循环矩阵的性质及其应用概要Word格式.docx
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an1
an2
A
an3
a3
特别地,n阶循环矩阵:
1
D
称为n阶基本循环矩阵,简记为:
Dcirc(0,1,0,,0)显然,D,D2,D3,DnI(n
阶单位矩阵)都是循环矩阵,由此得Aa0Ia1Da2D2an1Dn1,设
f(x)a0a1xa2x2an1xn1,
则Af(D),这时a0a0I.
记Cnn为复数域C上的全体n阶方阵,Rnn为实数域上的全体n阶方阵,它们分别构成复数域和实数域上的n2维向量空间,记tr(A)为矩阵A的迹,AH为A的转置共轭阵.
定义1.2[2]设ACnn(Rnn),如果矩阵A的最小多项式等于特征多项式,则
称A为循环矩阵.
定义1.3[2]设A是n维向量空间V上的一个线性变换,若存在向量V,
使得,A,,An1线性无关.则称为A的一个循环向量.
定义1.4[4]已知n阶基本循环矩阵
并令
IiDi(i1,2,,n),
称I,I1,I2,In1为循环矩阵基本列(其中IDnIn为单位矩阵).
.循环矩阵的性质
2.1循环矩阵基本性质
性质2.1.1
性质2.1.2
[3]循环矩阵基本列I,I1,I2,In1是线性无关的.
[3]任意的n阶循环矩阵A都可以用循环矩阵基本列线性表出,即
Aa0Ia1I1an1In1.
b0
b1
b2
bn1
bn2
证明设A
,B=
bn3
b3
性质2.1.3
同阶循环矩阵的和矩阵为循环矩阵.
,则
AB
+
a0an1an2
显然AB为循环矩阵.
定理2.1.1设A、B为n阶循环矩阵,则有:
(1)
ABBA;
乘积AB仍是循环矩阵,且满足乘法交换律,
(2)若A可逆,则A的逆矩阵也是循环矩阵;
证明
(1)设Aa0Ia1Da2D2an1Dn1f(D),
Bb0Ib1Db2D2bn1Dn1g(D),因为DnDnk(其中K为非负整数,
DI),所以
ABf(D)g(D)g(D)f(D)h(D)BA,
此处h(P)为不高于n1次的多项式,因此AB为n阶循环矩阵,且ABBA.
满足条件ABI即可.
设Aa0Ia1Da2D2an1Dn1,Bb0Ib1Db2D2bn1Dn1,有
AB(a0Ia1Da2D2an1Dn1)(b0Ib1Db2D2bn1Dn1)
要使ABI,则以下方程组必须成立:
a0b0an1b1a1bn11
a1b0a0b1a2bn10
an1b0an2b1a0bn10
解以上方程组可转化为求解:
AT(b0,b1,b2,bn1)T(1,0,0)T,因为A可逆,所
以ATA0,因此方程有唯一的解b0,b1,b2,bn1,可得到唯一的矩阵B,B为A的逆矩阵,且B为循环矩阵.
性质2.1.4n阶循环矩阵A的伴随矩阵A*也是循环矩阵.
证明伴随矩阵A*AA1,由定理2.1.1可知
A1b0Ib1Db2D2bn1Dn1
为循环矩阵,因此
A*A(b0Ib1Db2D2bn1Dn1)Ab0IAb1DAb2D2Abn1Dn1
也是循环矩阵.
2.2关于循环矩阵的判定相关性质
由定义1.2,有如下性质:
引理2.2.1[2]设ACnn(Rnn),则rank(AHA)rank(AAH)rank(A).
定理2.2.1[2]设ACnn(Rnn),则A为循环矩阵的充要条件是矩阵
tr(IHI)tr(IHA)tr(IHAn1)
HHHn1
tr(AHI)tr(AHA)tr(AHAn1)
tr(An1)HItr(An1)HAtr(An1)HAn1
是满秩的.
由定义1.3,有如下性质:
引理2.2.2[2]设A是n维向量空间V上的一个线性变换,A有一个循环向量的充要条件是A的最小多项式等于特征多项式.
由此可知A为循环矩阵的充要条件是A有一个循环向量.
定理2.2.2设ACnn(Rnn),rank(An)rank(An-1),则A为循环矩阵.
