K12学习余弦定理导学案文档格式.docx
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同理可证b2=a2+c2-2accosB,
c2=a2+b2-2abcosc.
方法2:
如图.当△ABc为锐角三角形时,过c作cD⊥AB于D,则cD=bsinA,
AD=bcosA,BD=AB-AD=c-bcosA.
在Rt△BcD中,Bc2=cD2+BD2,即a2=b2sin2A+2.
所以a2=b2+c2-2bccosA.
同理可证b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosc.
如图,当△ABc为钝角三角形时,过c作cD垂直于AB的延长线,垂足为D,则AD=bcosA,cD=bsinA.
BD=AD-AB=bcosA-c.
在Rt△BcD中,Bc2=cD2+BD2,即a2=b2sin2A+2.
同理可证:
b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosc.
三、余弦定理的应用
余弦定理主要适用以下两种题型:
已知三边求三角,用余弦定理,有解时只有一解;
已知两边和它们的夹角,求第三边和其他的角,用余弦定理,必有一解.
注意:
在应用余弦定理求三角形的边长时,容易出现增解,原因是余弦定理中涉及的是边长的平方,求得结果常有两解,因此,解题时需要特别注意三角形三边长度应满足的基本条件.
知能自主梳理
余弦定理
语言叙述:
三角形任何一边的平方等于
减去
的积的
公式表达:
a2=
;
b2=
c2=
变形:
cosA=
cosB=
cosc=
余弦定理及其变形的应用
应用余弦定理及其变形可解决两类解三角形的问题,一类是已知两边及其
解三角形,另一类是已知
解三角形.
[答案] 1.其他两边的平方和 这两边与它们夹角的余弦 两倍 b2+c2-2bccosA a2+c2-2accosB a2+b2-2abcosc
夹角 三边
思路方法技巧
命题方向 已知三边解三角形
[例1] 在△ABc中,已知a=7,b=3,c=5,求最大角和sinc.
[分析] 在三角形中,大边对大角,所以a边所对角最大.
[解析] ∵a>c>b,∴A为最大角,
由余弦定理得,cosA===,
又∵0°
<A<180°
∴A=120°
,
∴sinA=sin120°
=.
由正弦定理=得,
sinc===.
∴最大角A为120°
,sinc=.
[说明] 求sinc也可用下面方法求解:
cosc===,
∴c为锐角.
sinc===.
在解三角形时,有时既可用余弦定理,也可用正弦定理.
变式应用1
在△ABc中,已知:
:
=4:
5:
6,求△ABc的最大内角.
[解析] 设b+c=4,c+a=5,a+b=6.
则a+b+c=7.5,解得a=3.5,b=2.5,c=1.5.
∴a是最大边,即角A是△ABc的最大角.
由余弦定理,得cosA==-,
∵0°
∴A=120°
,即最大角为120°
.
命题方向 已知两边及一角解三角形
[例2] △ABc中,已知b=3,c=3,∠B=30°
解三角形.
[分析] 由题目可知以下信息:
①已知两边和其中一边的对角.
②求另外的两角和另一边.
解答本题可先由正弦定理求出角c,然后再求其他的边和角,也可由余弦定理列出关于边长a的方程,求出边a,再由正弦定理求角A,角c.
[解析] 解法一:
由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,
得32=a2+2-2a×
3×
cos30°
∴a2-9a+18=0,得a=3或6.
当a=3时,∠A=30°
∠c=120°
.
当a=6时,由正弦定理sinA===1.
∴∠A=90°
∴∠c=60°
解法二:
由bcsin30°
=3×
=知本题有两解.
由正弦定理sinc===,
∴∠c=60°
或120°
,
当∠c=60°
时,∠A=90°
由勾股定理a===6.
当∠c=120°
时,∠A=30°
,△ABc为等腰三角形,
∴a=3.
[说明] 知两边和一角解三角形时有两种方法:
利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程,运用解方程的方法求出此边长.
直接用正弦定理,先求角再求边.
用方法时要注意解的情况,用方法就避免了取舍解的麻烦.
变式应用2
在△ABc中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠c的对边,且cosA=,若a=4,b+c=6,且bb>
c,
∴最大角为A.sinA=,若A为锐角,则A=60°
,又c
∴cosA=-,
设c=x,则b=x+2,a=x+4.
∴=-,
∴x=3,故三边长为3,5,7.
三、解答题
在△ABc中,已知b2-bc-2c2=0,且a=,cosA=,求△ABc的面积.
[解析] ∵b2-bc-2c2=0,∴2--2=0,
解得=2,即b=2c.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,即b2+c2-bc=6,与b=2c
联立解得b=4,c=2.∵cosA=,
∴sinA==,
∴S△ABc=bcsinA=.
课后强化作业
一、选择题
在△ABc中,b=5,c=5,A=30°
则a等于
A.5
B.4
c.3
D.10
[答案] A
[解析] 由余弦定理,得2bccosA=b2+c2-a2,
∴2×
5×
=52+2-a2,
∴a2=25,∴a=5.
在△ABc中,已知a2=b2+c2+bc,则角A为
A.
B.
c.
D.或
[答案] c
[解析] ∵a2=b2+c2+bc,
∴cosA===,
又∵0<
A<
π,∴A=.
