第七章一维波动方程的解题方法与习题答案Word文档格式.docx

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）:

20（Laplaceequation）.

IV.量子力学的薛定谔方程：

u

2.iuVu

t2m

2.分类

物理过程方程数学分类

振动与波波动方程

1

22

at

双曲线

输运方程

能量：

热传导

质量：

扩散

20

ku

抛物线

稳态方程Laplaceequation

2u0椭圆型

二、数理方程的导出

推导泛定方程的原则性步骤：

（1）定变量：

找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知函数

的自变量。

（2）立假设：

抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化”

---“无理取闹”（物理趣乐）。

（3）取局部：

从对象中找出微小的局部（微元），相对于此局部一切高阶无穷小均可忽

略---线性化。

（4）找作用：

根据已知物理规律或定律，找出局部和邻近部分的作用关系。

（5）列方程：

根据物理规律在局部上的表现，联系局部作用列出微分方程。

Chapter7一维波动方程的傅里叶解

第一节一维波动方程-弦振动方程的建立

2.弦横振动方程的建立

（一根张紧的柔软弦的微小振动问题）

取弦的平衡位置为x轴。

表征振动的物理量为各点的横向位移u（x,t），从

而速度为ut，加速度为utt.

①弦振动是微小的，1，因此，sintan，cos1，又

x

tan

u；

②弦是柔软的，即在它的横截面内不产生应

，1

力，则在拉紧的情况下弦上相互间的拉力即张力T（x,t）始终是沿弦的切向

（等价于弦上相互间有小的弹簧相连）；

③所有外力都垂直于x轴，外力线

密度为F（x,t）；

④设弦的线密度（细长）为（x,t），重力不计。

在点x处取弦段dx,dx是如此之小,以至可以把它看成质点（微元）。

质量

2u

微元：

（x,t）dx；

微弧长：

dsdxdu1dxdx

（即这一小段的

长度在振动过程中可以认为是不变的，因此它的密度x,t不随时间变化，

另外根据Hooke定律Fkx可知，张力T（x,t）也不随时间变化，我们把

它们分别记为x和T（x）.

找出弦段所受的力。

外力：

F（x,t）dx，垂直于x轴方向；

张力变化：

Tcos|xdxTcos|xT（xdx）T（x）,x方向紧绷，

TTTuTuTux,垂直于x轴方向。

sin|xxsin|xx|xxx|xxd

dd

根据牛顿第二定律

T，因x方向无位移，故T（xdx）T（x）T.

（xdx）T（x）0

（

x）dxuttF（x,t）dxTudxF（x,t）dxTuxxdx

即，uf（x,t）

tt，其中

xx

F（x,t）

f（x,t）是单位质量所受外力。

如果弦是均匀的，即为常数，则可写

a为弦振动的传播速度，则

uttxx.

a（,）

2ufxt

自由振动（f0）:

uau（齐次方程）。

ttxx

小结1：

对于弦的横振动、杆的纵振动方程（一根弹性均匀细杆的微小振动

问题）、薄膜的横振动方程（张紧的柔软膜的微小振动问题），在不受外力情况

下，其振动的微分方程为：

uau（齐次方程）

tt

其中a为振动的传播的速度。

当单位质量所受外力为f时，其振动微分方程为：

uauf（非齐次方程）

3.定解问题

第一节从物理问题和相应的物理定律导出了其所满足的偏微分方程，但总是选择物体内

3

部，不含端点或边界，对一小部分来讨论其运动状况，仅反映了物体内部各部分之间的相互

联系，且在区域内部相邻之间、相继时刻之间的这种联系（规律）通常与周围环境（边界上）

和初始时刻对象（体系）所处的状态无关。

仅有方程还不足以确定物体的运动，因为外界的作用通常是通过物体边界“传”到内部

的；

一个方程可能有多个解，通解中含若干任意常数（函数），初始条件和边界条件就是确

定它们的条件。

求一个微分方程的解满足一定初始条件和边界条件的问题称为定解问题：

初始条件

泛定方程&

定解条件

边界条件

衔接条件

自然条件。

4.初始条件

u（x,t）（x），

即已知初位移（x）和初速度（x）

t0

u（x,t）（x）.

