高中数学第一章立体几何初步114投影与直观图学业分层测评新人教B版必修.docx
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高中数学第一章立体几何初步114投影与直观图学业分层测评新人教B版必修.docx
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高中数学第一章立体几何初步114投影与直观图学业分层测评新人教B版必修
2019-2020年高中数学第一章立体几何初步1.1.4投影与直观图学业分层测评新人教B版必修
一、选择题
1.用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边分别平行于x轴、y轴,且∠A=90°,则在直观图中∠A′等于( )
A.45° B.135°
C.45°或135°D.90°
【解析】 在画直观图时,∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴,而∠x′O′y′=45°或135°.
【答案】 C
2.由斜二测画法得到:
①相等的线段和角在直观图中仍然相等;
②正方形在直观图中是矩形;
③等腰三角形在直观图中仍然是等腰三角形;
④菱形的直观图仍然是菱形.
上述结论正确的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
【解析】 只有平行且相等的线段在直观图中才相等,而相等的角在直观图中不一定相等,如角为90°,在直观图中可能是135°或45°,故①错,由直观图的斜二测画法可知②③④皆错.故选A.
【答案】 A
3.如图1155为一平面图形的直观图的大致图形,则此平面图形可能是( )
图1155
A B C D
【解析】 根据该平面图形的直观图,该平面图形为一个直角梯形,且在直观图中平行于y′轴的边与底边垂直.
【答案】 C
4.已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图1156所示的直观图,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC中∠ABC的大小是( )
图1156
A.30°B.45°C.60°D.90°
【解析】 根据斜二测画法可知△ABC中,BC=2,AO=,AO⊥BC,∴AB=AC==2,故△ABC是等边三角形,则∠ABC=60°.
【答案】 C
5.下列说法:
①平行投影的投影线互相平行,中心投影的投影线相交于一点;
②空间图形经过中心投影后,直线变成直线,但平行线可能变成了相交的直线;
③两条相交直线的平行投影是两条相交直线.
其中正确的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
【解析】
序号
正误
原因分析
①
√
由平行投影和中心投影的定义可知
②
×
空间图形经过中心投影后,直线可能变成直线,也可能变成一个点,如当投影中心在直线上时,投影为点;平行线有可能变成相交线,如照片中由近到远物体之间的距离越来越近,最后相交于一点
③
×
两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线
【答案】 B
二、填空题
6.下列图形:
①线段;②直线;③圆;④梯形;⑤长方体.其中投影不可能是线段的是________.
【解析】 根据投影的定义知②⑤不可能.
【答案】 ②⑤
7.如图1157所示,四边形OABC是上底为2,下底为6,底角为45°的等腰梯形,由斜二测画法,画出这个梯形的直观图O′A′B′C′,则在直观图中梯形的高为________.
图1157
【解析】 按斜二测画法,得梯形的直观图O′A′B′C′,如图所示,原图形中梯形的高CD=2,在直观图中C′D′=1,且∠C′D′E′=45°,作C′E′垂直于x′轴于E′,则C′E′=C′D′·sin45°=.
【答案】
8.如图1158甲所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是AA1,C1D1的中点,G是正方形BCC1B1的中心,则四边形AGFE在该正方体的各个面上的正投影可能是乙中的________.
甲
① ② ③ ④
乙
图1158
【解析】 在面ABCD和面A1B1C1D1上的正投影是图乙①;在面ADD1A1和面BCC1B1上的正投影是图乙②;在面ABB1A1和面DCC1D1上的正投影是图乙③.
【答案】 ①②③
三、解答题
9.如图1159,△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图,将其恢复成原图形.
图1159
【解】 画法:
(1)如图②,画直角坐标系xOy,在x轴上取OA=O′A′,即CA=C′A′;
① ②
(2)在图①中,过B′作B′D′∥y′轴,交x′轴于D′,在图②中,在x轴上取OD=O′D′,过D作DB∥y轴,并使DB=2D′B′.
(3)连接AB,BC,则△ABC即为△A′B′C′原来的图形,如图②.
10.有一个正六棱锥(底面为正六边形,侧面为全等的等腰三角形的棱锥),底面边长为3cm,高为3cm,画出这个正六棱锥的直观图.
【解】
(1)先画出边长为3cm的正六边形的水平放置的直观图,如图①所示;
(2)过正六边形的中心O′建立z′轴,在z′轴上截取O′V′=3cm,如图②所示;
(3)连接V′A′、V′B′、V′C′、V′D′、V′E′、V′F′,如图③所示;
(4)擦去辅助线,遮挡部分用虚线表示,即得到正六棱锥的直观图,如图④所示.
[能力提升]
1.如图1160所示,△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是( )
图1160
A.ABB.ADC.BCD.AC
【解析】 还原直观图后知,原图形是以AC为斜边的直角三角形ABC,AD是直角边BC的中线,所以AC最长.
【答案】 D
2.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图1161所示,已知B′C′=4,A′C′=3,则△ABC中AB边上的中线的长度为( )
图1161
A.B.
C.5D.
【解析】 由斜二测画法规则知△ABC是∠ACB为直角的三角形,其中AC=3,BC=8,AB=,所以AB边上的中线长为.
