ABC=40°
设∠ABD=∠DBF=∠BDC=x°
∴∠BEC=∠ABE=x°
+40°
∴∠ADC=180°
-∠A=80°
∴∠ADB=80°
-x°
若∠BEC=∠ADB,
则x°
=80°
得x°
=20°
∴存在∠BEC=∠ADB=60°
(1)根据平行线的性质,以及等量代换证明∠ADC+∠C=180°
,即可证得AD∥BC;
(2)由直线AB∥CD,根据两直线平行,同旁内角互补,即可求得∠ABC的度数,又由∠DBE=
∠ABC,即可求得∠DBE的度数.
(3)首先设∠ABD=∠DBF=∠BDC=x°
,由直线AB∥CD,根据两直线平行,同旁内角互补与两直线平行,内错角相等,可求得∠BEC与∠ADB的度数,又由∠BEC=∠ADB,即可得方程:
x°
,解此方程即可求得答案.
6、已知直线l1∥l2,且
l3、l4和l1、l2分别交于A、B、C、D四点,点P在直线AB上运动.设∠ADP=∠1,∠DPC=∠2,∠BCP=∠3.
(1)如果点P在A、B两点之间时(如图),探究∠1、∠2、∠3之间的数量关系.(要求说明理由);
(2)此时,若∠1=30°
,∠3=40°
,求∠2的度数;
(3)如果点P在A、B两点外侧时,猜想∠1、∠2、∠3之间的数量关系(点P和A、B不重合)(直接写出结论).
(1)∠2=∠1+∠3,理由为:
过P作PM∥l1,如图所示:
由l1∥l2,得到PM∥l2,
∴∠1=∠DPM,∠3=∠CPM,
∴∠2=∠DPM+∠CPM=∠1+∠3;
(2)∵∠1=3三°
,∠3=4三°
∴∠2=∠1+∠3=7三°
(3)∠3=∠1+∠2,理由为:
∵l1∥l2,
∴∠3=∠4,
又∠4为△PDQ的外角,
∴∠4=∠1+∠2,
则∠3=∠1+∠2.
(1)∠1、∠2、∠3之间的数量关系为∠2=∠1+∠3,理由为:
过P作PM平行于l1,由l1∥l2,利用平行于同一条直线的两直线平行,得到PM平行于l2,由PM平行于l1,利用两直线平行内错角相等得到∠1=∠DPM,由PM平行于l2,利用两直线平行内错角相等得到∠3=∠CPM,而∠2=∠DPM+∠CPM,等量代换可得证;
(2)将∠1和∠3的度数代入第一问的结论∠2=∠1+∠3中,即可求出∠2的度数;
(3)∠1、∠2、∠3之间的数量关系为∠3=∠1+∠2,理由为:
由l1∥l2,利用两直线平行同位角相等得到∠3=∠4,又∠4为三角形PDQ的外角,利用三角形的外角性质得到∠4=∠1+∠2,等量代换可得证.
7、如图,已知两条射线OM∥CN,动线段AB的两个端点A、B分别在射线OM、CN上,且∠C=∠OAB=108°
,F在线段CB上,OB平分∠AOF,OE平分∠COF.
(1)请在图中找出与∠AOC相等的角,并说明理由;
(2)若平行移动AB,那么∠OBC与∠OFC的度数比是否随着AB位置的变化而发生变化?
若变化,找出变化规律;
若不变,求出这个比值;
(3)在平行移动AB的过程中,是否存在某种情况,使∠OEC=2∠OBA?
若存在,请求出∠OBA度数;
若不存在,说明理由.
(1)∵OM∥CN,
∴∠AOC=180°
-∠C=180°
-108°
=72°
∠ABC=180°
-∠OAB=180°
又∵∠BAM=∠180°
∴与∠AOC相等的角是∠AOC,∠ABC,∠BAM;
(2)∵OM∥CN,
∴∠OBC=∠AOB,∠OFC=∠AOF,
∵OB平分∠AOF,
∴∠AOF=2∠AOB,
∴∠OFC=2∠OBC,
∴∠OBC:
∠OFC=
(3)设∠OBA=x,则∠OEC=2x,
在△AOB中,∠AOB=180°
-∠OAB-∠ABO=180°
-x-108°
-x,
在△OCE中,∠COE=180°
-∠C-∠OEC=180°
-2x=72°
-2x,
∵OB平分∠AOF,OE平分∠COF,
∴∠COE+∠AOB=
∠COF+
∠AOF=
∠AOC=
72°
=36°
∴72°
-x+72°
-2x=36°
解得x=36°
即∠OBA=36°
(1)根据两直线平行,同旁内角互补可得求出∠AOC,∠ABC,再根据邻补角的定义求出∠BAM即可得解;
(2)根据两直线平行,内错角相等可得∠OBC=∠AOB,∠OFC=∠AOF,再根据角平分线的定义可得∠AOF=2∠AOB,从而得到比值不变;
(3)设∠OBA=x,表示出∠OEC,然后利用三角形的内角和定理表示出∠AOB、∠COE,再根据角平分线的定义根据∠AOB+∠COE=
∠AOC列出方程求解即可.