5.边界条件

i.第一类边界条件-狄利克雷条件（Dirichlet边界条件）：

直接给出了未知函数

在边界上的值。

ii.第二类边界条件-诺依曼条件（Neumann边界条件）：

给出未知函数在边界上

法向导数的值。

自由端点边界（端点不受外力，自由振动，意味着弦张力在振动方向无分量）

属于此类，边界条件为（0,）0或（,）0

utult

iii.第三类边界条件-罗宾条件：

给出未知函数和其边界法向导数在边界上的线

性关系。

弹性支撑边界（端点受到弹簧的约束而无外力）属于此类，边界条件为：

u（0,t）hu（0,t）0

Note：

初始条件和边界条件是场运动规律的极限。

例1．对弦的横振动问题导出下列情况的定解条件：

弦的两端点x0和xl固定，用

手将弦上的点xc（0cl）拉开使之与平衡位置的偏离为h（hl），然后放手。

解：

两端固定，所以边界条件为：

u（0,t）0,u（l,t）0

4

由点xc的初始位移求出其他点的初始位移，它们是两段直线方程，容易求得：

h

x（0xc）

，

c

u（x,0）（x）

（lx），（cxl）

lc

显然，初速度为零：

u（x,0）0

第二节齐次方程混合问题的傅里叶解

——分离变量法本征值问题

Abstract：

求解数理方程定解问题的方法有分离变量法、行波法、积分变换法、变分法、

复变函数论等，这些方法各有千秋。

分离变量法普遍适用，在其使用条件下，自然导致了问

题的核心—本征值问题。

求解常微分方程：

一般先求通解，再用初始/边界条件定其参数；

求解偏微分方程，即

使求得通解，亦难于由定解条件来定解（含任意函数）—本征值问题可解决此类问题。

6.利用分离变量法求解齐次弦振动方程的混合问题

分离变量法：

把二元函数u（x,t）表示为两个一元函数相乘u（x,t）X（x）T（t）；

然后

带入函数的二阶偏微分齐次方程

uau0，把偏微分方程化为两个常微分方程；

把偏微

分方程的边界条件转化为常微分方程的边界条件。

题型I：

方程和边界条件都是齐次的，而初始条件是非齐次的。

例题1：

下面以两端固定弦的自由振动为例（第一类齐次边界条件）:

uau00xl,

u0;

u0,

x0xl

u（x）;

u（x）.

t0t0

注意这里的边界条件。

第一步,分离变量，将二阶偏微分方程转化为两个常微分方程。

设u（x,t）X（x）T（t）[取此特解形式，可得驻波解：

T（t）是振荡函数，而与x无关，

X（x）是幅度函数，与t无关],将此u（x,t）X（x）T（t）代入泛定方程，即得

X（x）T（t）aX（x）T（t）.

5

2XxTt

等式两端除以（）（）

a，就有

T（t）X（

x）

a

2Xx

T（t）（）

.

注意在这个等式中，左端只是t的函数，与x无关，而右端只是x的函数，与t无关。

因此，左端和右端相等，就必须共同等于一个既与x无关、又与t无关的常数。

令这个常数

为（参数），即，

由此得到两个常微分方程：

T（t）a（）0（7.1）2Tt

X（x）X（x）0（7.2）

第二步，将u（x,t）原来的边界条件转化为X（x）的边界条件。

将此u（x,t）X（x）T（t）代入边界条件，得X（0）T（t）0，X（l）T（t）0，转化为X（x）

的边界条件：

X（0）0，X（l）0[因为T（t）不可能恒为0，否则u（x,t）恒为0]（7.3）

这样就完成了分离变量法求解偏微分方程定解（亦定界）问题的前两步：

分离变量。

在

这两步中，假设所要求的是变量分离形式的非零解u（x,t）X（x）T（t），导出了函数X（x）应

该满足的常微分方程和边界条件，以及T（t）所满足的常微分方程。

分离变量之所以能够实

现，是因为原来的偏微分方程和边界条件都是齐次的（可分离变量）。

第三步,求解本征值问题

上面得到的函数X（x）的常微分方程定解问题，称为本征值问题。

其特点是：

常微分方

程X（x）X（x）0中含有一个待定常数，而定解条件X（0）0，X（l）0是一对齐

次边界条件。

这样的定解问题不同于我们过去熟悉的常微分方程的初值问题。

下面将看到，

并非对于任何值，都有既满足齐次常微分方程，又满足齐次边界条件的非零解。

只有当

取某些特定值时，才有既满足齐次常微分方程，又满足齐次边界条件的非零解X（x）.的

这些特定值称为本征值（eigenvalue），相应的非零解称为本征函数（eigenfunction）.

