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【重点难点解析】
通过〝圆的方程〞的学习我们知道,圆的几何性质问题用代数的方法解题简便,计算量小的特点,同样,椭圆也有类似的几何性质,那么在学习本节之前要复习椭圆的定义及标准方程,在此基础上来学习椭圆的几何性质,掌握椭圆的性质,标准方程,及椭圆的第二定义.
例1 设直线l过点P(-1,0),倾角为,求l被椭圆_2+2y2=4所截得的弦长.
解:
直线l的方程为y=_+,代入椭圆方程,得7_2+12_+2=0,∵△=144-4_7_2=88
∴弦长==
例2 求椭圆+=1上的点到直线3_+4y-64=0的最长距离与最短距离.
设椭圆上的点为(5cosθ,9sinθ),则
d==
=
∴dma_=
例3 已知椭圆+=1内有一点P(1,-1),F是右焦点,M是椭圆上的动点,求MP+2MF的最小值,并求此时M的坐标.
过M作右准线_=4的垂线,垂足为M1,由椭圆第二定义,有=∴2|MF|=|MM1|
∴|MP|+2|MF|=|MP|+|MM1|
过P作右准线的垂线交椭圆于N,垂足为N1,垂线方程为y=-1.
显然|MP|+|MM1|≥|NP|+|NN1|(当M与N重合时等号成立)而|NP|+|NN1|=|PN1|=3
由方程组得N(,-1)
∴|MP|+2|MF|的最小值是3,此时M的坐标是(,-1)
【难题巧解点拨】
例1 P是椭圆方程为+=1上的任意一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,试求|PF1|·
|PF2|的取值范围.
设|PF1|=t,则t∈[a-c,a+c],即t∈[4-,4+]且|PF2|=2a-t=8-t.
∴|PF1|·
|PF2|=t(8-t)=-(t-4)2+16 t∈[4-,4+]
当t=4时,取最大值为16
当t=4±
时,取最小值为9.
∴所求范围为[9,16]
例2F1.F2是椭圆的两个焦点,过F2作一条直线交椭圆于P.Q两点,使PF1⊥PQ,且|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率e.
如下图,设|PF1|=t,则|PQ|=t,|F1Q|=t,由椭圆定义有:
|PF1|+|PF2|=|QF1|+|QF2|=2a
∴|PF1|+|PQ|+|F1Q|=4a 即(+2)t=4a,t=(4-2)a
∴|PF2|=2a-t=(2-2)a
在Rt△PF1F2中,|F1F1|2=(2c)2
∴[(4-2)a]2+[(2-2)a]2=(2c)2
∴=9-6 ∴e==-
例3 已知P是椭圆+=1(a>b>0)上的一点,F1F2为两焦点,且F1P⊥F2P,若P到两准线的距离分别为6和12,求此椭圆方程.
(利用椭圆第二定义求解)
∵点P到两准线的距离分别是6和12
∴2·
=6+12 即a2=9c
由椭圆第二定义知,e==
∵d1=6,d2=12 ∴|PF1|=6e,|PF2|=12e
又∵PF1⊥PF2 ∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2
∴36e2+144e2=4c2 ∵e= ∴a2=45
又a2=9c
∴c=5
∴b2=a2-c2=20
∴所求椭圆的方程的+=1
例4 在椭圆3_2+4y2=12上,是否存在相异的两点A.B关于直线y=4_+m对称并说明理由.
设A(_1,y1),B(_2,y2),AB的中点M(_0,y0)
直线AB:
y=-_+t,将AB的方程代入椭圆的方程消去y得,13_2-8t_+16t2-48=0
∴△=(-8t)2-4_13_(16t2-48)>0
∴-<t< ①且_1+_2=t
又AB的中点M在直线y=4_+m上,
∴t=4_t+m ∴t=-m
代入①式得:
-<m<
解法二:
设A(_1,y1),B(_2,y2)是椭圆上关于直线l:
y=4_+m对称的两点,则
+=1 ① +=1 ②
①-②得+=0
∴=
而KAB==-
故有=-
设AB的中点为(_,y),则有_1+_2=2_,y1+y2=2y
代入即得AB中点的轨迹方程为y=3_.
由
由于AB的中点在椭圆内部
∴+<1m2<
-<m<
故当m∈(-,)时,椭圆C上有不同的两点关于直线对称.
例5 椭圆=1上不同三点A(_1,y1),B(4,
),C(_2,y2)与焦点F(4,0)的距离成等差数列.
(1)求证:
_1+_2=8
(2)若线段AC的垂直平分线与_轴的交点为T,求直线BT的斜率k.
