勾股定理的证明和应用Word文件下载.docx
- 文档编号:16613482
- 上传时间:2022-11-24
- 格式:DOCX
- 页数:9
- 大小:102.21KB
勾股定理的证明和应用Word文件下载.docx
《勾股定理的证明和应用Word文件下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《勾股定理的证明和应用Word文件下载.docx(9页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
(1)勾股定理的简单应用
求几何体表面上两点间的最短距离
解决实际应用问题
(2)勾股定理逆定理的应用---------判定某个三角形是否为直角三角形
3.1勾股定理
一、求网格中图形的面积
求网格中图形的面积,通常用两种方法:
“割”或“补”。
二、勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
拓展延伸:
(1)勾股定理揭示的是直角三角形的三边关系,所以必须注意“在直角三角形中”这一前提。
(2)勾股定理主要用于求线段的长度,因此,遇到求线段的长度问题时,首先想到的是把所求线段转化为某一直角三角形的边,然后利用勾股定理求解。
三、勾股定理的验证
运用拼图的方式,利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理。
3.2勾股定理的逆定理
一、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长分别为a,b,c且a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
注意:
(1)还没确定一个三角形是否为直角三角形时,不能说“斜边”“直角边”。
(2)不是所有的c都是斜边,要根据题意具体分析。
当满足a2+b2=c2时,c是斜边,它所对的角是直角。
勾股定理与勾股定理的逆定理之间既有区别,又有联系,如下表所示:
勾股定理的逆定理
条件
在Rt△ABC中,∠C=90°
,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边
在△ABC中,a2+b2=c2,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边
结论
a2+b2=c2
∠C=90°
区别
勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件,进而得到“这个三角形的三边满足a2+b2=c2”,即由“形”到“数”
勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件,进而得到“这个三角形是直角三角形”,即由“数”到“形”
联系
都与“一个三角形的三边关系a2+b2=c2”及“直角三角形”有关
二、勾股数
满足关系a2+b2=c2的3个正整数a,b,c称为勾股数。
详解:
(1)如:
32+42=52,所以3,4,5是一组勾股数,常见的勾股数有3,4,5;
5,12,13;
6,8,10等。
(2)勾股数必须是正整数。
(3)一组勾股数中各数的相同的正整数倍也是一组新的勾股数。
(4)记住常用的勾股数可以提高做题速度。
3.3勾股定理的简单应用
一、勾股定理的应用
运用勾股定理可以解决生活中的一些实际问题。
在应用勾股定理解决实际问题时,应先构造出直角三角形,然后把直角三角形的某两条边表示出来。
应用勾股定理解决实际问题时,先弄清直角三角形中哪边是斜边,哪两条边是直角边,以便进行计算或推理。
对于实际问题,应从中抽象出直角三角形或通过添加辅助线构造出直角三角形,以便正确运用勾股定理。
二、勾股定理的逆定理的应用
在日常生活中,经常遇到要求一些不规则图形的面积问题。
解决这样的问题常常需要借助辅助线将其转化成三角形的相关问题。
有时图形中并没有明显地给出直角三角形,但是其中一些已知的边长满足直角三角形的条件,所以可考虑利用勾股定理的逆定理解决。
【勾股定理的证明】
例1如图,是用硬纸版作成的两个小直角三角形和一个大直角三角形,两个小直角三角形直角边长分别为a和b,斜边为c,大直角三角形直角边都为c,请你动动脑筋,将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
(1)画出所拼图形的示意图,说出图形的名称。
(2)用这个图形证明勾股定理。
例2
数学实验室:
实验材料:
硬纸板、剪刀、三角板
实验方法:
剪裁、拼图、探索
实验目的:
验证勾股定理,拼图填空。
操作:
剪裁出若干个全等的直角三角形,三边长分别记为a、b、c,如图①。
(1)拼图一:
分别用4张直角三角形纸片,拼成如图②、图③的形状,观察图②、图③可发现,图②中两个小正方形的面积之和图③中小正方形的面积(填“大于”“小于”“等于”),用关系式可表示为;
(2)拼图二:
用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状,观察图形可以发现,图中共有3个正方形,它们的面积按大小顺序分别记为S大、S中、S小,其关系是,用a、b、c可表示为;
(3)拼图三:
用8张直角三角形纸片拼成如图⑤的形状,图中3个正方形的面积按大小顺序分别记为S大、S中、S小,其关系是,用a、b、c可表示为.