在△ABc中,若a=+1,b=-1,c=,则△ABc的最大角的度数为
A.60°
B.90°
c.120°
D.150°
[答案] c
[解析] 显然>+1>-1,
∴cosc==-=-,∴c=120°
△ABc的三内角A、B、c所对边长分别为a,b,c,设向量p=,q=.若p∥q,则∠c的大小为
D.π
[答案] B
[解析] ∵p=,q=且p∥q,
∴-b=0,
即a2+b2-c2=ab,
∴cosc===.
∴c=.
在△ABc中,已知2a2=c2+2,则∠A的值为
A.30°
B.45°
D.135°
[答案] D
[解析] 由已知得2a2=c2+2b2+c2+2bc,
∴a2=b2+c2+bc,
∴b2+c2-a2=-bc,
又b2+c2-a2=2bccosA,
∴2bccosA=-bc,
∴cosA=-,
∴A=135°
若△ABc的内角A、B、c所对的边a、b、c满足2-c2=4,且c=60°
,则ab的值为
B.8-4
c.1
D.
[答案] A
[解析] 本题主要考查余弦定理的应用.
在△ABc中,c=60°
∴a2+b2-c2=2abcosc=ab,
∴2-c2=a2+b2-c2+2ab=3ab=4,∴ab=,选A.
在△ABc中,三边长AB=7,Bc=5,Ac=6,则•等于
A.19
B.-14
c.-18
D.-19
[解析] 在△ABc中AB=7,Bc=5,Ac=6,
则cosB==.
又•=||•||cos
=-||•||cosB
=-7×
=-19.
在△ABc中,若△ABc的面积S=,则∠c为
[解析] 由S=,得absinc=×
2abcosc,∴tanc=1,∴c=.
二、填空题
在△ABc中,b=,c=2,A=45°
那么a的长为
[答案]
[解析] 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bcosA=+8-2×
×
2×
=+8-==,所以a=.
0.在△ABc中,AB=3,Bc=,Ac=4,则边Ac上的高为
[解析] 如图,cosA==,
∴sinA=.∴.BD=AB•sinA=.
1.在△ABc中,已知Bc=8,Ac=5,三角形面积为12,则cos2c=.
[解析] 由题意得S△ABc=Ac•Bcsinc=12,
即×
8×
sinc=12,则sinc=.
∴cos2c=1-2sin2c=1-2×
2=.
在△ABc中,B=60°
b2=ac,则三角形的形状为
[答案] 等边三角形
[解析] 由余弦定理得b2=a2+c2-ac,
∵b2=ac,
∴a2+c2-2ac=0,∴2=0,
∴a=c.
又∵B=60°
∴A=c=60°
故△ABc为等边三角形.
3.在△ABc中,A+c=2B,a+c=8,ac=15,求b.
在△ABc中,由A+c=2B,A+B+c=180°
,知B=60°
由a+c=8,ac=15,则a、c是方程x2-8x+15=0的两根.
解得a=5,c=3或a=3,c=5.
由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=9+25-2×
=19.
∴b=.
在△ABc中,∵A+c=2B,A+B+c=180°
∴B=60°
由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=2-2ac-2accosB=82-2×
15-2×
15×
∴b=.
△ABc的内角A、B、c的对边分别为a、b、c,asinA+csinc-asinc=bsinB.
求B;
若A=75°
b=2,求a,c.
[分析]利用三角形正弦定理,将已知条件asinA+csinc-asinc=bsinB中的角转化为边,再利用余弦定理即可求得B角,然后再利用正弦定理求得a,c的值.
[解析]∵asinA+csinc-asinc=bsinB
∴a2+c2-ac=b2
∴a2+c2-b2=ac
∴cosB===
∴B=45°
由得B=45°
∴c=180°
-A-B=180°
-75°
-45°
=60°
由正弦定理==
∴a====
c=.
[点评] 本题主要考查正、余弦定理的综合应用,考查考生利用所学知识解决问题的能力.解三角形的实质是将几何问题转化为代数问题即方程问题,具体操作过程的关键是正确分析边角的关系,能依据题设条件合理的设计解题程序,进行三角形中边角关系的互化,要抓住两个定理应用的信息;
当遇到的式子含角的余弦或是边的二次式,要考虑用余弦定理,若遇到的式子含角的正弦和边的一次式,则大多用正弦定理,若是以上特征不明显,则要考虑两个定理都有可能用.
在△ABc中,A=120°
b=3,c=5.
求sinBsinc;
求sinB+sinc.
[分析] 已知两边及其夹角,由余弦定理可求出第三边a,再由正弦定理求出sinB,sinc.
[解析] ∵b=3,c=5,A=120°
∴由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA
=9+25-2×
=49.
∴取正值a=7.
由正弦定理,得sinB==,
sinc=
∴sinB•sinc=.
由可得sinB+sinc=.
已知三角形的一个角为60°
面积为10c2,周长为20c,求此三角形各边长.
[解析] 设三角形的三条边长分别为a,b,c,B=60°
则依题意,得
a+b+c=20
cos60°
=
acsin60°
=10,
a+b+c=20,①
∴
b2=a2+c2-ac,②
ac=40.③
由①式,得b2=[20-]2=400+a2+c2+2ac-40.④
将②代入④,得400+3ac-40=0,
再将③代入④,得a+c=13.
a+c=13
a=5
a=8
,得
,或
ac=40
c=8
c=5.
∴b=7.
∴该三角形的三边长为5c,7c,8c.
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