由题知a=5,b=3,c=4.
(1)由椭圆的第二定义知:
=|AF|=a-_1=5-_1
同理有|CF|=5-_2
∵|AF|+|CF|=2|BF|
且|BF|=
∴(5-_1)+(5-_2)=
即_1+_2=8
(2)∵线段AC的中点为(4,)
∴它的垂直平分线方程为y-=(_-4)
又点T在_轴上,设其坐标为(_0,0),代入上式得,_0-4= ①
点A(_1,y1),B(_2,y2)都在椭圆上
∴y21=(25-_21),y22=(25-_22)
∴y21-y22=-(_1+_2)(_1-_2)
将此式代入①并利用_1+_2=8得
_0-4=-
∴kBT==
【命题趋势分析】
1.熟练掌握椭圆的第二定义,两种形式的标准方程及几何性质,运用它们及参数间的关系解决相关问题.
2.必要时,椭圆方程可设为m_2+ny2=1(m>0,n>0),这样计算简洁,还可避免对焦点位置的讨论.
3.遇到弦的中点问题时,常用点差法.
例1 椭圆=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|的( )
A.7倍
B.5倍 C.4倍 D.3倍
设F1(-3,0),e=,P(_0,y0)
∵线段PF1的中点的横坐标为0,∴=0 即_0=3
∴|PF1|=a+e_0=2+_3=
∴|PF2|=2a-|PF1|=4-=
∴|PF1|=7|PF2| 故选A
例2 设椭圆的中心是坐标原点,长轴在_轴上,离心率e=,已知点P(0,)到这个椭圆上的点的最远距离为,求这个椭圆方程,并求椭圆上到P的距离等于的点的坐标.
设所求椭圆方程为+=1(a>b>0)
由e2===1-和e= 得a=2b
设椭圆上的点(_,y)到P点的距离为d,则
d2=_2+(y-)2=a2(1-)+y2-3y+
=-3(y+)2+4b2+3 (-b≤y≤b)
若b<时,则当y=-b时,d2(从而d)有最大值,由题设得()2=(b+)2,由此得b=->与b<矛盾.
若b≥时,当y=-时,d2有最大值,从而d有最大值,有()2=4b2+3,∴b=1,a=2
∴所求椭圆方程为+y2=1,椭圆上的点(-,-),点(,-)到P点的距离都是.
说明:
本题体现了数学的转化与函数思想,本题关键是讨论距离函数d2=-3(y+)2+4b2+3在区间[-b,b]上的最值,二次函数在区间上的最值问题要就对称轴与区间的关系来讨论.
例3 已知椭圆的中心在原点O,焦点在坐标轴上,直线y=_+1与该椭圆相交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=.求椭圆方程.
分析 设P(_1,y1),Q(_2,y2,)由OP⊥OQ知_1_2+y1y2=0,再结合弦长公式与韦达定理求解.
设椭圆的方程为+=1(a>0,b>0,a>b或a<b),点P.Q的坐标别为P(_1,y1),Q(_2,y2).
由消去y得
(a2+b2)_2+2a2_+a2-a2b2=0,
当△=(2a2)2-4(a2+b2)(a2-a2b2)>0时由韦达定理得
_1+_2=-,_1_2=.
且y1=_1+1,y2=_2+1,
∵OP⊥OQ,∴·
=-1,即y1y2+_1_2=0,
∴(_1+1)(_2+1)+_1_2=0,
∴2_1_2+(_1+_2)+1=0, ①
又|PQ|=,由弦长公式有:
|_2-_1|=,
∴2[(_1+_2)2-4_1_2]=,
∴4(_1+_2)2-16_1_2-5=0 ②
解由①.②组成的方程组得
或
∴,或
解得或
故所求椭圆方程为+=1或+=1
【同步达纲练习】
A级
一.选择题
1.椭圆+=1与+=k(a>b>0,k>0)一定具有相同的( )
A.长轴
B.焦点
C.离心率
D.顶点
2.离心率为,且过点(2,0)的椭圆标准方程为( )
A.+y2=1 B.
+y2=1或_2+=1
C._2+=1 D.
+y2=1或+=1
3.若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是( )
A.(-16,25) B.(
25) C.(-16,) D.(
+∞)
4.若圆(_-a)2+y2=9与椭圆+=1有公共点,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,+∞) B.[-6,6] C.[-,] D.
5.若椭圆的两个焦点三等分两条准线间的距离,则椭圆的离心率为( )
A.3 B. C. D.
二.填空题
6.椭圆+=1的离心率e=,则实数m的值为
.