证明由于rank(An)rank(An-1),故n-rank(An-1)nrank(An),即An1的核空间的维数小于An的核空间的维数.所以必存在向量Cn(Rn),使得
An10,而An0.
下面证明就是A的一个循环向量,即,A,,An1线性无关.
设x1,x2,,xnC(R),且满足x1x2AxnAn10,则
An1(x1x2AxnAn1)x1An1x2AnxnA2n2x1An10
所以x10,x2AxnAn10,从而
An2(x2AxnAn1)0,
即x2An10,所以x20,x3A2xnAn10.
依次类推下去,可得x1x2xn0,因此,A,,An1线性无关,
即为A的一个循环向量,所以A是循环矩阵.
2.3循环矩阵可逆的判定及互素推论
推论2.3.1[5]循环矩阵A可逆的充要条件是方程a0a1xa2x2anxn0无单位根.
推论2.3.2设A是以a1,a2,,an为元素的n阶循环矩阵,则A可逆的充要条件是f(x)a1a2xa3x2anxn1与xn1互素,即(f(x),xn1)1.
证明由Af
(1)f
(2)f(n),A可逆的充要条件是A0,即
f(x)a1a2xa3x2anxn1与xn1没有公共根,从而(f(x),xn1)1.
推论2.3.3若f(x)a1a2xa3x2anxn1与xn1互素,则
f1(x)ana1xa2x2an1xn1,f2(x)an1anxa1x2an2xn1
⋯⋯fn1(x)a2a3xa4x2a1xn1都与xn1互素.
证明因为分别以f1(x),f2(x),,fn1(x)的系数为元素的循环矩阵和以
f(x)的系数为元素的循环矩阵的行列式最多相差一个符号,由推论2.3.2便可推出此推论.
2.4循环矩阵的一个定理及其得出的推论
2.5
n
n0
为所有n1次单位根.
表示的意义均和定理2.4.1相同.
推论2.4.1[5]循环矩阵A的秩为1,2,,n中非零数的个数.
2.6循环矩阵对角化相关性质
性质2.5.1任何一个循环矩阵A在复数域上都与一个对角矩阵相似.
证明n阶循环矩阵D的特征值为
2k2k2kcosisin(k0,1,2,,n1)(i21)nn
由于kj(kj),又因D相似于对角矩阵
diag0,1,,n1
即存在可逆矩阵P,P1DP.
设Aa0Ia1Da2D2an1Dn1f(D)是任意一个循环矩阵,则A相似
于对角矩阵
diagf(0),f
(1),f(n1)
事实上,DPP1
Af(D)f(PP1)a0Ia1PP1an1Pn1P1
Pdiagf(0),f
(1),f(n1)P
定理2.5.1任何一个对角矩阵都相似于一个循环矩阵.证明设是n阶对角矩阵
diag1,2,,n
其中1,2,,n为复数.
2n1
a0a1n1a2n21an1nn11
其中0,1,n1是n阶循环矩阵D的特征值
kcos2kisin2k(k0,1,2,,n1)nn
则以a0,a1,an1为未知数的上述方程组有且仅有唯一解,因为它的系数行列式是范德蒙行列式,且0,1,n1互不相等,从而系数行列式不为零.
构造n阶循环矩阵则A的特征值为1,2,,n.
由性质2.5.1,A相似于对角矩阵
推论2.5.1n阶方阵A相似于对角矩阵的充要条件是A相似于某个循环矩阵.
证明充分性:
若A相似于循环矩阵B,由性质2.5.1,B与某对角矩阵相似.根据相似关系的可传递性知,A相似于对角矩阵.
必要性:
若A相似于对角矩阵,由定理2.5.1知,对角矩阵相似于某个循环矩阵B.根据相似关系的可传递性知,A相似于循环矩阵.
性质2.5.2复数域上任意一个n阶矩阵都可以对角化,更一般地,可由同一个复n阶可逆矩阵,使复数域上任意n阶循环矩阵同时对角化.
证明由性质2.5.1易知,任意一个n阶矩阵A都可以对角化,由于A是任
意的,所有的结论全部得证.
