高中数学高考二轮复习集合与常用逻辑用语教案含答案全国用.docx
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高中数学高考二轮复习集合与常用逻辑用语教案含答案全国用
第1讲 集合与常用逻辑用语
1.(2016·课标全国乙)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B等于( )
A.B.
C.D.
答案 D
解析 由A={x|x2-4x+3<0}={x|1 B={x|2x-3>0}=, 得A∩B==,故选D. 2.(2016·北京)设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案 D 解析 若|a|=|b|成立,则以a,b为邻边构成的四边形为菱形,a+b,a-b表示该菱形的对角线,而菱形的对角线不一定相等,所以|a+b|=|a-b|不一定成立;反之,若|a+b|=|a-b|成立,则以a,b为邻边构成的四边形为矩形,而矩形的邻边不一定相等,所以|a|=|b|不一定成立,所以“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要条件. 3.(2016·浙江)命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( ) A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 答案 D 解析 原命题是全称命题,条件为∀x∈R,结论为∃n∈N*,使得n≥x2,其否定形式为特称命题,条件中改量词,并否定结论,只有D选项符合. 1.集合是高考必考知识点,经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算,近几年有时也会出现一些集合的新定义问题.2.高考中考查命题的真假判断或命题的否定,考查充要条件的判断. 热点一 集合的关系及运算 1.集合的运算性质及重要结论 (1)A∪A=A,A∪∅=A,A∪B=B∪A. (2)A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=B∩A. (3)A∩(∁UA)=∅,A∪(∁UA)=U. (4)A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A. 2.集合运算中的常用方法 (1)若已知的集合是不等式的解集,用数轴求解; (2)若已知的集合是点集,用数形结合法求解; (3)若已知的集合是抽象集合,用Venn图求解. 例1 (1)已知集合A={x|<0},B={y|y=sin,n∈Z},则A∩B等于( ) A.{x|-1 C.{-1,0}D.{0,1} (2)若X是一个集合,τ是一个以X的某些子集为元素的集合,且满足: ①X属于τ,空集∅属于τ;②τ中任意多个元素的并集属于τ;③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X上的一个拓扑.已知集合X={a,b,c},对于下面给出的四个集合τ: ①τ={∅,{a},{c},{a,b,c}}; ②τ={∅,{b},{c},{b,c},{a,b,c}}; ③τ={∅,{a},{a,b},{a,c}}; ④τ={∅,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}. 其中是集合X上的一个拓扑的集合τ的所有序号是__________. 答案 (1)C (2)②④ 解析 (1)因为A={x|<0}={x|-2 (2)①τ={∅,{a},{c},{a,b,c}},但是{a}∪{c}={a,c}∉τ,所以①错;②④都满足集合X上的一个拓扑的集合τ的三个条件.所以②④正确;③{a,b}∪{a,c}={a,b,c}∉τ,故③错.所以答案为②④. 思维升华 (1)关于集合的关系及运算问题,要先对集合进行化简,然后再借助Venn图或数轴求解. (2)对集合的新定义问题,要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征,将问题转化为熟悉的知识进行求解,也可利用特殊值法进行验证. 跟踪演练1 (1)已知集合A={y|y=sinx,x∈R},集合B={x|y=lgx},则(∁RA)∩B为( ) A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.[-1,1] C.(1,+∞)D.[1,+∞) (2)设集合M={x|m≤x≤m+},N={x|n-≤x≤n},且M,N都是集合{x|0≤x≤1}的子集,如果把b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”,那么集合M∩N的“长度”的最小值是( ) A.B. C.D. 答案 (1)C (2)C 解析 (1)因为A={y|y=sinx,x∈R}=[-1,1], B={x|y=lgx}=(0,+∞). 所以(∁RA)∩B=(1,+∞). 故答案为C. (2)由已知,可得即0≤m≤, 即≤n≤1, 取m的最小值0,n的最大值1, 可得M=,N=. 所以M∩N=∩=. 此时集合M∩N的“长度”的最小值为-=. 故选C. 热点二 四种命题与充要条件 1.四种命题中原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假. 2.若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p⇔q,则p,q互为充要条件. 例2 (1)下列命题: ①已知m,n表示两条不同的直线,α,β表示两个不同的平面,并且m⊥α,n⊂β,则“α⊥β”是“m∥n”的必要不充分条件;②不存在x∈(0,1),使不等式log2x 其中正确的命题序号是________. (2)已知ξ服从正态分布N(1,σ2),a∈R,则“P(ξ>a)=0.5”是“关于x的二项式3的展开式的常数项为3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分又不必要条件 D.