7.若方程+=-1表示椭圆,则实数k的取值范围是
8.若椭圆的长轴长.短轴长,焦距依次成等差数列,则其离心率e=
三.解答题
9.已知椭圆+=1上的点P到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等差中项,求P点坐标.
10.已知P是椭圆+=1上的点,且∠F1PF2=90°
求△F1PF2的面积.
AA级
1.不论k为何值,直线y=k_+1与焦点在_轴上的椭圆+=1有公共点,则实数m的范围是( )
A.(0,1) B.(0,7) C.[1,7] D.(1,7]
2.椭圆的两个焦点和中心将两准线间的距离四等分,则一焦点与短轴两端点连线的夹角为( )
A. B.
C.
D.
π
3.已知F1.F2是椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点AB是过F1的弦,则△ABF2的周长是( )
A.2a B.4a C.8a D.2a+2b
4.已知(0,-4)是椭圆3k_2+ky2=1的一个焦点,则实数k的值是( )
A.6 B.
C.24 D.
5.以椭圆的右焦点F2为圆心作圆,使这圆过椭圆的中心,且交椭圆于M点,若直线MF1是圆F2的切线,则椭圆的离心率是( )
A.-1 B.2- C.
D.
6.以椭圆的两个焦点为直径端点的圆交椭圆于四个点,若顺次连接四个点及两个焦点恰好组成一个正六边形,则椭圆的离心率e=
7.已知F1F2是椭圆两焦点,P是椭圆上一点,△PF1F2满足∠PF1F2:
∠PF2F1:
∠F1PF2=1∶2∶3,则此椭圆的离心率e=
8.已知A(1,1)
B(2,3),椭圆C:
_2+4y2=4a2,如果椭圆C和线段AB有公共点,则正数a的取值范围是
9.已知A.B是椭圆+=1上的两点,F2是椭圆的右焦点,若|AF2|+|BF2|=a,AB中点到椭圆左准线距离为,求椭圆方程.
10.设椭圆+=1(a>b>0)的左顶点为A,若椭圆上存在一点P,使∠OPA=,求椭圆离心率的取值范围.
【素质优化训练】
1.已知M为椭圆上一点,F1F2是两焦点,且∠MF1F2=2α,∠MF2F1=α(α≠0),则椭圆的离心率是( )
A.1-2sinα B.1-sin2α C.1-cos2α D.2cosα-1
2.椭圆2_2+y2=1上的点到直线y=_-4的距离的最小值是( )
A. B.
C. D.
3.已知F是椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点,PQ是过其中心的一条弦,则△FQP面积的最大值是( )
A.ab B.ab C.ac D.bc
4.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率等于,若将此椭圆绕右焦点按逆时针方向旋转后,新位置的椭圆有一条准线方程是y=,则原椭圆方程是( )
A.+=1 B.
+=1
C.+=1 D.
5.椭圆+=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上,若线段PF1的中点M在y轴上,则M的纵坐标是( )
A.±
B.±
C.±
D.±
6.已知圆柱底面的直径为2k,一个与底面成30°
角的平面截这个圆柱,则截面上的椭圆的离心率是
7.已知P是椭圆+=1(a>b>0)上的点,且∠F1PF2=θ,则△F1PF2的面积是
8.点P(0,1)到椭圆+y2=1上点的最大距离是
9.已知椭圆长轴|A1A2|=6,|F1F2|=4,过椭圆焦点F1作一直线,交椭圆于M.N两点,设∠F2F1M=α(0≤α≤π),问当α取何值时,|MN|等于椭圆的短轴长.
10.已知椭圆+=1(a>b>0)与_轴交于AB两点,F1F2为焦点.
(1)过一焦点F2作垂直于长轴的弦MN,求∠AMB的大小范围
(2)若椭圆上有一点P,使得∠APB=120°
求P点的纵坐标,并求椭圆离心率满足什么条件时,这样的点P才存在.
【生活实际运用】
要把一个边长分别为52cm和30cm的矩形板锯成椭圆形,使它的长轴和短轴长分别为52cm和30cm用简便的方法在木板上画出这个椭圆的草图.
参考答案:
1.C 2.D
3.B 4.B 5.D
6.或 7.3<k<5且k≠4 8. 9.(0,2)或(0,-2) 10.4
1.C 2.C
3.B 4.D 5.A
6.-1 7.-1 8.[,] 9._2+y2=1
10.<e<1
1.D 2.D
3.D 4.C 5.A
6. 7.b2tan 8.2 9.α=或π 10.
(1)<∠AMB<π-arccot2
(2)e∈[,1]
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- 椭圆 简单 几何 性质