(思考题)如图,在△ABC中AB2=AC2=3,D是BC上一点,且AD=1,则BD?
DC=.
【勾股定理的应用】
例1
(基础题)利用勾股定理求三角形的边长
已知△ABC中,∠C=90°
,AB=c,AC=b(c为斜边、a、b为直角边)
(1)如果a=7,b=24,求c;
(2)如果a=15,c=17,求b.
已知直角三角形的一边和另外两边的关系,求另外两边的长
填空:
(1)直角三角形的一条直角边和斜边的比是3:
5,已知这条直角边的长是12,则斜边长为.
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°
,∠B=60°
,b=6(c为斜边,a、b为直角边)则c=,a=.
例3
利用勾股定理说明边的关系
如图,AD是△ABC的中线,试说明:
AB2+AC2=
2(AD2+CD2)
[来源:
学_科_网Z_X_X_K]
例4
利用勾股定理求面积:
如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边
AC沿直线折叠,使它落在斜边AB上,且点C落到E点,求△ACD的面积是多少?
例5
求等腰三角形底边上的高
如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD是BC边上的中线,求AD的长。
例6
利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形
已知a、b、c为△ABC的三边,且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c
试说明:
这个三角形是直角三角形。
例7
勾股定理及其逆定理的综合应用:
(1)如图,
四边形ABCD中,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,∠B=90°
,求四边形ABCD的面积。
(2)、下列几组数中是勾股数的是(填序号)
①32、42、52
②5、12、13③
、
④0.9、1.2、1.5
(3)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AD、BE、CF分别是三边上的中线.xx*k.Com]
①若AC=1,BC=
.求证:
AD2+CF2=BE2;
②是否存在这样的Rt△ABC,使得它三边上的中线AD、BE、CF的长恰好是一组勾股数?
请说明理由.(提示:
满足关系a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数.)[来源:
学§
科§
网]
例8构造直角三角形求角的度数
如图,在△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC,P是△ABC内的一点,且PB=1,PC=2,PA=3.把△ACP绕C点逆时针旋转90°
使点A和点B重合,得到四边形ABDC,求∠BPC的度数。
例9勾股定理在实际生活中的应
用
A市接到台风警报时,台风中心位于A市正南方向125km的B处,正以15km/h的速度沿BC方向移动。
(1)已知A市到BC的距离AD=35km,那么台风中心从B点移到D点经过多长时间?
(2)如果在距台风中心40km的圆形区域内都将受到台风影响,那么A市受到台风影响的时间是多长(结算结果精确到1分钟)?
例10
最短路径问题
1、有一圆柱体如图,高4cm,底面半径5cm,A处有一蚂蚁,若蚂蚁欲爬行到C处,求蚂蚁爬行的最短距离.
2、如图1,长方体的长为20,宽为10,高为25,点B离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是多少?
3、如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm.A和B是这个台阶上两个相对的端点,点A处有一只蚂蚁,想到点B处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为.
4、如图所示:
有一个长、宽都是2米,高为3米的长方体纸盒,一只小蚂蚁从A点爬到B点,那么这只蚂蚁爬行的最短路径为米。
总结1:
利用勾股定理求最短路径问题都转化为两个方面:
(1)两点之间线段最短;
(2)垂线段最短。
总结2:
利用勾股定理求最短路径问题一般步骤:
(1)画出展开图;
(2)确定点的位置;
(3)连接线段;
(4)用勾股定理求解。
简化步骤是:
画图
定点
连线
求解
如果不是两个相对顶点的最短路径,不能用之前给的公式去求解。
例11
探究题
1、探索与研究:
方法1:
如图(a),对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°
所得,所以∠BAE=90°
,且四边形ACFD是一个正方形,它的面积和四边形ABFE面积相等,而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和,根据图示写出证明勾股定理的过程;
方法2:
如图(b),是任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的,你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗?
2、已知:
∠A、∠B、∠C所对的边分别记作a、b、c.如图1,分别以△ABC的三条边为边长向外作正方形,其正方形的面积由小到大分别记作S1、S2、S3,则有S1+S2=S3;
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 勾股定理 证明 应用