现代数字信号处理课后习题解答.doc
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习题二
1、求证:
。
证明:
2、令和不是相关的随机信号,试证:
若,则和。
证明:
(1)
(2)
即
3、试证明平稳随机信号自相关函数的极限性质,即证明:
①当时,;
②当时,。
证明:
(1)
(2)
4、设随机信号,为正常数,A、B为相互独立的随机变量,且,.试讨论的平稳性。
解:
(1)均值为
(2)自相关函数为
相互独立
故:
与起始时间无关
(3)
可见,该信号均值为一常数,自相关函数与起始时间无关,方差有限,故其为一个广义平稳的随机信号。
5、设随机信号,A、B是两个相互独立的随机变量,且。
求的均值、方差、相关函数和协方差函数。
解:
(1)
(2)
(3)
6、若两个随机信号,分别为,,其中,是各自平稳、零均值相互独立的随机信号,且具有相同的自相关函数。
试证明是广义平稳的。
证明:
均值为零、自相关函数与时间t无关、方差有限,故其是广义平稳的
7、设随机信号,式中A、为统计独立的随机变量,在[0,]上均匀分布。
试讨论的遍历性。
解:
(1)首先讨论的平稳性
与t无关
故是平稳随机信号
(2)遍历性
故不具有广义遍历性
8、随机序列,在[0,]上均匀分布,是否是广义平稳的?
解:
由已知得
①
均值为与t无关常数,自相关函数与t无关,瞬时功率有限,故平稳
9、若正态随机信号的相关函数为:
①;②
试分别写出随机变量,,的协方差矩阵。
解:
由已知得
当时,
②当时,
10、如果信号是实函数,在下列函数中,哪些是功率谱函数?
①;②;③;
④;⑤;⑥
解:
由已知得,实函数的功率谱函数为实偶函数,应满足:
则可批判断⑤为功率谱函数,其中①不满足(d);②不满足(a);③不满足(c);④不满足(b);⑥不满足(a)。
11、设,是相互独立的平稳信号,它们的均值至少有一个为零,功率谱为,,新的随机信号。
求:
①的功率谱;②和的互谱密度。
解:
由已知得,,独立且平稳平稳
12、已知平稳高斯信号的自相关函数为。
求的一阶概率密度函数及二阶概率密度函数,其中,。
解:
由平稳随机信号自相关函数的性质可得
则一阶概率密度函数
对于二阶概率密度函数
其中为x的协方差矩阵,为均值
13、令表示白噪声序列,表示一个与不相关的序列,,。
试证明序列是白色的,即,式中A是常数。
证明:
由已知得
为一与不相关的序列为一常数
令
即得证。
14、设随机信号,其中是一个平稳信号,y是一个与无关的随机变量。
试讨论的遍历性。
解:
由已知得,令
①平稳性
与n无关
与n无关
平稳
②遍历性
不为常数,则信号不具有遍历性。
习题四
1、令x(n)是一个平稳白噪声过程,它的均值为零,方差为。
又令y(n)是冲激响应为h(n)的线性非移变系统在输入为x(n)时的输出。
证明:
(1);
(2)
证明:
(1)由题条件:
是一平稳白噪声,,
可知:
其自相关函数,经过线性非移变系统得到的输出也是一个广义平稳信号。
则:
;
(2)因为
2、令x(n)是白色随机序列,其均值为零,方差为。
设有一个级联系统,由两个线性非移变时域离散系统按图4-6的形式构成,x(n)是它的输入。
(1)是否正确?
(2)是否正确?
(3)令和。
试确定图4-6的整个系统的单位取样响应,并由此求出。
如果你认为问题
(2)是正确的,那么它与问题(3)的答案是否一致?
x(n)
y(n)
w(n)
图4-6习题2用图
解:
(1)正确
为白噪声,互不相关,即
为因果序列时,
(2)不正确
由
(1)中推导知,由于不是白色序列,所以它不满足
不成立
(3)
对上式两边作Z变换得
若按
(2)来计算,则
与上面计算结果不符,故结论
(2)不正确。
3、考虑一个时域连续的随机过程{},它有如图4-7(a)所示的限带功率谱。
假设对{x(t)}采样,得到了一个时域离散的随机过程{}。
1
1
0
0
图4-7习题3用图
(1)该时域离散随机过程的自协方差序列是什么?
(2)对于上述的模拟功率谱,应如何选择T才会使时域离散过程为白色的?
(3)如果模拟功率谱如图4-7(b)所示,应该如何选择T才会使时域离散过程为白色的?
(4)欲使时域离散过程为白色,应对模拟过程和采样周期提出哪些一般要求?