通过讨论分析得出只有0时，方程（7.2）的解才有意义。

因此，0时解（7.2）

式得，

6

X（x）AcosxBsinx.

将这个通解代入边界条件（7.3），就有

A0;

即

AcoslBsinl0.Bsinl0.

A和B不能同时为0，否则X（x）恒为零，u（x,t）恒为0（平凡解，虽然零解无物理意义，

但至少说明数学上可能行得通），因此只能是，

sinl0，即lnn1,2,3,.

于是，只能取如下的一系列值：

n

nn1,2,3,；

相应的本征函数就是：

l

Xn（x）sin

这里取B1，因为我们所要求的必然只是线性无关解。

不同的B值给出的是线性相关

的。

由于同样的原因，我们也不必考虑n为负整数的情形。

这样求得的本征值有无穷多个，

他们可以用正整数n标记，因此，我们把本征值和本征函数分别记为

n和Xn（x）.

第四步,求特解，并进一步叠加出一般解：

对于每一个本征值

n，由T（t）a（）0（7.1）解出相应的Tn（t）:

2Tt

nn

T（t）CcosatDsinat

nnn

ll

因此，也就得到了满足偏微分方程和边界条件的特解:

u（x,t）CcosatDsinatsinx

lll

n1,2,3,.

这样的特解有无穷多个n1,2,3,。

每一个特解都同时满足齐次偏微分方程和齐次

边界条件。

它们是一系列的驻波。

但是，一般来说，单独任何一个特解都不能满足定解问题

中的初始条件。

然而，由于偏微分方程和边界条件都是齐次的，把它们的特解线性叠加起来，

u（x,t）CncosatDnsinatsinx

n1

这样得到的u（x,t）也仍然是齐次偏微分方程在齐次边界条件下的解（当然要求此级数收敛

7

且可以逐项求二阶偏导，即求和和求导可以交换次序）。

这种形式的解称为一般解。

现在根据初始条件中的已知函数（x）和（x）定出叠加系数

C和Dn.将上面的一般解

代入初始条件，得

（x）Csinx,（7.4）

ln1

nan

（x）Dsinx.（7.5）

lln1

注：

（x）是已知函数而非任意函数（x）.u（x,t）既要满足方程又要满足条件。

（,）

uxt由

X（x）构成，（x）亦由Xn（x）构成。

初、边条件仅是其内部规律的极限。

第五步,利用本征函数的正交性确定叠加系数：

nm

设Xn（x）sinx和Xm（x）sinx是分别对应本征值n和m的两个本征函

数，

n（即nm）.显然，它们分别满足

m

X（x）X（x）0,（7.6）

X（0）0，Xn（l）0.（7.7）

和（）（）0,

XxXx（7.8）

mmm

X（0）0，Xm（l）0.（7.9）

用Xm（x）乘以（7.6），用Xn（x）乘以（7.8），相减并在区间0,l上积分，即得

X（x）X（x）dxX（x）X（x）X（x）X（x）dxnmnmnmmn

00

X（x）X（x）X（x）X（x）0,

nmmn

其中利用了Xn（x）和Xm（x）所满足的边界条件（7.7）和（7.9）.

考虑到nm，因此，就证得本征函数的正交性:

X

n（x）X（x）dx0,n

进一步计算还可以得到本征函数的模方:

2l

n（x）X（x）dx.