充要条件 答案 (1)① (2)A 解析 (1)①当α⊥β时,n⊂β可以是平面内任意一直线,所以得不到m∥n,当m∥n时,m⊥α,所以n⊥α,从而α⊥β,故“α⊥β”是“m∥n”的必要不充分条件.所以①正确.②log2x=,log3x=,因为lg2 若a (2)由P(ξ>a)=0.5,知a=1. ∵二项式3展开式的通项公式为Tk+1=C(ax)3-kk=a3-kCx3-3k,令3-3k=0,得k=1,∴其常数项为a2C=3a2=3,解得a=±1,∴“P(ξ>a)=0.5”是“关于x的二项式3的展开式的常数项为3”的充分不必要条件,故选A. 思维升华 充分条件与必要条件的三种判定方法 (1)定义法: 正、反方向推理,若p⇒q,则p是q的充分条件(或q是p的必要条件);若p⇒q,且q⇏p,则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件). (2)集合法: 利用集合间的包含关系.例如,若A⊆B,则A是B的充分条件(B是A的必要条件);若A=B,则A是B的充要条件. (3)等价法: 将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题. 跟踪演练2 (1)下列四个结论中正确的个数是( ) ①“x2+x-2>0”是“x>1”的充分不必要条件; ②命题: “∀x∈R,sinx≤1”的否定是“∃x0∈R,sinx0>1”; ③“若x=,则tanx=1”的逆命题为真命题; ④若f(x)是R上的奇函数,则f(log32)+f(log23)=0. A.1B.2C.3D.4 (2)已知“x>k”是“<1”的充分不必要条件,则k的取值范围是( ) A.[2,+∞)B.[1,+∞) C.(2,+∞)D.(-∞,-1] 答案 (1)A (2)A 解析 (1)对于①,x2+x-2>0⇔x>1或x<-2,故“x2+x-2>0”是“x>1”的必要不充分条件,所以①错误;对于③,“若x=,则tanx=1”的逆命题为“若tanx=1,则x=”,∵tanx=1推出的是x=+kπ,k∈Z.所以③错误.对于④,log32≠-log23,所以④错误.②正确.故选A. (2)由<1,可得-1=<0, 所以x<-1或x>2,因为“x>k”是“<1”的充分不必要条件,所以k≥2. 热点三 逻辑联结词、量词 1.命题p∨q,只要p,q有一真,即为真;命题p∧q,只有p,q均为真,才为真;綈p和p为真假对立的命题. 2.命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q);命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q). 3.“∀x∈M,p(x)”的否定为“∃x0∈M,綈p(x0)”;“∃x0∈M,p(x0)”的否定为“∀x∈M,綈p(x)”. 例3 (1)已知命题p: 在△ABC中,“C>B”是“sinC>sinB”的充分不必要条件;命题q: “a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件,则下列选项中正确的是( ) A.p真q假B.p假q真 C.“p∧q”为假D.“p∧q”为真 (2)已知命题p: “∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q: “∃x0∈R,x+2ax0+2-a=0”.若命题“(綈p)∧q”是真命题,则实数a的取值范围是( ) A.a≤-2或a=1B.a≤-2或1≤a≤2 C.a>1D.-2≤a≤1 答案 (1)C (2)C 解析 (1)△ABC中,C>B⇔c>b⇔2RsinC>2RsinB(R为△ABC外接圆半径),所以C>B⇔sinC>sinB. 故“C>B”是“sinC>sinB”的充要条件,命题p是假命题. 若c=0,当a>b时,则ac2=0=bc2,故a>b⇏ac2>bc2,若ac2>bc2,则必有c≠0,则c2>0,则有a>b,所以ac2>bc2⇒a>b,故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件,故命题q也是假命题,故选C. (2)命题p为真时a≤1;“∃x0∈R,x+2ax0+2-a=0”为真,即方程x2+2ax+2-a=0有实根,故Δ=4a2-4(2-a)≥0,解得a≥1或a≤-2.(綈p)∧q为真命题,即(綈p)真且q真,即a>1. 思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念: 命题的否定只否定命题的结论,真假与原命题相对立; (2)判断命题的真假要先明确命题的构成.由命题的真假求某个参数的取值范围,还可以考虑从集合的角度来思考,将问题转化为集合间的运算. 跟踪演练3 (1)已知命题p: ∃x0∈R,使sinx0=;命题q: ∀x∈,x>sinx,则下列判断正确的是( ) A.p为真B.綈q为假 C.p∧q为真D.p∨q为假 (2)若“∀x∈,m≤tanx+1”为真命题,则实数m的最大值为________. 答案 (1)B (2)0 解析 (1)由于三角函数y=sinx的有界性: -1≤sinx0≤1,所以p假;对于q,构造函数y=x-sinx,求导得y′=1-cosx,又x∈,所以y′>0,y为单调递增函数,有y>0恒成立,即∀x∈,x>sinx, 所以q真.判断可知,B正确. (2)令f(x)=tanx+1,则函数f(x)在上为增函数,故f(x)的最小值为f=0, ∵∀x∈,m≤tanx+1,故m≤(tanx+1)min,∴m≤0,故实数m的最大值为0. 1.已知函数f(x)=的定义域为M,g(x)=ln(1+x)的定义域为N,则M∪(∁RN)等于( ) A.{x|-1≤x<1}B.{x|x>-1} C.{x|x<1}D.{x|x≥1} 押题依据 集合的运算在历年高考中的地位都很重要,已成为送分必考试题.集合的运算常与不等式(特别是一元一次不等式、一元二次不等式)的求解、函数的定义域、函数的值域等知识相交汇. 答案 C 解析 M={x|1-x2>0}={x|-1
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