解:
(1)该时域离散随机过程的自协方差序列是抽样序列。
(2)使时域离散过程是白色的,因为时域采样后,信号功率谱变为周期序列,如图所示,要想使时域为白噪声,周期功率谱叠加应为常数。
1
0
(3)或使时域离散过程是白色的。
(4)欲使时域离散过程为白色,模拟功率谱应是限带的,且功率谱幅度应是线性的,采样周期(为功率谱的最高频率),若功率谱为矩形的,采样周期还可为
4、将零均值与方差为的白噪声通过一线性系统,其传递函数为H(z),试求此系统输出的方差。
又若等于什么?
解:
由第2题结论可知
5、在图4-8所示的反馈系统中,N(t)为白噪声,,随机信号X(t)与N(t)不相关。
设的傅里叶反变换为。
试证Y(t)与N(t)的互相关函数。
X(t)+Y(t)
-
N(t)
图4-8习题5用图
证明:
图中反馈系统有两个输入X(t)、N(t)。
故
解法2:
因与不相关,则
同理
故
6、某系统的传递函数。
若输入平稳随机信号的自相关函数为,输出记为Y(t),试求互相关函数。
解:
7、某系统的传递函数。
若输入平稳随机信号的自相关函数为,输入记为Y(t),试求互相关函数。
解:
8、两个串联系统如图4-9所示。
输入X(t)是广义平稳随机信号,第一个系统的输出为W(t),第二个系统的输出为Y(t),试求W(t)和Y(t)的互相关函数。
X(t)
W(t)
Y(t)
图4-9习题7用图
解:
输入X(t)是广义平稳随机信号,经串联系统后输出Y(t)。
输入X(t)线性系统,输出为W(t)。
因为与t无关,,可知W(t)也是广义平稳随机信号。
9、假定MA
(1)模型为,求与它等价的AR模型。
解:
代入
(1)得
所以与之等价的AR模型为:
10、已知ARMA(2,1)模型为,求其前5个格林函数值及,,,和。
解:
比较式中等号两边的同次幂系数,得:
11、设ARMA(n,m)模型的格林函数为,且已知,u(n)为
n012345
00.5-11-22
(1)计算;
(2)求出相应的ARMA模型及其参数。
解:
(1)
(2)又
即
该ARMA(1,1)模型为:
12、设平稳随机信号,具有下列自相关函数
(1)
(2)
试求产生此随机信号的模型。
解:
(1)求出
选用AR模型:
故得信号的模型:
(2)求出
选用AR模型:
故得信号的模型:
13、用AR(∞)表示MA
(2)。
解:
MA
(2)的传递函数为
AR()的传递函数为
令
比较同次幂系数得到
模型可表示为:
其中
14、设AR
(2)模型为。
(1)求x(n)的功率谱
。
(2)求x(n)的自相关函数。
(3)写出相应的Yule-Walker方程。
解:
(1)由AR
(2)模型可得系统函数为:
而
即:
又:
(2)AR
(2)模型的自相关函数为:
取m=0,1,2
得方程组:
(3)其Yule-walker方程:
15、计算二阶MA
(2)模型的自相关函数及功率谱密度。
解:
①由Yule-Walker方程知
②
16、如图4-10所示,x(n)为的白噪声,,,∣a∣<1,∣b∣<1,求。
x(n)
y(n)
w(n)
图4-10习题15用图
解:
由题条件:
是一平稳白噪声,,,
经过线性非移变系统得到的输出也是一个广义平稳信号。
17、设有二阶自回归模型,X(n)是方差为的白噪声,并且。
(1)证明Y(n)的功率谱密度为
。
(2)求Y(n)的自相关函数。
(3)写出Yule-Walker方程。
解:
(1)
由欧拉公式知
得证。
(2)
(3)写出Yule-Walker方程:
18、设零均值平稳高斯过程的谱密度为,求出此过程的自相关函数。
解:
习题五
1.证明白噪声的周期图功率谱估计是无偏的。
证明:
得证。
2.求一稳定系统,使其在单位谱密度白噪声激励下的输出自相关函数为
解:
由题目知:
利用AR模型的尤拉-沃克方程:
将自相关值代入:
可以求出来:
再求出:
所以系统为:
此时
极点为:
在单位圆内,即系统是稳定的。
3.求功率谱密度为的白化滤波器。
解:
设输出信号功率谱为的ARMA模型为
因为,已知:
所以,白化滤波器为:
它的输出为方差为1的白噪声。
4.题目:
题目:
设有零均值实平稳过程x(t)的N个观测值{x(0),x
(1),…x(N-1)},试证明周期图函数
其中
解答:
已知
(式4.1)
(式4.2)
因为{x(n)}为实序列,所以由式4.1可得
当m>0时
其中k=m+n
当m<0时
其中l=-m
故
结合式4.2,利用褶积定理可得
5设有零均值平稳序列,将其分为K段,每段有点数据,各段的周期图为。
平均周期图为。
试证明:
如果当时很小,因而各周期图
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