02

8

因此，在（7.4）式两端同乘以Xm（x）sinx，并逐项积分，就得到

mxnxmx

（x）sindxCsinsindx

nxmxl

CsinsindxC.

ll2

所以，

2nx

C（x）sindx

同样可以得到，

D（x）sindx.（实为傅里叶级数的奇延拓）

nal

这样，根据初始条件中的已知函数（x）和（x），计算出积分，就可以得到叠加系数

C

和Dn，从而就求得了整个定解问题的解。

Step6,解的物理解释

先观察特解：

u（x,t）CcosatDsinatsinxNsintsinkx,

nnnnnnn

其中，

na

n，

kn，NncosnCn，NnsinnDn.因此，un（x,t）代表一

个驻波，sin

Nkx表示线上各点的振幅分布，sinntn表示点谐振动。

n是驻波的

圆频率，称为两端固定弦的固有频率或本征频率，与初始条件无关；

kn称为波数，是单位

长度上波的个数；

n称为位相，由初始条件决定。

在knxm，即

xmknmnl,m0,1,2,,n的各点上，振动的幅度恒为0，称为波节。

包括弦的

两个端点在内，波节点共有n1个。

knxm，即

x2m12kn2m1l2n,m0,1,2,,n1的各点上，振幅的绝对值恒为最大，

称为波腹。

波腹共有n个。

整个问题的解则是这些驻波的迭加。

正是因为这个原因，这种解

法也称为驻波法（agenerizedmethodoftheseparationvariables）.

就两端固定弦来说，固有频率中有一个最小值，即

1，称为基频。

其它固有频率

都是它的整数倍，称为倍频。

弦的基频决定了所发声音的音调。

在弦乐器中，当弦的质料一

定（即一定）时，通过改变弦的绷紧程度（即改变张力T的大小），就可以调节基频

1的

9

大小。

基频和倍频的迭加系数

C和Dn的相对大小决定了声音的频谱分布，即决定了声

音的音色。

小结2：

对于弦振动的齐次方程和第一类齐次边界条件的混合问题，即：

（注意：

这里的x的范围和函数的边界条件的表示）

它的解是：

llln1

其中：

D（x）sindx

习题七的1-6题属于例题1类型。

例题2，弦振动的齐次边界条件中存在第二类边界条件，如：

xxxl

注意：

边界条件与例题1不一样。

第一步，分离变量，将偏微分方程转化为两个常微分方程。

令u（x,t）X（x）T（t），并代入泛定方程，即得

X（x）T（t）aX（x）T（t）

等式两端同时除以X（x）T（t），就有

X（x）T（t）

X（x）aT（t）

X（x）X（x）0,

10

T（t）aT（t）0.

第二步，将原函数的边界条件化为分离变量后函数的边界条件。

将u（x,t）X（x）T（t）代入关于x的一对齐次边界条件，得

X（0）T（t）0，X（l）T（t）0

得X的边界条件为：

X（0）0，X（l）0

第三步，解X（x）本征值问题。

这样，我们得到本征值问题:

X（x）X（x）0,X（0）0，X（l）0.

0才有解.解得：

得到：

X（x）AsinxBcosx

代入边界条件，就有

B0;

AcoslBsinl0.

Acosl0.

A和B不能同时为0，否则X（x）恒为零，因而u（x,t）恒为0（平凡解）。

因此只能是

cosl0，即

l（n）n0,1,2,3,.

n（n）

n0,1,2,3,;

X（x）cos[（n）x]

第四步，解T（t）的微分方程，得到u（x,t）的特解（,）

uxy，叠加得出一般解。

n，可以求出相应的Tn（t）:

1a1a

T（t）Ccos[（n）t]Dsin[（n）t].

2l2l

因此，也就得到了满足边界条件的特解:

11

1a1a1

u（x,t）Ccos[（n）t]Dsin[（n）t]cos[（n）x].

2l2l2l

把这些特解叠加起来，就得到一般解:

n0

第五步，由本征函数的正交归一性，得到系数，确定解。

将上面的一般解代入初始条件，根据本征函数的正交性得系数为：

21

C（x）cos[（n）x]dx,

l2l

41x

D（x）cos[（n）]dx

（21）02

例题3，弦振动的齐次方程和齐次第一类、第二类边界条件

边界条件与例题1、例题2都不一样。

12

X（0）T（t）0，X（l）T（t）0，这时也可以分离变量，得X的边界条件为：

X（0）0，X（l）0.

以上两式代入边界条件，就有

AsinlBcosl0.Bcosl0.

X（x）sin[（n）x]

对于每一个本征值n，可以求出相应的Tn（t）:

u（x,t）Ccos[（n）t]Dsin[（n）t]sin[（n）x].