2.7等比数列构成的循环矩阵相关性质
设序列aiin1是公比为q的等比数列,把由该序列构成的循环矩阵记为
矩阵A可逆时,其逆矩阵由序列biin1构成,记为
定理2.6.1若等比数列aiin1满足q1,若n为偶数时,q1,则由该数
列构成的循环矩阵
(1)的逆矩阵
(2)存在,且
b11
n,b2
qb1
q
n,b3
b4
bn.
a1(1q
n)
n)3
即
A1
(3)
证明只须确定bi(i
1,2,
n),由
A1A
E
,即A(A
1)
E知,A乘(A1)
的第一列等于E的第一列可得bi满足的方程组.
A(b1,b2,bn)(1,0,,0)(4)
注意到aiai1q(i2,3,,n),ana1qn1,对(4)的增广矩阵进行初等变换
an
a4
a5
a1(1qn)
(1qn
)
a1(1
q)
q1,知a1(1qn)0,可得
又a10,q1,当n为偶数时,
定理及(3)式成立,证毕.
由上述定理及(3)式易得
推论2.6.1[8]若等比数列aiin1满足公比q1,当n为偶数时,q1,则
由该数列构成的循环矩阵A及其逆矩阵A1的行列式分别为:
2.8循环矩阵行列式与特征值相关性质
性质2.7.1若A为复数域上的
n阶循环矩阵
那么A的行列式
detAf(0)f
(1)f(n1),
这里kcos2kisin2k(k0,1,2,,n1)是全部n次单位根,
nn
证明作n阶矩阵
n1
2
diag(f(0),f
(1),,f(n1)).
所以det0,从而
detf(0)f
(1)
detAdetdet(A)det(diag(f(0),f
(1),f(n1)))
f(n1).
的循环矩阵,且设
定理2.7.1[9]设A是形如
f(x)aiXi,0,1,,n1是1的全部n次单位根.
i0
isin2k(k0,1,2,,n1)n
这里i是虚数单位(i21),则A的n个特征值是:
f(0),f
(1),f(n1),
注意detAf(k).
k0
2.9循环矩阵的奇异性
定理2.8.1[9]在定理2.7.1的条件下,循环矩阵A奇异的充要条件是存在
某个
j(0jn1),使
f(j)0.
由于对任意的自然数n,01是1的n次单位根,故有
推论2.8.1[9]若ai0,则A奇异.
推论2.8.2[9]设n为偶数,若
(1)iaj0,则A奇异.
2.10循环矩阵与向量空间相关性质
定理2.9.1数域P上的所有nn阶循环矩阵按照矩阵的加法和乘法构成一个向量空间,其基为循环矩阵基本列I,I1,,In1,零向量为n阶零方阵,负向量为A.
证明对于数域P上的所有nn阶循环矩阵,很容易证明任意两个循环矩阵相加还是循环矩阵,循环矩阵的任意常数倍还是循环矩阵,那么就得到了这个定理.
三.广义循环矩阵
定义3.1若把a0,a1,a2,⋯,an推广为m阶方阵A0,A1,⋯,An时,我们称矩
为广义循环矩阵。
A1,⋯,An两两可换,我们称矩阵
A0
An1
An
A=
A02
A12
An21
An2
A0n
A1n
Ann1
Ann
为广义范德蒙矩阵,其行列式为广义范德蒙行列式.
定理1设E是m阶单位阵,且A0,A1,⋯,An均是m阶方阵且两两可换,矩
是广义循环矩阵,
An2
A2
A3
E0
D=02
12
2n1
2n
20
2n1
E1
0n
1n
nn1
其中矩阵
jein1,i2
Aji,ij0
1,j0,1,...,n
为m阶数量方阵,i0,1,...,n;
类似地由定理2可以得到下面的推论,推论中D,i和i所表示的意义均和定理2
相同。
推论3.1
对于广义循环矩阵D,我们有detDdet(i).i0
推论3.2
广义循环矩阵
D可逆的充要条件是矩阵Ai均可逆,i=0,1,?
,n
推论3.3
推论3.4
定义3.2
D的特征值为矩
0,1,
n的全部特征值.
ran1
J
ran2
ra1
ra2
ra3
r-循环矩阵
D的秩rank(D)rank(i)。
令:
J0
,则J02
r
00
关于r-循环矩阵也有与循环矩阵的性质和结论。
J0n
rE
定义
3.3
向后(对称)循环矩阵
3.4
后(对称)r-循环矩阵
ra0
ran3
ran2
3.5
向后单位置换矩阵
K2=E,
K=K*
参考文献
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