八年级上册数学全等三角形中重点几何模型卷附答案Word下载.docx
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如图,在△ABC、△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°
,AB=AC,AD=AE,点C、D、E三点在同一直线上,连接BD.
(1)求证:
△BAD≌△CAE;
(2)试猜想BD、CE有何特殊位置关系,并证明.
11.如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
(1)说明BE=CF的理由;
(2)如果AB=5,AC=3,求AE、BE的长.
12.如图所示,在△ABC中,AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC.试判断EC与BF的关系,并说明理由.
13.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.求证:
(1)FC=AD;
(2)AB=BC+AD.
14.如图,△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB,过D作直线平行于BC,交AB、AC于E、F,求证:
EF=BE+CF.
15.如图,点C是线段AB上除点A、B外的任意一点,分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE,连接AE交DC于M,连接BD交CE于N,连接MN.
AE=BD;
(2)求证:
MN∥AB.
16.如图1,点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点,点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1cm/s,
(1)连接AQ、CP交于点M,则在P、Q运动的过程中,∠CMQ变化吗?
若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数;
(2)何时△PBQ是直角三角形?
(3)如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动,直线AQ、CP交点为M,则∠CMQ变化吗?
若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数.
17.如图,△ABC是等腰三角形,D,E分别是腰AB及AC延长线上的一点,且BD=CE,连接DE交底BC于G.求证GD=GE.
18.已知:
如图,△ABC是边长3cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点停止运动.设点P的运动时间为t(s),解答问题:
当t为何值时,△PBQ是直角三角形?
参考答案与试题解析
【分析】首先过点P作PB⊥OM于B,由OP平分∠MON,PA⊥ON,PA=3,根据角平分线的性质,即可求得PB的值,又由垂线段最短,可求得PQ的最小值.
【解答】解:
过点P作PB⊥OM于B,
∵OP平分∠MON,PA⊥ON,PA=3,
∴PB=PA=3,
∴PQ的最小值为3.
故选:
C.
【点评】此题考查了角平分线的性质与垂线段最短的知识.此题难度不大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解.
如图所示,加油站站的地址有四处.
D.
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,熟记性质并是解题的关键,作出图形更形象直观.
【分析】作PE⊥OA于E,如图,先利用平行线的性质得∠ECP=∠AOB=30°
,则PE=
PC=2,然后根据角平分线的性质得到PD的长.
作PE⊥OA于E,如图,
∵CP∥OB,
∴∠ECP=∠AOB=30°
在Rt△EPC中,PE=
PC=
×
4=2,
∵P是∠AOB平分线上一点,PE⊥OA,PD⊥OB,
∴PD=PE=2.
B.
【点评】本题考查了角平分线的性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.解决本题的关键是把求P点到OB的距离转化为点P到OA的距离.
【分析】作DM=DE交AC于M,作DN⊥AC,利用角平分线的性质得到DN=DF,将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求.
作DM=DE交AC于M,作DN⊥AC于点N,
∵DE=DG,
∴DM=DG,
∵AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,
∴DF=DN,
在Rt△DEF和Rt△DMN中,
∴Rt△DEF≌Rt△DMN(HL),
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39,
∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11,
S△DNM=S△EDF=
S△MDG=
11=5.5.
【点评】本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质,解题的关键是正确地作出辅助线,将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求.
【分析】首先根据MN是线段AB的垂直平分线,可得AN=BN,然后根据△BCN的周长是7cm,以及AN+NC=AC,求出BC的长为多少即可.
∵MN是线段AB的垂直平分线,
∴AN=BN,
∵△BCN的周长是7cm,
∴BN+NC+BC=7(cm),
∴AN+NC+BC=7(cm),
∵AN+NC=AC,
∴AC+BC=7(cm),
又∵AC=4cm,
∴BC=7﹣4=3(cm).
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:
①垂直平分线垂直且平分其所在线段.②垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.③三角形三条边的垂直平分线相交于一点,该点叫外心,并且这一点到三个顶点的距离相等.
【分析】连结PG、PH,如图,根据轴对称的性质得OM垂直平分PG,ON垂直平分PH,则根据线段垂直平分线的性质得AP=AG,BP=BH,于是利用等线段代换可得△PAB的周长=GH=10cm.
连结PG、PH,如图,
∵P点关于OM的轴对称点是G,P点关于ON的轴对称点是H,
∴OM垂直平分PG,ON垂直平分PH,
∴AP=AG,BP=BH,
∴△PAB的周长=AP+AB+BP
=AG+AB+BH
=GH
=10cm.