8、已知,BC∥OA,∠B=∠A=100°
,试回答下列问题:
(1)如图①,求证:
OB∥AC.
(2)如图②,若点E、F在线段BC上,且满足∠FOC=∠AOC,并且OE平分∠BOF.则∠EOC的度数等于_____;
(在横线上填上答案即可).
(3)在
(2)的条件下,若平行移动AC,如图③,那么∠OCB:
∠OFB的值是否随之发生变化?
若变化,试说明理由;
若不变,求出这个比值.
(4)在(3)的条件下,如果平行移动AC的过程中,若使∠OEB=∠OCA,此时∠OCA度数等于_____.(在横线上填上答案即可).
(1)由BC∥OA得∠B+∠O=180°
,所以∠O=180°
-∠B=80°
,则∠A+∠O=180°
,根据平行线的判定即可得到OB∥AC;
(2)由OE平分∠BOF得到∠BOE=∠FOE,加上∠FOC=∠AOC,所以∠EOF+∠COF=
∠AOB=40°
(3)由BC∥OA得到OCB=∠AOC,∠OFB=∠AOF,加上∠FOC=∠AOC,则∠AOF=2∠AOC,所以∠OFB=2∠OCB,
(4)设∠AOC的度数为x,则∠OFB=2x,根据平行线的性质得∠OEB=∠AOE,则∠OEB=∠EOC+∠AOC=40°
+x,再根据三角形内角和定理得∠OCA=180°
-∠AOC-∠A=80°
-x,利用∠OEB=∠OCA得到40°
+x=80°
-x,解得x=20°
,所以∠OCA=80°
-x=60°
(1)证明:
∵BC∥OA,
∴∠B+∠O=180°
∴∠O=180°
而∠A=100°
∴∠A+∠O=180°
∴OB∥AC;
∵OE平分∠BOF,
∴∠BOE=∠FOE,
而∠FOC=∠AOC,
∴∠EOF+∠COF=
∠AOB=
80°
=40°
不改变.
∴∠OCB=∠AOC,∠OFB=∠AOF,
∵∠FOC=∠AOC,
∴∠AOF=2∠AOC,
∴∠OFB=2∠OCB,
即∠OCB:
∠OFB的值为1:
2;
(4)解:
设∠AOC的度数为x,则∠OFB=2x,
∵∠OEB=∠AOE,
∴∠OEB=∠EOC+∠AOC=40°
+x,
而∠OCA=180°
-∠AOC-∠A=180°
-x-100°
∵∠OEB=∠OCA,
∴40°
∴∠OCA=80°
-x=80°
-20°
=60°
故答案为40°
,60°
9、AB∥CD,点C在点D的右侧,∠ABC,∠ADC的平分线交于点E(不与B,D点重合).∠ABC=n°
,∠ADC=80°
(1)若点B在点A的左侧,求∠BED的度数(用含n的代数式表示);
(2)将
(1)中的线段BC沿DC方向平移,当点B移动到点A右侧时,请画出图形并判断∠BED的度数是否改变.若改变,请求出∠BED的度数(用含n的代数式表示);
若不变,请说明理由.
(1)过点E作EF∥AB,
∴AB∥CD∥EF,
∴∠ABE=∠BEF,∠CDE=∠DEF,
∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠ABC=n°
∴∠ABE=
∠ABC=
n°
,∠CDE=
∠ADC=40°
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=
(2)∠BED的度数改变,
过点E作EF∥AB,如图,
∴∠BEF=180°
-∠ABE=180°
-
,∠CDE=∠DEF=40°
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180°
=220°
(1)过点E作EF∥AB,根据平行线性质推出∠ABE=∠BEF,∠CDE=∠DEF,根据角平分线定义得出∠ABE=
,代入∠BED=∠BEF+∠DEF求出即可;
(2)过点E作EF∥AB,根据角平分线定义得出∠ABE=
,根据平行线性质得出∠BEF=180°
,代入∠BED=∠BEF+∠DEF求出即可.
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