【答案】 A
3.如图1162,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O′A′=6,O′C′=2,则原图形OABC的面积为________.
图1162
【解析】 易知原图形OABC是平行四边形,且OA=BC=6,平行四边形的高为OE,则OE××=O′C′.
∵O′C′=2,∴OE=4,
∴S▱OABC=6×4=24.
【答案】 24
4.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD,如图1163所示,∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,求原平面图形的面积.
图1163
【解】 过A作AE⊥BC,垂足为E,
又∵DC⊥BC且AD∥BC,
∴四边形ADCE是矩形,
∴EC=AD=1,由∠ABC=45°,AB=AD=1知BE=,
∴原平面图形是梯形且上下两底边长分别为1和1+,高为2,
∴原平面图形的面积为××2=2+.
2019-2020年高中数学第一章立体几何初步1.1.4直观图画法学业分层测评苏教版必修
一、填空题
1.利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,得到下列结论,其中正确的是________.(填序号)
(1)正三角形的直观图仍然是正三角形;
(2)平行四边形的直观图一定是平行四边形;
(3)正方形的直观图是正方形;
(4)圆的直观图是圆.
【解析】 由斜二测画法可知,平面图形中的垂直关系变成相交关系,故
(1)(3)错误;又圆的直观图为椭圆,故(4)错误.
【答案】
(2)
2.如图1-1-36为一平面图形的直观图的大致图形,则此平面图形可能是________.
图1-1-36
① ② ③ ④
【解析】 根据该平面图形的直观图,该平面图形为一个直角梯形且在直观图中平行于y′轴的边与底边垂直.
【答案】 ③
3.如图1-1-37所示,△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是________.
图1-1-37
【解析】 由题图可知,在△ABC中,AB⊥BC,AC为斜边,AD为直角边上的一条中线,显然斜边AC最长.
【答案】 AC
4.如图1-1-38所示,△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图,B′在x′轴上,A′O′和x′轴垂直,且A′O′=2,则△AOB的边OB上的高为________.
图1-1-38
【解析】 由直观图与原图形中边OB长度不变,得S原图形=2S直观图,得·OB·h=2××2·O′B′,∵OB=O′B′,∴h=4.
【答案】 4
5.如图1-1-39所示,正方形O′A′B′C′的边长为1cm,它是一个水平放置的平面图形的直观图,则原图形的周长为________cm.
图1-1-39
【解析】 由于平行性不变,O′A′∥B′C′,故在原图形中,OA綊BC,∴四边形OABC为平行四边形,且对角线OB⊥OA,对角线OB=2,则AB==3.
∴原图形的周长为l=3×2+1×2=8.
【答案】 8
6.如图1-1-40所示,为水平放置的正方形ABCO,它在直角坐标系xOy中点B的坐标为(2,2),则在用斜二测画法画出的它的直观图中,顶点B′到x′轴的距离为________.
图1-1-40
【解析】 画出直观图,BC对应B′C′,且B′C′=1,∠B′C′x′=45°,故顶点B′到x′轴的距离为.
【答案】
7.如图1-1-41是△AOB用斜二测画法画出的直观图△A′O′B′,则△AOB的面积是________.
图1-1-41
【解析】 由题图易知△AOB中,底边OB=4,
又∵底边OB的高线长为8,
∴面积S=×4×8=16.
【答案】 16
8.如图1-1-42所示,平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图,若O′P′=3,O′R′=1,则原四边形OPQR的周长为________.
图1-1-42
【解析】 由四边形OPQR的直观图可知该四边形是矩形,且OP=3,OR=2,所以原四边形OPQR的周长为2×(3+2)=10.
【答案】 10
二、解答题
9.用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm,3cm,2cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图.
【解】 画法:
第一步,画轴,如图
(1),画x′轴、y′轴、z′轴,三轴相交于点O′,使∠x′O′y′=45°,∠x′O′z′=90°.
(1)
(2)
第二步,画底面,以点O′为中点,在x′轴上取线段MN,使MN=4cm;
在y′轴上取线段PQ,使PQ=cm,分别过点M和N作y′轴的平行线,过点P和Q作x′轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD就是长方体的底面.
第三步,画侧棱,过A,B,C,D各点分别作z′轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′,BB′,CC′,DD′.
第四步,成图,顺次连结A′,B′,C′,D′,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就可以得到长方体的直观图(如图
(2)).
10.有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形,如图1-1-43,∠ABC=45°,DC⊥AD,AB=AD=1,DC⊥BC,求这块菜地的面积.
图1-1-43
【解】 在直观图①中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,
①
则在Rt△ABE中,AB=1,∠ABE=45°,
∴BE=,而四边形AECD为矩形,AD=1,
②
∴EC=AD=1.∴BC=BE+EC=+1.
由此可得原图形如图②,在原图形中,A′D′=1,A′B′=2,B′C′=+1,
且A′D′∥B′C′,A′B′⊥B′C′,
∴这块菜地的面积S=(A′D′+B′C′)·A′B′=××2=2+.
[能力提升]
1.利用斜二测画法画边长为1cm的正方形的直观图,正确的是图1-1-44中的________(填序号).
① ② ③ ④
图1-1-44
【解析】 正方形的直观图应是平行四边形,
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