【点评】本题考查了轴对称的性质:
如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称;
如果两个图形成轴对称,我们只要找到一对对应点,作出连接它们的线段的垂直平分线,就可以得到这两个图形的对称轴.
【分析】设运动的时间为x,则AP=20﹣3x,当APQ是等腰三角形时,AP=AQ,则20﹣3x=2x,解得x即可.
设运动的时间为x,
在△ABC中,AB=20cm,AC=12cm,
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动,点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动,
当△APQ是等腰三角形时,AP=AQ,
AP=20﹣3x,AQ=2x
即20﹣3x=2x,
解得x=4.
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握,此题涉及到动点,有一定的拔高难度,属于中档题.
S△CAO= 4:
5:
6 .
【分析】首先过点O作OD⊥AB于点D,作OE⊥AC于点E,作OF⊥BC于点F,由OA,OB,OC是△ABC的三条角平分线,根据角平分线的性质,可得OD=OE=OF,又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60,即可求得S△ABO:
S△CAO的值.
过点O作OD⊥AB于点D,作OE⊥AC于点E,作OF⊥BC于点F,
∵OA,OB,OC是△ABC的三条角平分线,
∴OD=OE=OF,
∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60,
∴S△ABO:
S△CAO=(
AB•OD):
(
BC•OF):
AC•OE)=AB:
BC:
AC=40:
50:
60=4:
6.
故答案为:
4:
【点评】此题考查了角平分线的性质.此题难度不大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图2,线段CF、BD所在直线的位置关系为 垂直 ,线段CF、BD的数量关系为 相等 ;
【分析】
(1)当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立.由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC,所以CF=BD,∠ACF=∠ABD.结合∠BAC=90°
,AB=AC,得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°
.即CF⊥BD.
(2)当∠ACB=45°
时,过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G,则∠GAC=90°
,可推出∠ACB=∠AGC,所以AC=AG,由
(1)①可知CF⊥BD.
【解答】证明:
(1)①正方形ADEF中,AD=AF,
∵∠BAC=∠DAF=90°
∴∠BAD=∠CAF,
又∵AB=AC,
∴△DAB≌△FAC,
∴CF=BD,∠B=∠ACF,
∴∠ACB+∠ACF=90°
,即CF⊥BD.
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立.
由正方形ADEF得AD=AF,∠DAF=90度.
∵∠BAC=90°
∴∠DAF=∠BAC,
∴∠DAB=∠FAC,
∴CF=BD,∠ACF=∠ABD.
,AB=AC,
∴∠ABC=45°
∴∠ACF=45°
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度.
即CF⊥BD.
时,CF⊥BD(如图).
理由:
过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G,
则∠GAC=90°
∵∠ACB=45°
,∠AGC=90°
﹣∠ACB,
∴∠AGC=90°
﹣45°
=45°
∴∠ACB=∠AGC=45°
∴AC=AG,
∵∠DAG=∠FAC(同角的余角相等),AD=AF,
∴△GAD≌△CAF,
∴∠ACF=∠AGC=45°
∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°
+45°
=90°
,即CF⊥BC.
【点评】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定,判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、ASA、AAS、HL.判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.
【分析】要证
(1)△BAD≌△CAE,现有AB=AC,AD=AE,需它们的夹角∠BAD=∠CAE,而由∠BAC=∠DAE=90°
很易证得.
(2)BD、CE有何特殊位置关系,从图形上可看出是垂直关系,可向这方面努力.要证BD⊥CE,需证∠BDE=90°
,需证∠ADB+∠ADE=90°
可由直角三角形提供.
【解答】
(1)证明:
∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD
即∠BAD=∠CAE,
又∵AB=AC,AD=AE,
∴△BAD≌△CAE(SAS).
(2)BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE.
证明如下:
由
(1)知△BAD≌△CAE,
∴∠ADB=∠E.
∵∠DAE=90°
∴∠E+∠ADE=90°
.
∴∠ADB+∠ADE=90°
即∠BDE=90°
∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE.
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质;
全等问题要注意找条件,有些条件需在图形是仔细观察,认真推敲方可.做题时,有时需要先猜后证.
(1)连接BD,CD,由AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,根据角平分线的性质,即可得DE=DF,又由DG⊥BC且平分BC,根据线段垂直平分线的性质,可得BD=CD,继而可证得Rt△BED≌Rt△CFD,则可得BE=CF;
(2)首先证得△AED≌△AFD,即可得AE=AF,然后设BE=x,由AB﹣BE=AC+CF,即可得方程5﹣x=3+x,解方程即可求得答案.
连接BD,CD,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°
∵DG⊥BC且平分BC,
∴BD=CD,
在Rt△BED与Rt△CFD中,
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL),
∴BE=CF;
(2)解:
在△AED和△AFD中,
∴△AED≌△AFD(AAS),
∴AE=AF,
设BE=x,则CF=x,
∵AB=5,AC=3,AE=AB﹣BE,AF=AC+CF,
∴5﹣x=3+x,
解得:
x=1,
∴BE=1,AE=AB﹣BE=5﹣1=4.
【点评】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中,解题的关键是准确作出辅助线,利用方程思想与数形结合思想求解.
【分析】先由条件可以得出∠EAC=∠BAE,再证明△EAC≌△BAF就可以得出结论.
EC=BF,EC⊥BF.
∵AE⊥AB,AF⊥AC,
∴∠EAB=∠CAF=90°
∴∠EAB+∠BAC=∠CAF+∠BAC,
∴∠EAC=∠BAE.
在△EAC和△BAF中,
∴△EAC≌△BAF(SAS),
∴EC=BF.∠AEC=∠ABF
∵∠AEG+∠AGE=90°
,∠AGE=∠BGM,
∴∠ABF+∠BGM=90°
∴∠EMB=90°
∴EC⊥BF.
【点评】本题考查了等式的性质的运用,全等三角形的判定与性质的运用,垂直的判定的运用,解答时证明三角形全等是关键.
(1)根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF,再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE,根据全等三角形的性质即可解答.
(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF即可.
(1)∵AD∥BC(已知),
∴∠ADC=∠ECF(两直线平行,内错角相等),
∵E是CD的中点(已知),
∴DE=EC(中点的定义).
∵在△ADE与△FCE中,
∴△ADE≌△FCE(ASA),
∴FC=AD(全等三角形的性质).
(2)∵△ADE≌△FCE,
∴AE=EF,AD=CF(全等三角形的对应边相等),
∴BE是线段AF的垂直平分线,
∴AB=BF=BC+CF,
∵AD=CF(已证),
∴AB=BC+AD(等量代换).
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识.线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.
【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质,解出△BED和△CFD是等腰三角形,通过等量代换即可得出结论.
∵△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB,
∴∠1=∠2,∠5=∠6,
∵EF∥BC,∴∠2=∠3,∠4=∠6,
∴∠1=∠3,∠4=∠5,
根据在同一三角形中等角对等边的原则可知,BE=ED,DF=FC,故EF=ED+DF=BE+CF.
【点评】本题综合考查等腰三角形的性质及平行线的性质;
一般是利用等腰(等边)三角形的性质得出相等的边,进而得出结论.进行等量代换是解答本题的关键.
(1))先由△ACD和△BCE是等边三角形,可知AC=DC,CE=CB,∠DCA=60°
,∠ECB=60°
,故可得出∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE,∠ACE=∠DCB,根据SAS定理可知△ACE≌△DCB,由全等三角形的性质即可得出结论;
(2)由
(1)中△ACE≌△DCB,可知∠CAM=∠CDN,再根据∠ACD=∠ECB=60°
,A、C、B三点共线可得出∠DCN=60°
,由全等三角形的判定定理可知,△ACM≌△DCN,故MC=NC,再根据∠MCN=60°
可知△MCN为等边三角形,故∠NMC=∠DCN=60°
故可得出结论.
(1)∵△ACD和△BCE是等边三角形,
∴AC=DC,CE=CB,∠DCA=60°
∵∠DCA=∠ECB=60°
∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE,∠ACE=∠DCB,
在△ACE与△DCB中,
∵
∴△ACE≌△DCB,
∴AE=BD;
(2)∵由
(1)得,△ACE≌△DCB,
∴∠CAM=∠CDN,
∵∠ACD=∠ECB=60°
,而A、C、B三点共线,
∴∠DCN=60°
在△ACM与△DCN中,
∴△ACM≌△DCN(ASA),
∴MC=NC,
∵∠MCN=60°
∴△MCN为等边三角形,
∴∠NMC=∠DCN=60°
∴∠NMC=∠DCA,
∴MN∥AB.
【点评】本题考查的是等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质,根据题意判断出△ACE≌△DCB,△ACM≌△DCN是解答此题的关键.
(1)因为点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1cm/s,所以AP=BQ.AB=AC,∠B=∠CAP=60°
,因而运用边角边定理可知△ABQ
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